椭圆及其标准方程课件

椭圆及其标准方程“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空一:认识椭圆一:认识椭圆一:认识椭圆一:认识椭圆生活中的椭圆一:认识椭圆二:尝试探究、形成概念取一条定长的细绳;(1)若把它的两端用图钉固定在纸板上同一点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是一个圆。(2)若绳子的两端拉开一段距离,再分别固定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是什么曲线？动手实验(亲身体验)圆的定义圆OP

平面内与一个定点的距离等于常数(大于0)的点的轨迹叫作圆.这个定点叫做圆的圆心,

定长叫做圆的半径.

圆的定义：

平面内与两个定点的距离和等于常数(大于

)的点的轨迹叫作椭圆。21FF椭圆的定义：二:尝试探究、形成概念

类比椭圆椭圆的定义MF2F1这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.F1F2M

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。

这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。椭圆的定义两个问题：①为什么要强调在平面内？②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？三:概念透析平面内：圆OP空间中空间中球面椭球面①为什么要强调在平面内？三:概念透析平面内：椭圆MF2F1绳长=＝绳长＜②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？注：定长所成曲线是椭圆定长所成曲线是线段定长无法构成图形理解定义的内涵和外延数学概念是严谨、严密的，要多琢磨！多培养自己的严谨意识！步骤一：建立直角坐标系；步骤二：设动点坐标；步骤三：限制条件，列方程；步骤四：代入坐标步骤五：化简方程。回顾：求曲线方程的步骤四:椭圆的标准方程的推导（坐标法）OxyOxyOxyOxy♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”MF1F2方案一F1F2方案二OxyM学生活动xF1F2Moy解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).建构数学问题：上式如何化简呢？由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标椭圆的标准方程的推导碰到这么有规律的代数式一定要好好研究，总结一下，积累下来！方案(1):

两边直接平方.(太繁琐）方案(2):

考虑两个根号下代数式的相似性这样化简可以减少平方次数,而且为后面学习第二定义作了铺垫为表述方便记：则m+n=2a

①又因为:

m-n=②化简得即展开得两边除以①+②得2m=2a+得m=a+两边平方得xac2222222cayxaca-=+-则方程可化为即数学中的求美、求简意识观察左图，你能从中找出表示a、c、的线段吗？思考？椭圆的标准方程=b思考？如右图,如果焦点F1、F2在y轴上,且坐标分别为(0,

c),(0,c),a，b的意义同上，那么此时椭圆的方程是什么？椭圆的标准方程焦点在x上OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y焦点在y上椭圆的标准方程（两种形式）方程特点(2)在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；(3)焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；(1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；(4)a:表示椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半(长半轴长)c:表示半焦距.且有关系式成立。焦点在x上焦点在y上OF1F2OF1F2随堂练习1下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上？(3)已知椭圆上一点P到左焦点F1的距离等于6，则点P到右焦点的距离是

；(4)若CD为过左焦点F1的弦，则∆CF1F2的周长为

，

∆F2CD的周长为

。

已知椭圆方程为,则(1)a=

,b=

,c=

;(2)焦点在

轴上,其焦点坐标为

,

焦距为

。随堂练习2F1F2CD543(-3,0)、(3,0)6x41620变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4),结果如何？变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？当焦点在X轴时，方程为：当焦点在Y轴时，方程为：写出适合下列条件的椭圆的标准方程随堂练习3已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；随堂练习4方程表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.变式：(1)方程表示焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围.(2)方程表示焦点坐标为(±2，0)的椭圆，求k的值.k>0且k≠5/4

k>5/4k＝1/4

【错解】

由椭圆方程知，a2＝4，b2＝m，∴a2－b2＝4－m.∵2c＝2，∴c＝1，∴4－m＝1，∴m＝3.【错因】

忽视了对焦点在哪一坐标轴上的讨论．【正解】

当焦点在x轴上时，a2＝4，b2＝m.又∵2c＝2，∴c＝1，∴4－m＝1，m＝3.当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝4.又∵2c＝2，∴c＝1，∴m－4＝1，∴m＝5.综上，m的值为3或5.

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