2024年高考数学复习：19 立体几何中的轨迹问题(原卷版)

19立体几何中的轨迹问题【题型一】由动点保持平行性求轨迹【典例分析】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（）A．a B．a C． D．【提分秘籍】基本规律1.线面平行转化为面面平行得轨迹2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹【变式演练】1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（）A．三角形边界的一部分 B．一个点C．线段的一部分 D．圆的一部分2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）A． B． C． D．3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（）A．1 B． C．2 D．【题型二】动点保持垂直性求轨迹【典例分析】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（）A．点 B．线段 C．线段 D．平面【提分秘籍】基本规律1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹2.利用空间坐标运算求轨迹3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹【变式演练】1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为A．线段 B．线段C．的中点与的中点连成的线段 D．的中点与的中点连成的线段2.在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：①点P可以是棱的中点；②线段MP的最大值为；③点P的轨迹是正方形；④点P轨迹的长度为．其中所有正确说法的序号是________．

3.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（）A．与不可能平行B．与是异面直线C．点的轨迹是一条线段D．三棱锥的体积为定值【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹【典例分析】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【提分秘籍】基本规律1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹2.利用空间坐标计算求轨迹【变式演练】1.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（）A． B．C． D．2.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．3.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（）A． B． C． D．6【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹【典例分析】正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线与直线夹角与直线与直线的夹角相等，则点所在轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【提分秘籍】基本规律直线与面成定角，可能是圆锥侧面。直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面利用空间坐标系计算求轨迹【变式演练】1.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支2.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆3.在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.【题型五】投影求轨迹【典例分析】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律球的非正投影，可能是椭圆面多面体的投影，多为多边形。【变式演练】1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）【典例分析】如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（）A．椭圆的一段 B．抛物线的一段C．双曲线的一段 D．一段圆弧【提分秘籍】基本规律1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【变式演练】1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（）A． B． C． D．π2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把