第六章 1弯曲变形课件

弯曲变形第六章第六章1弯曲变形§6—2梁的挠曲线近似微分方程§6—4用叠加法求弯曲变形§6—6梁的刚度校核

提高梁刚度的措施§6—5简单超静定梁的解法§6—1概述§6—3用积分法求弯曲变形第六章1弯曲变形一，基本概念取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y轴，xy平面为纵向对称平面§6—1概述BxyA第六章1弯曲变形CyABx

挠度（

y）:横截面形心C(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。y挠度度量梁变形后横截面位移的两个基本量C'第六章1弯曲变形CyABxC'y挠度转角（

）：横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的

转角。转角

第六章1弯曲变形挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x为梁变形前轴线上任一点的横坐标，y为该点的挠度。CyABxC'y挠度转角

挠曲线第六章1弯曲变形挠度与转角的关系：CyABxC'y挠度转角

挠曲线第六章1弯曲变形挠度和转角符号的规定挠度：向上为正，向下为负。转角：自x

转至切线方向，逆时针转为正，顺时针转为负。CyABxC'y挠度转角

挠曲线第六章1弯曲变形§6--2

挠曲线近似微分方程

横力弯曲时,M和都是x

的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则推导公式纯弯曲时曲率与弯矩的关系为第六章1弯曲变形由几何关系知,平面曲线的曲率可写作第六章1弯曲变形MMoxyMMM>0M<0在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,y轴竖直向上为正。曲线向上凸时:y“<0,M<0曲线向下凸时：y“>0,M>0ox因此,M与y‘’的正负号相同第六章1弯曲变形此式称为

梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了

y‘2

项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为第六章1弯曲变形再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI

为一常量上式可改写成第六章1弯曲变形§6—3用积分法求弯曲变形挠度方程：转角方程：式中：积分常数C1

、C2

可通过梁挠曲线的边界条件和变形连续性条件来确定。第六章1弯曲变形ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度yA

和yB都应等于零。在悬臂梁中，固定端处的挠度yＡ和转角

A都应等于零。边界条件yA=0yB=0yA=0

A=0第六章1弯曲变形连续性条件ABAB

在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。第六章1弯曲变形

例题：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力P作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax

和最大转角

max.ABxyP第六章1弯曲变形ABxyP弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为x第六章1弯曲变形对挠曲线近似微分方程进行积分ABxyPx第六章1弯曲变形边界条件为:C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得ABxyPx第六章1弯曲变形C1=0C2=0ABxyPx第六章1弯曲变形梁的转角方程和挠曲线方程分别为ABxyPx第六章1弯曲变形ABxyP

max及fmax都发生在自由端截面处（）（）第六章1弯曲变形例题：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和最大转角

max.ABq第六章1弯曲变形解:由对称性可知，梁的两个支反力为ABq第六章1弯曲变形梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为xABq第六章1弯曲变形

(c)(d)边界条件为:ABq第六章1弯曲变形

将边界条件代入(c),(d)两式得

梁的转角方程和挠度方程分别为第六章1弯曲变形ABq

A在x=0

和x=l

处转角的绝对值相等且都是最大值，第六章1弯曲变形在梁跨中点l/2

处有最大挠度值ABq第六章1弯曲变形例题：图示一抗弯刚度为EI

的简支梁,在D点处受一集中力P

的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。ABPDab第六章1弯曲变形ABPDab解:梁的两个支反力为12第六章1弯曲变形两段梁的弯矩方程分别为xxABPDab12第六章1弯曲变形两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)第六章1弯曲变形D点的连续条件：在x=a处边界条件在处，在X=0处，ABPDab12第六章1弯曲变形代入方程可解得:两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)第六章1弯曲变形12第六章1弯曲变形将x=0和x=l

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b时,右支座处截面的转角绝对值为最大第六章1弯曲变形简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁，令得第六章1弯曲变形当a>b时，x1<a最大挠度确实在第一段梁中第六章1弯曲变形梁中点C

