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四、函数的连续性1.函数的增量(一)、连续的定义2021/5/912.连续的定义2021/5/922021/5/932021/5/94例1证由定义2.9知2021/5/953.单侧连续性质2.142021/5/96例2解右连续但不左连续,2021/5/974.连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数.定理2.3:基本初等函数在定义域内都是连续的.f(x)在(a,b)内连续:2021/5/98(二)、函数的间断点及类型2021/5/991x=2例42021/5/9101.第一类间断点1)跳跃间断点2)可去间断点注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.2021/5/911例52021/5/9122.第二类间断点例6解2021/5/913例7解2021/5/914注意不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★12/162021/5/915例8解2021/5/916(三)、连续函数的性质2021/5/917例如,结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.复合函数的连续性2021/5/918(四)、闭区间上连续函数的性质定理1(有界性定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)

在[a,b]上有界.连续但无界例如,定义:2021/5/919定理2(最大、最小值定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)

在[a,b]上可取到最大值,最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.2021/5/920Th3(介值定理)MCmab几何解释:2021/5/921定义:推论(零点存在定理)几何解释:2021/5/922注意(1)若f(x)在[a,b]上单调,则只有唯一零点.(2)若[a,b]改为(a,b)结论未必成立.在(1,2)连续,但Th2.6不成立.-12021/5/923例1证由零点定理,2021/5/924例2证由零点定理,2021/5/925证:在[0,1]连续,由零点定理2021/5/926(五)、

小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)2021/5/927可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx2021/5/928连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.求极限的又一种方法.反函数的连续性.四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．2021/5/929思考题下述命题是否正确？2021/5/930思考题解答不正确.例函数2021

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