2023-2024学年湖南省株洲市高一上学期第一次适应性检测数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖南省株洲市高一上学期第一次适应性检测数学质量检测模拟试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，则（

）A． B．C． D．2．下列选项中表示同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与3．若集合,则能使成立的所有组成的集合为（

）A． B． C． D．4．若，则的最小值是（

）A． B． C． D．5．不等式成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．6．对于、，规定，集合，则中元素的个数为（）A． B．C． D．7．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题中的真命题有（

）A．当x＞1时，的最小值是3B．的最小值是2C．当0＜x＜10时，的最大值是5D．若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最大值为310．下列说法正确的有（

）A．命题“若，则”的否定是“若，则”B．命题“，”的否定是“，”C．命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为D．命题“，”是真命题，则实数m的取值范围为11．对于集合，定义，且，下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，，或，则D．若，，则，或12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上是减函数C．D．不等式的解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为.14．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是.15．已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是.16．已知函数，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数.(1)若A是空集，求a的范围；(2)若A是单元素集合，求a的范围：(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.18．（1）已知关于的不等式的解集是，求的值；（2）若正数，满足，求的最小值．19．已知集合，集合．(1)若，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．20．已知定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式;(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;(3)解不等式.21．已知二次函数.（1）若的解集为，解关于的不等式.（2）若对任意，恒成立，求的最大值.（3）已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.(1)若，试证明中还有另外两个元素；(2)集合是否为双元素集合，并说明理由；(3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.1．D【分析】先求出集合的补集，再求出【详解】因为，所以，因为，所以，故选：D2．D【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，的定义域为，而定义域为R，故二者不是同一函数；对于B，的定义域为R，与的定义域为，故二者不是同一函数；对于C，与对应关系不同，故二者不是同一函数；对于D，与的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数，故选：D3．C【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案.【详解】当时,即,时成立;当时,满足,解得;综上所述:.故选:C.4．B【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由，可得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：B.5．D【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.【详解】由，解得，所以不等式成立的一个必要不充分条件是.故选：D.6．C【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论，列举出满足条件的元素，即可得出集合的元素个数.【详解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论：①如果、的奇偶性相同，且、，此时，可为：、、、、、、、、、、，共个；②如果、的奇偶性不同，且、，此时，可为：、、、，共个.因此，集合的元素个数为个.故选：C.7．C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C8．B【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果【详解】因为，且时，，所以当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以当时，，解得或，作出函数的大致图象，如图所示，

由图可知，，恒有，必有，即的取值范围是，故选：B关键点点睛：函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用图象求解即可，考查数形结合思想，属于较难题.9．AC【分析】对于A、C利用基本不等式分析判断，对于B由对勾函数的性质分析判断，对于D根据基本不等式的变形分析判断.【详解】对于选项A因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；对于选项B因为，等号成立的条件是，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项B错误；对于选项C因为，则所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；对于选项D由得，故，当且仅当时取等号，故选项D错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据全称量词命题的否定及存在量词命题的否定可判断AB，根据全称量词命题及存在量词命题的真假结合二次函数的性质可判断CD.【详解】命题“若，则”为全称量词命题，它的否定为存在量词命题“，则，故A不正确；命题“，”的否定是“，”，故B正确；“，”是假命题，则它的否定“，”是真命题，则当时，，不合题意，当时，则，解得，故C正确；“，”是真命题，则，又，则，解得，故D正确．故选：BCD．11．ABC【分析】根据集合新定义即，且，一一判断各选项，可得答案.【详解】因为，且，所以若，则，故A正确，若，则,则，故B正确;，，或，则，故C正确，若，，则，，或，故D错误.故选：ABC12．ABD【分析】对于A，利用赋值法求得，从而得以判断；对于B，根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性；对于C，利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断；对于D，先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断.【详解】对于A，因为，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，即，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，又因为，所以由得，故，因为在上是减函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD．关键点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题.13．【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可.【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素，当时，，解得，符合题意；当时，，解得或，当时，，符合题意，当时，，符合题意.综上所述，的取值集合为.故答案为.14．【分析】根据是R上的减函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案.【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，所以函数在R上递减，所以，即，解得，所以的取值范围是.故答案为.15．【分析】根据函数的单调性，分别求得函数和的值域构成的集合，结合题意，得到，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数在为单调递减函数，可得，即函数的值域构成集合，又由函数在区间上单调递增，可得，即函数的值域构成集合，又由，，使成立，即,则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为.结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．16．1【分析】画出的图象后可求其最小值.【详解】的图象如图所示，故的最小值为1，故1.17．(1)；(2)或；(3)或.【分析】（1）讨论，根据可得结果；（2）讨论，根据可得结果；（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【详解】（1）若A是空集，则方程无解，当时，方程有解，不符合题意；当时，，得.综上所述.（2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根，当时，方程有唯一解，符合题意；当时，，得.综上所述：或.（3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解，当方程无解时，由（1）知，；方程有唯一实根时，由（2）知，或.综上所述：或.18．（1）；（2）【分析】（1）根据分式不等式解法求出含参的解集即可求的值；（2）用“1”的代换即可构造基本不等式求最小值.【详解】解：（1）可化为，因为不等式的解集是，所以，即，由，解得．（2），因为，所以．因为，而，当且仅当，时，等号成立，所以，所以，当且仅当，时，等号成立．19．(1)或；(2)存在，.【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可.【详解】（1）由题意，，所以或，因为，所以或，解得或，所以实数m的取值范围是或.（2）假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，则，即，则，解得，故存在实数使得是的必要不充分条件.20．(1)(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3)【分析】（1）由题意得，又，求解、，即可得出答案；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，通分、因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）根据单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可，需注意函数的定义域.【详解】（1）定义在上的奇函数，则，即，解得，又，即，解得，，经检验符合题意；（2）函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即，因此函数在上是增函数.（3），，，解得，不等式的解集为．21．（1）；（2）最大值为1；（3）.【分析】（1）利用的解集为，得出，，的关系，再解关于的不等式；（2）对任意，恒成立，等价于，且，借助均值不等式可得最大值；（3）由对于一切实数恒成立，可得，由存在，使得成立可得，结合均值不等式得到结果.【详解】解：（1）∵的解集为，∴，，，，∴，∴解集为，（2）∵对任意，恒成立，∴，且∴，，故，∴，当，时取“”，∴的最大值为1；（3）由对于一切实数恒成立，可得即，由存在，使得成立可得，∴，∴，又，∴，当且仅当时“”成立.22．(1)证明见解析；(2)不是，理由见解析