2024年高考数学复习：14 向量小题归类 原卷版

14向量小题归类【题型一】向量基础：“绕三角形”（基底拆分）【典例分析】我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律基础拆分的俩个公式，与位置无关。（1）.（2）【变式演练】1.如图，在中，为中点，在线段上，且，则（）A． B．C． D．2.如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（）A． B．C． D．山东省淄博市桓台第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题3.，，为所在平面内三点，且，，，则（）．A． B．C． D．【题型二】系数未知型“绕三角形”【典例分析】如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为()A． B． C．1 D．【提分秘籍】基本规律平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若、是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.（1）选定基底，则、，是唯一的（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系。【变式演练】1.如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A． B． C． D．2.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（）A． B． C． D．3.如图，中，与交于，设，，，则为A． B． C． D．【题型三】求最值型“绕三角形”【典例分析】在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）2.也可用均值不等式，或者建系设点三角换元【变式演练】1.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A． B． C． D．2.在中，，M为线段EF的中点，若，则的最大值为（）A． B． C． D．3.中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A．B．C．6D．8【题型四】数量积【典例分析】已知菱形ABCD边长为2，∠B＝，点P满足＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ的值为()A． B．－ C． D．－【提分秘籍】基本规律1.求解数量积，可以选择有长度或者角度关系的向量作为基底求解。2..已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.【变式演练】1.如图，在等腰直角中，，C为靠近点A的线段AB的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，则的值是A． B． C． D．22.在中，，点在上，，是的中点，，，则A．1 B．2 C．3 D．43.已知是边长为3的正三角形，点是的中点，点在边上，且，则（）.A． B． C． D．【题型五】数量积最值型【典例分析】在中，，，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式演练】1.已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（）A． B． C． D．2.如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD=DM，N是线段BD上的动点，过点作AM的垂线，垂足为H，当最小时，（）A． B．C． D．在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为___________.【题型六】向量模【典例分析】若向量，，，且，则的最小值为_________．【提分秘籍】基本规律1.向量的模是线段的长度2.可以借助几何意义，也可以建系设点【变式演练】1.已知是平面上的单位向量，则的最大值是__________.2.已知向量满足，且，则______.3.设，为单位向量，则的最大值是________【题型七】投影向量【典例分析】已知平面向量和满足，则在方向上的投影的最小值为___________.【提分秘籍】基本规律1.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.2.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.3.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.【变式演练】1.已知点、、、,则向量在方向上的投影为 （）A． B． C． D．2.已知向量满足则在上的投影的取值范围是（）A．B．C．D．【题型八】向量技巧1：极化恒等式【典例分析】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是________.【提分秘籍】基本规律基础知识：在△中，是边的中点，则.【变式演练】1.已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）2.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为A．2 B． C．3 D．3、已知球的半径为1，是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A．B．C．D．【题型九】向量技巧2：等和线【典例分析】在ΔABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2DB，CD=A．−13B．−23【提分秘籍】基本规律等和线原理：【变式演练】1.如图，在ΔOMN中，A、B分别是OM、ON的中点，若OP=xOA+yOB（x，y∈R），且点P落在四边形A．13,23 B．13,32.如图，中，是斜边上一点，且满足：,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（）A．2B．C．3D．3.如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xA．1,4+23B．4−23,4+23C．【题型十】向量技巧3：奔驰定理与面积【典例分析】设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为A．6 B． C． D．4【提分秘籍】基本规律为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.【变式演练】1.设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则A． B． C． D．2.为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（）A． B． C． D．3.已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（）A． B． C．3 D．【题型十一】解析几何中的向量【典例分析】已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式演练】1.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则A.B.C.D.2.如图所示，已知椭圆：的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，分别延长到，使得，，是椭圆上一点，延长到，若，则（）A．10B．5C．6D．3【题型十二】向量四心【典例分析】已知O，N，P在所在平面内，且，，则点O，N，P依次是的（）A、重心外心垂心B、重心外心内心C、外心重心垂心D、外心重心内心【提分秘籍】基本规律在中：1.重心：2.外心：3.内心：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)4.垂心：【变式演练】1.已知外接圆的圆心为，，，为钝角，是边的中点，则（）A．B．C．D．2.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心3.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心【题型十三】综合应用【典例分析】已知，是半径为的圆上的动点，线段是圆的直径，则的取值范围是（）A．[−2,12] B．[−2,0] C．[−4,【变式演练】1.．已知向量a,满足|a|=2，〈a,b〉=60°A．934 B．4 C．213 2.设，，为非零不共线向量，若a−tc+1−tb≥A．a+b⊥C．a+c⊥3.已知平面向量akk=1,2,...,6满足：ak=kk=1,2,A．9 B．10 C．12 D．14【题型十四】超难小题【典例分析】已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【变式演练】1.已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是___．2.已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________.3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．模拟题1.如图所示，在中，设，的中点为，的中点为，的中点恰为，则（）A． B． C． D．2.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且，AE与BF交于点P，若，则（）A． B． C． D．3.如图，直角梯形中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（）A．3 B． C．4 D．4.边长为6的正三角形中，为中点，在线段上且，若与交于，则（）A．-12 B．-9 C． D．5.如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为A． B． C． D．6.如图，在平面四边形中，为的中点，且，．若，则的值是．7.已知点P为ABC内一点，，则，，的面积之比为（）A． B． C． D．8.已知O是△ABC所在平面上的一点，若(其中P为平面上任意一点),则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心9.在中，边上的高线为，点位于线段上，若，则向量在向量上的投影为（）A．