专题7.11 平面图形的认识（二）八类必考压轴题（原卷版）

专题7.11平面图形的认识（二）八类必考压轴题【苏科版】必考点1必考点1平行线中求角度的综合1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN-∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点

(1)如图1，请写出∠AME、(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n=．7．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）.必考点2必考点2平行线中的辅助线构造1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．5．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）必考点3必考点3平行线中利用方程思想求角度1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求4．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I-∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．必考点4必考点4平行线中利用分类讨论思想求角度1．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β间的数量关系．2．已知AB∥CD．(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线ND交于点3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC-∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=324．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．(1)试说明：∠BAG=∠BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG-∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM必考点5必考点5平行线中的动态问题1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN-∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．(1)当∠BFH=12∠BFN(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？必考点6必考点6构成三角形的条件1．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市斗门区实验中学校考期中）如图，已知P是△ABC内任一点，AB＝12，BC＝10，AC＝6，则PA+PB+PC的值一定大于（

）A．14 B．15 C．16 D．282．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中a≤b≤c，若b=2020，则满足此条件的三角形共有____个．3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有________个．4．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4；若四条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7；……，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度和的最小值为________．5．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.(1)求x的取值范围;(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.必考点7必考点7三角形中线与面积关系探究1．（2022秋·新疆吐鲁番·八年级统考期末）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=311则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．32．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．3．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC的长度的最小值为___．4．（2022春·江苏无锡·七年级无锡市侨谊实验中学校考期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________5．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作___________6．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S(3)在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图）若阴影部分的面积为S3，则S3=______.((4)发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF(5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次(图4已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域(即△ABC①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积．7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如，三个内角分别为120°，  40°，  (1)如图1，在△ABC中，∠B=∠C=45°，在BC上取一点D，连接AD，∠CAD=∠ADC．求证：△ABD是“智慧三角形”．(2)如图2，在△ABC中，在AB、AC、BC上分别取点F、点E、点D，连接DE、DF，∠DEC=∠EDC，∠FDB=∠BFD，(3)如图3，在（2）的条件下，△A