函数与极限习题课

二、连续与间断一、函数三、极限函数与极限

第一章2021/5/91（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容2021/5/92函数的定义反函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数2021/5/931、函数的定义2021/5/94函数的分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)2021/5/95(1)单值性与多值性:2、函数的性质2021/5/96(2)函数的奇偶性:偶函数奇函数yxo2021/5/97(3)函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于区间I上任意两点及，当时，恒有：(1),则称函数在区间I上是单调增加的；或(2),则称函数在区间I上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。2021/5/98(4)函数的有界性:2021/5/99

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.(5)函数的周期性:oyx2021/5/9103、反函数4、隐函数2021/5/9115、反函数与直接函数之间的关系2021/5/9126、基本初等函数1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数2021/5/9137、复合函数8、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2021/5/9149、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式2021/5/9152021/5/916左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小两者的关系无穷大2021/5/9171、极限的定义2021/5/9182021/5/919左极限右极限2021/5/920无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系2、无穷小与无穷大2021/5/921定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质2021/5/922定理推论1推论23、极限的性质2021/5/9234、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.f.通分法;g.有理化方法;h.代数方法.2021/5/9245、判定极限存在的准则(夹逼准则)2021/5/925(1)(2)6、两个重要极限2021/5/926定义:7、无穷小的比较2021/5/927定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质9、极限的唯一性2021/5/928左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性

振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类2021/5/9291、连续的定义2021/5/930定理3、连续的充要条件2、单侧连续2021/5/9314、间断点的定义2021/5/932(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点的分类2021/5/933跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx2021/5/9340yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点2021/5/9356、闭区间的连续性7、连续性的运算性质定理2021/5/936定理1

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理28、初等函数的连续性定理32021/5/937定理4

基本初等函数在定义域内是连续的.定理5

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.9、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.2021/5/938定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.2021/5/939推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.2021/5/940二、典型例题例1解2021/5/941例2.设函数求解:2021/5/942例3解利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入上式得2021/5/943解联立方程组2021/5/944例4解将分子、分母同乘以因子(1-x),则2021/5/945例5解解法讨论2021/5/9462021/5/947令例62021/5/948～则有复习:

若例72021/5/949例8解2021/5/950例19.

确定常数a,b,

使解:原式故于是而2021/5/951例10

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:2021/5/952例11.

设

f(x)

定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:且对任意实数证明f(x)

对一切

x

都连续

.2021/5/953例12解2021/5/9542021/5/955例13.

当时,是的几阶无穷小?解:

设其为的阶无穷小,则因故2021/5/956例14.求解:

令则利用夹逼准则可知2021/5/957有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例15.

设函数试确定常数a

及b.2021/5/958例16.求的间断点,并判别其类型.解:

x=–1为第一类可去间断点

x=1为第二类无穷间断点

x=0