第04讲 三角形的外角（6种题型）（原卷版）

第04讲三角形的外角（6种题型）【知识梳理】1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【考点剖析】题型一、三角形的外角例1.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B+∠C．题型二：三角形的外角和例2：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？题型三、三角形的内角、外角综合例3.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．题型四：应用三角形的外角求角的度数例4：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.例5.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【变式】（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.题型五：用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和例6.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.【变式】（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．(1)求∠1度数；(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．题型六：三角形外角的性质和角平分线的综合应用例7.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．【变式】（2022·河南郑州·八年级期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，是的外角，若，，则（

）A．40° B．50° C．55° D．60°2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·八年级假期作业）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为（）A． B． C． D．5．（2023秋·八年级课时练习）如图，将一副三角板拼成如图所示的图形（，，，），交于点，则的度数是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·八年级单元测试）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，的大小为（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知直线，则(

)A． B． C． D．8．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（）A． B． C． D．9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．10．（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，∠1的大小为______．

12．（2021秋·广东河源·八年级校考期中）如图，若，，是延长线上的一点．则______．13．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，、的角平分线交于点，若，，则____．

14．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）将一副三角尺如图摆放，其中，，，，则______．

15．（2023秋·八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则______．

16．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在中，分别平分，交于点为外角的平分线，的延长线交于点．以下结论①，②，③，④，其中正确的是_________（填序号）．17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则________．18．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，平分，，分别交，，，的延长线于E，H，F，G，已知下列三个式子：①；②；③．其中正确的是________．（填序号）

三、解答题19．（2023秋·八年级课时练习）如图，分别交的边，于点，，交的延长线于，，，，求的度数．20．（2023秋·八年级课时练习）如图，，在上，，在上取一点使，求的度数．21．（2023秋·八年级课时练习）如图，，分别平分，，它们交于点，求证：．22．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数．

23．（2023·浙江·八年级假期作业）在中，，，，求的度数．

24．（2023春·浙江·八年级专题练习）探索归纳：(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．25．（2023·浙江·八年级假期作业）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的