新高考数学解析几何试题分析及教学建议

新高考数学解析几何试题分析及教学建议

作者：严运华

来源：《广东教育（综合）》2021年第09期

2021年是广东省实施新高考改革的第一年，高考数学不再分文理科，不同选科（3+1+2）的考生都采用同一套试题.新高考仍然坚持中国高考评价体系“一核、四层、四翼”的命题指导思想，试题将“四层”的考查内容及学科关键能力的考查与思想道德的渗透有机结合，通过科学设置“学科核心素养”考查的总体布局，实现融知识、能力、价值的综合测评，从而使“立德树人”真正在高考评价实践中落地.新高考数学试卷呈现新的特点：首先表现在试卷结构上，全卷共22道试题，其中选择题（单选）8道，选择题（多选）4道，填空题4道，解答题6道;其次在试卷的考查内容上，依据课程标准的要求，取消了原来高考数学试题中的选做题（坐标系与参数方程、不等式选讲）;在具体题目的设计上也有新的变化.本文对2021年新高考全国数学Ⅰ卷解析几何试题进行分析并提出教学建议.

一、2021年新高考数学解析几何考查的知识点和核心素养情况

由右上表可知，2021年新高考全国卷解析几何试题特点为：从内容来看，覆盖了直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识，着力于圆锥曲线的定义、方程、几何性质等主干知识的价值和考查力度;从思想方法来看，突出对数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学思想、方法的理解与应用;从核心素养来看，试题体现对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的考查.其中，特别凸显直观想象与数学运算素养的考查，解析几何中的逻辑推理可利用“形”的特征，结合曲线的定义与平面几何的有关性质予以证明或转化为代数运算来证明.也就是说，逻辑推理核心素养的考查一般寓于直观想象和数学运算之中.由于每道试题的解法多样，不同的解法体现不同的数学核心素养，同一解法中也不只涉及一种核心素养.一道试题的完成需要学生具有良好的数学素养，要综合运用多方面的核心素养分析问题并解决问题.上表中试题体现的数学核心素养的水平判断，是依据《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中核心素养水平的界定原则而确定的.

二、2021年新高考数学解析几何典型试题分析

新高考数学解析几何试题解法入口宽，且隐含着一般性结论.也就是说，命题者是将一般化的结论特殊化处理后得到了高考试题.

例1.（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第5题）已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

分析：这是一道单选题，解题方法多，既可用基本不等式也可用二次函数最值进行求解.

解法1：由椭圆定义得MF1+MF2=2a=6，再根据基本不等式

MF1·MF2≤（）2（等号当且仅当MF1=MF2=3时成立），故选C.

解法2：设MF1=t，则MF2=6-t，则MF1·MF2=-（t-3）2+9，由二次函数性质知，MF1·MF2的最大值为9，故选C.

此题隐含的一般结论为：

定理1：已知F1，F2是椭圆C：+=1（a>b>0）的两个焦点，点M在C上，则MF1·MF2的最大值为a2，最小值为b2.

证明：设MF1=t，则MF2=2a-t，且a-c≤t≤a+c，c为半焦距.

则MF1·MF2=-（t-a）2+a2，而a-c≤t≤a+c，当t=a时，MF1·MF2的最大值为a2，当t=a+c或t=a-c时，MF1·MF2的最小值为a2-c2，即为b2.

例2.（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-，0），F2（，0），点M满足MF1-MF2=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

分析：本题第1问，利用双曲线的定义即可求解，但要注意双曲线定义的严谨性，由于MF1-MF2=2<2=F1F2，故只能是双曲线的右支;

第1问还可以直接建立动点M的方程，然后通过化简得出所求的轨迹.当然，这种方法在化简方程时较为繁琐.第一种方法比较快捷.

（1）因为MF1-MF2=2<2=F1F2，所以轨迹C是以F1，F2为焦点，实轴长2a=2的双曲线的右支，则a=1，c=，所以b2=c2-a2=16，所以C的方程为x2-=1（x≥1）.

第2问可根据两点间的距离公式，直接求出TA·TB以及TP·TQ，从而得出直线AB的斜率与直线PQ的斜率关系;也可利用平面几何知识转化为A，B，P，Q四点共圆问题，从而找出经过A，B，P，Q四点的曲线方程，根据圆的方程特征，确定直线AB的斜率与直线PQ的斜率关系.

（2）解法1：用直线的点斜式方程和弦长公式求解.

