四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测一数学试题理（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（一）数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，又，由交集的运算可知：.故选:B.2.复数为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗复数的虚部是－1．故选：B．3.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点B，则B的坐标为（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点故选：B.4.以模型去拟合一组数据，设将其变换后得到线性回归方程，则原模型中的值分别是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗两边取对数，可得，令可得∵线性回归方程∴，解得.故选：B.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知是偶函数，即其图象关于纵轴对称，排除C、D选项；又当时，，排除B项.故选：A.6.已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗二次函数的对称轴为，且开口向下，因为是上的增函数，所以有，故选：B7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以.故选：A.8.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即，所以，故选：B.9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩〖答案〗D〖解析〗由题意，甲看乙、丙的成绩，但甲不知道自己成绩，说明乙、丙的成绩一个优秀、一个良好，从而甲、丁的成绩一个优秀、一个良好，丁看甲的成绩，故丁一定知道甲和自己的成绩，但不知道乙、丙的成绩；乙看丙的成绩，故乙一定知道丙和自己的成绩，但不知道甲、丁的成绩；故选：D10.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（）A72 B.108C.144 D.196〖答案〗C〖解析〗按题意，5上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．第一步，填上方空格，有4种方法；第二步，填左方空格，有3种方法；第三步，填下方空格，有4种方法；第四步，填右方空格，有3种方法.由分步计数原理得，填法总数为.故选：C.11.已知正数满足（为自然对数的底数），则下列关系式中不正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，令，，则恒成立，所以在上单调递增，故，所以，B正确，，A正确，，D正确，C选项，，，又在上单调递增，，故，所以，故，设，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，故，即，当且仅当时，等号成立，故，则，所以，又，故，C错误.故选：C12.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，且，由题：，，设则，令，故在递增，在递减，.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题13.“”为真命题，则实数的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗因为“”为真命题，所以，即.所以实数的最大值为.故〖答案〗为：14.已知随机变量，若，则___________.〖答案〗16〖解析〗因为，则，又因为，所以.故〖答案〗为：16.15.有一些网络新词，如“内卷”、“躺平”等，现定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”，若函数，，的躺平点分别为，，，则，，的大小关系为__________.〖答案〗〖解析〗对于来说，，由“躺平点”定义可知，即可得，解得；对于，易知，所以可得，即，令，显然在上单调递增，易知，，所以可得，因此；对于，易得，所以，解得，因此可得.故〖答案〗为：16.干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是__________年.〖答案〗丙午〖解析〗因为，所以年以后地支为“午”.因为，又因为除以10余数为3，所以年以后天干为“丙”，故年以后是丙午年.故〖答案〗为：丙午三、解答题17.某高校课程的教师为了解本学期选修该课程的学生的情况，随机调查了200名选该课程的学生的一些情况，具体数据如下表：本专业非本专业合计女生7080男生40合计（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断是否有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关；（2）从样本中为“非本专业”的学生中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中随机抽取3人，求3人都是男生的概率.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.02500100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）解：由题意知，学生共200人，则男生人数为人，本专业男生人数为人，非本专业女生人数为人，故列联表如下：本专业非本专业合计女生701080男生8040120合计15050200所以.因为，所以有的把握认为选修课程的是否为本专业学生与学生性别有关.（2）解：样本中为“非本专业”的学生有50人，男、女人数之比为.用分层抽样方法从中抽出5人，男生有4人，记为，，，，女生有1人，记为，从这5人中再随机抽取3人，有，，，，，，，，，，共10个结果，其中3人都是男生的结果有4个，所以3人都是男生的概率为.18.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.解：（1），由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递增，所以在时取得极大值.所以.（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.19.某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为，，．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．解：（1）记“加工一件工艺品为废品”为事件A，则，则加工一件工艺品不是废品的的概率．（2）由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300，，，，，则随机变量X的分布列为：X-100-20100300P故．20.如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．（1）若为的中点，求证：平面；（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．（1）证明：连接，在中，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，在矩形中，，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）解：过点做交于点，连接由题可知平面，且，所以平面则，又，平面，所以平面，∴在平面内射影为，则即为与平面所成的角，所以在中，由可知则，，以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于平面轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.21.已知函数，其中．（1）讨论函数零点个数；（2）求证：．（1）解：①当时，即在单调递减，又，只有一个零点.②当时，令则，当时，当时，故在单调递增，在单调递减，，令，则，故当时，单调递减，当时，单调递增，故，又，，故当时，只有一个零点，当且时，有两个零点，综上可知：故当或时，只有一个零点，当且时，有两个零点，（2）证明：由（1）可知，当时，在单调递减，故当时，，故，取，则，即，相加可得，，，22.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径；（2）若曲线的参数方程为