第11讲 直角三角形全等的判定“斜边、直角边”（5种题型）（原卷版）

第11讲直角三角形全等的判定“斜边、直角边”（5种题型）【知识梳理】一．直角三角形全等的判定——“HL”1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．二、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【考点剖析】题型一．用“HL”直接证明直角三角形全等例1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【变式1】．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需补充条件，就可以根据“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【变式2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；(2)求证：．题型二．用“HL”间接证明直角三角形全等例2．（2022秋•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF．【变式1】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是、、且．求证：．

【变式2】根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN．证明：连接DB，DC∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN∴DM＝①（②）∵DE是BC的垂直平分线∴DB＝③（④）在⑤和⑥中∴⑦≌⑧（⑨）∴BM＝CN（⑩）题型三.灵活选用方法证明全等例3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．

(1)你添加的条件是______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明．【变式1】（2022秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等．【变式2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，垂足为，垂足为．求证：(1)；(2)．题型四．全等三角形综合应用例4.如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结，（1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？（2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？【变式】在中，，，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作交直线BC于F，如图2所示，通过证明，可推证等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．题型五：尺规作图—作直角三角形例5.尺规作图题已知：如图，线段，，直角．求作：，使，，．（注：不写作法，保留作图痕迹）

【变式】作图题（1）如图，已知线段m，n．求作△ABC，请在右面的空白处作△ABC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）婷婷将（1）中自己画的△ABC剪下来，放在同桌悦悦所画的△ABC上，发现两三角形完全重合，这一过程验证了三角形全等的哪一种判定定理：（直接写出答案，不写过程）．【过关检测】一、单选题1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是（

）A．小赵同学作图判定的依据是B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长C．小刘同学作图判定的依据是D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长2．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，于点D，点E，F在上，且，则图中共有全等三角形（

）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，在和中，，，则证明全等于的方法是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·广东茂名·八年级校考期中）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等5．（2023·湖南永州·统考三模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤6．（2022春·七年级单元测试）下列说法中，不正确的个数有（

）①有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等；④斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A．个 B．个 C．个 D．个7．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中，于点，若，则等于（

）

A． B． C． D．8．（2023·全国·八年级假期作业）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（

）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm9．（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，，，于点，于点，，，则的长是（

）A．2 B．5 C．7 D．910．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图，在中，已知，求证：．分析问题可知：需添加如图所示辅助线AD，进而证明．下列证明过程中：①取的中点D，连接，证明的依据是；②作的角平分线，证明的依据是；③过点A作于点D，证明的依据是．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题11．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知，要使用“”证明，应添加条件：_______________；要使用“”证明，应添加条件：_______________________．12．（2022春·七年级单元测试）如图，已知，若用判定，只需添加的一个条件是____________．13．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则______．14．（2023秋·八年级单元测试）如图，，请你再添加一个条件，使，你添加的条件是_______．15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，于点D，于点，且．若要根据证明，则还应添加的条件是______．16．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为_______．

17．（2023春·甘肃酒泉·八年级校联考期中）如图，点D，A，E在直线l上，于点D，于点E，且．若，则________．18．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．三、解答题19．（2021秋·广东河源·八年级校考期末）尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC，使其两条直角边分别等于已知线段m，n．（保留作图痕迹，不写作法）20．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，，，，，与相交于点F．(1)求证：(2)判断线段与的位置关系，并说明理由．21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，、、、四点共线，，，，求证：．

22．（2022秋·八年级单元测试）有一块等腰三角形木板，其中（如图），王师傅准备把它分成全等的两部分，小明和小刚分别设计了两种方案：（1）小明：确定BC的中点D，连结（如图1）．（2）小刚：