2024届高考数学一轮总复习专题一高考中的导数应用问题第3课时利用导数研究函数的零点课件

第3课时利用导数研究函数的零点

函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想.函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，判断零点存在性及零点个数是考查的一个热点.题型一数形结合法研究函数的零点令f′(x)＝0，得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1).当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是结合y＝φ(x)的图象(如图2-1)，可知：图2-1【反思感悟】

含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数.若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围.【互动探究】解：(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g′(x)＝ex(－x2＋2x＋1)，∴g′(1)＝2e，又g(1)＝0，∴切线的斜率为2e，切点为(1，0).∴所求的切线方程为y－0＝2e(x－1)，即y＝2e(x－1).图D17题型二函数性质法研究函数的零点[例2]已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4.(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点.(2)证明：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx，∵h(－x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝h(x)，∴h(x)为偶函数.又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点.下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：h(x)＝x2＋4－4xsinx－4cosx＝x(x－4sinx)＋4(1－cosx).当x∈[4，＋∞)时，x－4sinx>0，4(1－cos

x)≥0，又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin4－4cos4>0，综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，又h(0)＝0且h(x)为偶函数，故h(x)在R上有且仅有三个零点.【反思感悟】

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.【互动探究】2.已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e是自然对数的底数).(1)求f(x)的单调区间；解：(1)因为f(x)＝ex－ax－1，所以f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)<0，得x<lna，令f′(x)>0，得x>lna，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞).综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，lna)，单调递增区间为(lna，＋∞).由(1)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.①若a≤0，由f(0)＝0，知f(x)在区间[0，1]上有一个零点；②若a>0且ln

a≤0，即0<a≤1，则f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在[0，1]上有一个零点；③若0<lna<1，即1<a<e，则f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，1)上单调递增，又f(1)＝e－a－1，所以当e－a－1≥0，即1<a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有两个零点，当e－a－1<0，即e－1<a<e时，f(x)在[0，1]上有一个零点；题型三构造函数法求函数的零点(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数.②当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0，1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图象总有一个交点.【反思感悟】

(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点.根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围. (2)解决此类问题的关键是构造函数F