设点T（，t），若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为y-t=k1（x-），即y=k1x+t-k1，

联立y=k1x+t-

k1，

16x2-y2=16，消去y并整理可得：

（k12-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-k1）2+16=0

設点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1>且x2>.由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=所以：

TA·TB=（1+k12）·x1-

·x2-

=（1+k12）·（x1x2-+）=.

设直线PQ的斜率为k2，同理可得TP·TQ=，

因为TA·TB=TP·TQ，即=，整理得k12=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，显然k1-k2≠0，故k1+k2=0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法2：用圆的方程特征求解.

因为点T在直线x=上，故设T（，n），设过点T的直线AB的方程为y-n=k1（x-），设过点T的直线PQ的方程为y-n=k2（x-），则直线AB，PQ的方程为（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）=0.

又A，B，P，Q四点在曲线C上，即x2-=1，所以A，B，P，Q四点在如下的曲线上，（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）+x2--1=0.

因为TA·TB=TP·TQ，根据圆的切割线定理的逆定理，知A，B，P，Q四点共圆，所以上面这个方程表示过A，B，P，Q四点的圆，所以左边展开后x2，y2项的系数相等，且xy项的系数为零.而xy项的系数为-（k1+k2），故k1+k2=0.

解法2充分利用了曲线与方程的关系，结合圆的方程的特征得出结论.

此题第2问隐含的一般结论为：

定理2：过点T的两条直线分别交曲线C：ax2+by2=c（a≠b）于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，则直线AB的斜率与PQ直线的斜率之和为零.

定理3：设两条直线y=kix+bi（i=1，2）与曲线ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四个不同的交点，若这四个交点共圆，则k1+k2=0.

定理2与定理3本质相同，因为由平面几何切割线定理的逆定理知：TA·TB=TP·TQ等价于A，B，P，Q四点共圆.

证明：两直线组成的曲线方程为（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）=0，

则过四个交点的曲线方程可设为：

（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0……①

若四点共圆，则方程①表示圆，那么①式左边展开式中xy项的系数为零，即有k1+k2=0.

显然，例2是定理2、定理3的一个特例，近年高考命题常以一般结论为源，将其特殊化而得.由于将一般命题特殊化的题目往往有多种解法，为不同水平的考生提供展示才能的机会.

三、新高考数学解析几何的教学建议

解析几何是高中数学的重要内容，也是高考数学的重点和难点，学生得分一直不太理想.教师要加强研究，明晰高考解析几何的试题特点，调整教学策略，提升学生数学核心素养.

（一）注重通性通法，强化四种意识

解析几何的教学要狠抓基础，熟练方法.对定义法、待定系数法、数形结合、求轨迹的几种常见方法、定点、定值、最值等基本方法要牢固掌握;解析几何教学与复习要强化四种意识.

1.回归定义的意识

圆锥曲线定义体现了圆锥曲线的本质属性，运用圆锥曲线定义解题是一种最直接、最本质的方法，往往能收到立竿见影之效.回归定义与数形结合相得益彰，成为解题中最美的风景，体现几何直观与数学推理的素养.教师要提醒学生千万不可“忘本忘形”.波利亚说：“当你不能解决一个问题时，不妨回到定义去.”定义是解决问题的原动力.不可忽视定义在解题中的应用.凡涉及圆锥曲线焦点、准线、离心率与曲线上的点的有关问题，可考虑借助圆锥曲线定义来转化.

2.数形结合意识

华罗庚先生曾这样描述数形关系：“数与形，本是相倚依，焉能分作兩边飞.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事非.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解析几何的基本方法，是直观想象与数学运算、逻辑推理的具体体现.

3.设而不求的意识

用解析法处理几何问题，常常设出点的坐标而不具体求出.根据点在曲线上，坐标是有关方程解的代数特征，灵活运用方程理论，通过整体思想处理坐标关系，是设而不求的实质.如果涉及曲线交点的问题，可不求出交点的坐标，而是转化为利用韦达定理或“点差法”的形式，可快速做出正确的解答.

4.应用“韦达定理”的意识

如果直线与二次曲线的位置关系，联立直线方程和二次曲线方程，消去一个变量后得到一个一元二次方程，利用判别式和韦达定理.其中判别式是前提，通过判别式确定参数范围，应引起重视.

（二）活用四种思想，加强知识联系

高考解析几何解答题综合性强，需要综合运用多种数学思想，对学生的数学素养要求高.函数思想、方程思想、不等式思想以及化归与转化思想等在解析几何中有着广泛的应用.解析几何