处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.第六章1弯曲变形对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。积分法的原则第六章1弯曲变形§6-4叠加法求梁变形

梁的刚度校核叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和。这就是叠加原理。一，叠加法求梁变形第六章1弯曲变形例题：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图a所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度fC和支座处横截面的转角

A,B

。ABmC(a)q第六章1弯曲变形解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。b,c所示ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC第六章1弯曲变形()()ABmC(a)qAC(b)Bqm(C)ABC第六章1弯曲变形例题:试利用叠加法，求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度fC

和两端截面的转角

A,B

。ABCq第六章1弯曲变形解：该梁上荷载可视为正对称荷载与反称对荷载两种情况的叠加。ABCqCABCAB第六章1弯曲变形（1）正对称荷载作用下CAB第六章1弯曲变形（2）反对称荷载作用下可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l/2的简支梁在跨中C截面处，挠度fc等于零，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零CAB第六章1弯曲变形CABCAB第六章1弯曲变形将相应的位移进行叠加,即得（）（）第六章1弯曲变形例题：一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角

B

以及A端和BC中点D的挠度fA

和fD

。

ABCDaa2a2qq第六章1弯曲变形解：将外伸梁沿B截面截成两段，将AB

段看成B

截面固定的悬臂梁，BC

段看成简支梁。ABCDaa2a2qq第六章1弯曲变形2qABB

截面两侧的相互作用力为：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq第六章1弯曲变形就是外伸梁AC

的

B，fD2qaBCDq简支梁BC

的受力情况与外伸梁AC的BC

段的受力情况相同由简支梁BC求得的

B，fDABCDaa2a2qq第六章1弯曲变形2qaBCDq简支梁BC

的变形就是MB和均布荷载q分别引起变形的叠加。(1)求

B，fDqBCDBCD第六章1弯曲变形2qaBCDqqBCDBCD第六章1弯曲变形由叠加原理得2qaBCDqqBCDBCD第六章1弯曲变形2qAB(2)求fA由于简支梁上B截面的转动，代动AB段一起作刚体运动，使A端产生挠度f1

悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度f22qa2qaABCDqABCDq第六章1弯曲变形因此，A端的总挠度应为由附录1V查得2qAB2qa2qaABCDqABCDq第六章1弯曲变形例题：用叠加法求梁中点处的挠度。设b<l/2。ACBblq第六章1弯曲变形解：将均布荷载看作许多微集中力dP

组成ACBblqxdxdP=qdxdP=qdx第六章1弯曲变形ACBblqxdxdP=qdx第六章1弯曲变形梁的刚度条件可表示为二，梁的刚度校核第六章1弯曲变形一.基本概念PABABCP超静定梁

§6-5简单超静定梁的解法单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁“多余”约束多于维持其静力平衡所必需的约束第六章1弯曲变形

超静定次数“多余”反力与“多余”约束相应的支座反力超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数。PABABCPRCRB第六章1弯曲变形ABq(a)

二，求解超静定梁的步骤图示为抗弯刚度为EI的一次超静定梁。（1）解除多余约束，代之以约束反力。得到原超静定梁的基本静定系。qAB(b)第六章1弯曲变形

图（b）为基本静定系。（2）超静定梁在多余约束处的约束条件，就是原超静定梁的变形相容条件。ABq(a)qAB(b)第六章1弯曲变形

（3）根据变形相容条件得

变形几何方程变形几何方程为ABq(a)qAB(b)第六章1弯曲变形

（4）将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程查表得qAB(b)BAqAB第六章1弯曲变形

补充方程为由该式解得qAB(b)BAqAB第六章1弯曲变形

梁固定端的两个支反力qABl第六章1弯曲变形ABq(a)代以与其相应的多余反力偶mA

得基本静定系变形相容条件为请同学们自行完成！方法二取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束。ABq第六章1弯曲变形例题：梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD

与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD

内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为l,拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD

内的拉力N。a2aABCq2qD第六章1弯曲变形BCq2qADA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即解：这是一次超静定问题