陕西省渭南市富平县2024届高三上学期摸底考试数学试题理（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省渭南市富平县2024届高三上学期摸底考试数学试题（理）一、选择题1.设复数中，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，所以.故选：A.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意或，又，所以，故选：3.下列函数中，在上递增，且周期为的偶函数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，是奇函数，故A错误；对于B，为偶函数，最小正周期，但其在上单调递减，故B错误；对于C，是奇函数，故C错误；对于D，，则的定义域为，，故为偶函数，且时，函数在上单调递增，又的图象是由将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及上方部分不变，又最小正周期为，所以的最小正周期，故D正确；故选：D4.如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，连接直线，因为分别为直线和直线的中点，所以为的中位线，所以，则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值，因为,所以平面,平面,所以,所以为直角三角形，所以.故选：B.5.“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（）A.72 B.36 C.48 D.18〖答案〗B〖解析〗由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家，故共有种分派方法.故选：B.6.等比数列为递减数列，若，，则（）A. B. C. D.6〖答案〗A〖解析〗由为等比数列，得，又，∴为方程的两个根，解得，或，，由为递减数列得，∴，，∴，则，故选：A.7.已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（）A.若，，则 B.，，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗D〖解析〗对A，若，，则可能平行、相交或异面，A错误；对B，若，，则可能平行、相交或异面，B错误；对C，若，，则可能、或与相交，C错误；对D，因为，，则，D正确；故选：D.8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（）（参考数据：，，）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗设经过个小时才能驾驶，则，即，由于在定义域上单调递减，∴，∴他至少经过小时才能驾驶.故选：C.9.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据概率公式计算可得，，；由概率的加法公式可知，代入计算可得故选：D10.已知函数的定义域为，，当时，，则的值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗由可得函数为奇函数，又可知，所以，可得，即，因此是周期为的奇函数，则，代入计算可得.故选：B11.已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗因为等差数列的公差为，所以，所以，所以数列是周期为3的数列，当时，则，，所以，所以，排除,只有符合,故选：.12.已知圆半径是1，直线与圆相切于点，过点的直线与圆交于，两点，且点与点在直线的两侧，点为中点，若，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，在中，，，所以，，设，，在中，，由于，则，当时，，此时取得最大值.故选：D.二、填空题13.已知双曲线的离心率为2，则_________．〖答案〗〖解析〗由可得，利用离心率为，可得，解得.故〖答案〗为：.14.若实数满足约束条件，则的最大值为__________．〖答案〗14〖解析〗根据题意画出满足约束条件的可行域如下图中着色部分所示：将目标函数变形可得，若取得最大值，即直线在轴上的截距取得最小值，将平移到过点时，直线在轴上的截距最小，此时目标函数有最大值为.故〖答案〗为：.15.已知椭圆,四个点中恰有三个点在椭圆上,则椭圆的方程是_____.〖答案〗〖解析〗由于椭圆是对称图形，所以必在椭圆上，于是有…...①若点在椭圆上，则矛盾，所以点在椭圆上，及……②联立①②解得，故椭圆的标准方程为，故〖答案〗：.16.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以函数区间上单调递增，即在上恒成立，显然，所以问题转化为在上恒成立，设，所以，所以在上单调递增，所以，故，所以的最小值为：.故〖答案〗为：.三、解答题（一）必考题：共60分.17.射击比赛是群众喜闻乐见的运动形式之一，甲、乙两名射击运动员在某次比赛中各射击6次得到的环数如下表所示：甲9106968乙510107106（1）分别求出甲、乙运动员6次射击打出的环数的平均数；（2）分别求出甲、乙运动员这6次射击数据的方差，并根据计算结果说明本次比赛哪位运动员的发挥更稳定．解：（1）由甲、乙运动员的6次射击成绩甲9106968乙510107106可得：甲6次射击环数的平均数为：，乙6次射击环数的平均数为：，（2）甲射击环数的方差为：乙射击环数的方差为：，由于，因此甲运动员的发挥更加稳定18.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角B；（2）若，求的面积．解：（1）根据，由正弦定理可得，又，所以可得，即；因为，所以即．（2）由结合（1）中的结论，由余弦定理可得，即，解得，即，所以．即的面积为.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．（1）求证：平面；（2）设正方形的边长为，求侧面与底面夹角的余弦值．（1）证明：在正方形中，易知，又侧面底面，侧面底面，平面ABCD，所以平面，又平面，所以，又是正三角形，是的中点，可得，又，且平面PCD，所以平面PCD．（2）解：取中点分别为，连接，如下图所示：则，又是正三角形，，显然，且平面，所以平面，在正方形中，，故平面，即是侧面与底面的夹角的平面角，又因为平面，，平面，又平面，可得，因为正方形ABCD的边长为，则，由勾股定理可得，则，故侧面与底面夹角的余弦值为．20.在平面直角坐标系中，抛物线方程为，其顶点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若点，设直线与抛物线交于A、B两点，且直线、的斜率之和为0，证明：直线必过定点，并求出该定点．解：（1），且抛物线的顶点到焦点的距离为，则该抛物线的焦点坐标为，，解得，因此，该抛物线的方程为；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，.直线的斜率为，同理直线的斜率为，由题意得，上式对任意的非零实数都成立，则，解得，所以，直线的方程为，该直线过定点.21.已知函数．（1）求的极值；（2）若无零点，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，令，得，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，无极大值，所以，无极大值.（2）若无零点，等价于关于的方程没有实数解，即关于的方程没有实数解，①当时，该方程可化为，没有实数解，符合题意；②当时，该方程化为，令，则，由，得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又当时，，故函数的值域为，所以当时，方程无实数解，解得，综合①②，可知的取值范围是.（二）选考题：考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于、两点，求的值.解：（1）在直线的参数方程中消去参数，可得直线的普通方程为，在圆的极坐标方程两边同时乘以，可得，由可得圆的直角坐标方程为，即；（2）设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，即，，由韦达定理得，，又直线过点，所以.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）求不等式的解