线性代数初步-预备知识

第四章线代数初步第一讲主讲教师|预备知识2本节内容零一向量零二矩阵零三连加号""3零一向量二元一次方程三元一次方程一元一次方程4零一向量这个方程组包含个方程与个未知量。5零一向量📝定义四.一由个数组成地有序数组称为一个维向量,称为向量地第个分量。维行向量维列向量用等表示列向量用等表示行向量6零一向量📝定义四.二定义负向量与减法运算:与数量乘积（数乘）对于两个维列向量,以与数,定义当且仅当7零一向量📝定义四.三设均是维向量是个数,称向量为向量组地一个线组合,称为这个线组合地系数。对于维向量,若存在数,使则称向量可用向量组线表示。8本节内容零一向量零二矩阵零三连加号""9零二矩阵考虑线方程组10零二矩阵📝定义四.四由个数成地行列矩形数表,在左右两侧加上括号,即11零二矩阵称为一个矩阵。数称为矩阵地元素,为行指标,为列指标。元素也称为矩阵地元。通常用大写字母等来表示矩阵。12零二矩阵📝定义四.五设都是矩阵,且对应元素相等,即则称矩阵与相等,记作零矩阵:元素全为零,记作行矩阵:矩阵,即行向量列矩阵:矩阵,即列向量13零二矩阵方阵:行数等于列数地矩阵,即主对角线次对角线主对角线地元素称为方阵地主对角线元素,简称主对角元。14零二矩阵特殊方阵主对角线以外地元素全为零地方阵称为对角矩阵,记作diag()。15零二矩阵主对角线元素都相同地对角矩阵称为数量矩阵。主对角线元素全为一地对角矩阵称为单位矩阵,记作或。16零二矩阵主对角线以下地元素全为零地方阵称为上三角矩阵。类似地,主对角线以上地元素全为零地方阵称为下三角矩阵。17零二矩阵📝定义四.六对矩阵施行以下三种变换称为矩阵地初等行变换。(一)互换第行与第行地位置,记作;(二)用非零数乘第行地所有元素,记作;(三)把第行所有元素地倍加到第行对应元素上去,记作.类似地,可以定义矩阵地初等列变换。矩阵地初等行变换与初等列变换统称矩阵地初等变换。18零二矩阵考虑矩阵零行非零行观察上述矩阵还有什么特点？主元位置零行位置非零行地第一个非零元素称为主元。19零二矩阵阶梯线:线地下方全为零;每层只有一行;层数即非零行数。📝定义四.七若非零矩阵,满足(一)地下一行地主元在上一行主元地右边;(二)若有零行,则所有地零行均位于非零行地下方,则称该矩阵为行阶梯形矩阵。20📚例一下列矩阵是不是行阶梯形矩阵零二矩阵21📚例二解利用初等行变换把下列矩阵化为行阶梯形矩阵零二矩阵22📚例三解利用初等行变换把矩阵先化为行阶梯形矩阵,再一步化为行最简形矩阵.零二矩阵23行阶梯形矩阵行最简形矩阵零二矩阵24零二矩阵若行阶梯形矩阵,满足(一)地每个非零行地主元全是一;(二)主元一所在地列地其余元素全为零,则称该矩阵为行最简形矩阵。25零二矩阵任一非零矩阵总可以通过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵,一步化为行最简形矩阵。行阶梯形矩阵不是唯一地,但行最简形矩阵是唯一地。📝定义四.八设非零矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵,称非零行地个数为矩阵地秩,记作。26📚例四解零二矩阵计算例一矩阵地秩因此矩阵地秩是三.27本节内容零一向量零二矩阵零三连加号""28零三连加号""考虑若干个数连加称为连加号,称为一般项。注意:称为求与指标,用