《圆锥曲线》章末复习课件

北师大版同步教材精品课件《圆锥曲线》章末复习知识网络建构注:椭圆以为例,双曲线以为例,抛物线以为例.答案①平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆。②椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形区域内③关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称⑤线段A1A2,B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴,且|A1A2|=2a,|B1B2|=2b⑦平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫做双曲线⑧双曲线在不等式x≤－a与x≥a所表示的区域内,且0<e<1知识网络建构⑨关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长度等于2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴它的长度等于2b一般地,直线和叫作双曲线

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线的渐近线x≥0且y∈R

关于x轴对称坐标原点知识网络建构

(k为直线斜率)知识网络建构e=1知识要点整合一、圆锥曲线的定义及应用1.圆锥曲线的定义(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.(2)平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.(3)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.2.圆锥曲线定义的应用(1)在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程.(2)对于涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题,常用定义结合解三角形的知识来解决.(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.提示:运用定义解题时,要注意圆锥曲线定义中的限制条件.一、圆锥曲线的定义及应用知识要点整合一、圆锥曲线的定义及应用例1(1)一动圆与两圆:和A.抛物线B.双曲线C.双曲线的一支D.椭圆(2)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为______.都外切,则动圆圆心的轨迹为()解析(1)表示圆心为原点O,半径为1的圆,化为标准方程为,表示圆心为A(3,0),半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为r,则,符合双曲线的定义,所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.知识要点整合一、圆锥曲线的定义及应用(2)设椭圆C的方程为,因为AB过F1且A,B在椭圆上,如图所示,则△ABF2的周长为,所以a=4.又离心率,所以,所以.所以椭圆C的方程为.答案(1)C

(2)知识要点整合二、圆锥曲线的几何性质1.圆锥曲线的几何性质知识要点整合二、圆锥曲线的几何性质2.抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异(1)它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形,抛物线不是中心对称图形.(2)顶点个数不同:椭圆有4个顶点,双曲线有2个顶点,抛物线只有1个顶点.(3)焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有1个焦点.(4)离心率的取值范围不同:椭圆的离心率的取值范围是0<e<1,双曲线离心率的取值范围是e>1,抛物线的离心率是e=1.(5)椭圆是封闭式曲线,双曲线和抛物线都是非封闭式曲线,由于抛物线没有渐近线,因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线.知识要点整合例2(1)若椭圆的离心率为,则双面线的渐近线方程为()B.C.D.A.(2)已知双曲线的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的B.C.D.直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.二、圆锥曲线的几何性质知识要点整合解析(1)由椭圆的离心率可知,,所以,故双曲线的渐近线方程为.(2)由题意可得,即.又左焦点F(－c,0),P(0,4),则直线PF的方程为,化简即得.结合已知条件和图象(如图)易知直线PF与直线平行,则,即4a=bc.故解得故双曲线的标准方程为.答案(1)A(2)B二、圆锥曲线的几何性质知识要点整合三、求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程的一般步骤:一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.(1)定形——指的是确定二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式——根据“形”设方程的形式.注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为.(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到“量”的大小.知识要点整合例3(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为,则椭圆C的方程是()B.C.D.三、求圆锥曲线方程A.(2)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为______.解析(1)由题意得解得则,故椭圆C的方程为.(2)由题意得解得则,因此双曲线的方程为.答案(1)D

(2)知识要点整合四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题直线与圆锥曲线相交,经常出现弦长、中点弦问题:(1)处理弦长问题时,一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组,消元化为一元二次方程后,利用根与系数的关系,代入弦长公式或,其中k为直线AB(2)处理中点弦问题时,一般有两种思路,思路一:联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行“设而不求”;思路二:利用“点差法”的斜率,交点.知识要点整合四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题例4已知椭圆的一个顶点为A(0,1),离心率为(1)求椭圆的方程;(2)求△CDF2的面积解析(1)利用点A坐标及离心率求出椭圆的方程.(2)利用弦长公式求出|CD|,再利用点到直线的距离公式求出三角形的高,从而求出三角形的面积.答案(1)由题意知b=1,

,且,解得.易得椭圆方程为.(2)因为

,过点B(0,－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C,D两点,右焦点设为F2.知识要点整合由得.因为,所以直线与椭圆有两个公共点.四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题设为,则所以

.又点F2(1,0)到直线BF1的距离,故.知识要点整合例5已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程;(2)若此抛物线方程与直线y=kx－2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.解析(1)设出抛物线的方程,由抛物线的定义结合已知条件列出方程,解方程可得答案.(2)联立抛物线与直线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,由直线与抛物线有两个交点可得k≠0,△>0,求出的取值范围,再结合中点横坐标的值,可求出k的值.四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题知识要点整合答案(1)由题意设抛物线的方程为,其准线方程为,因为A(4,m)到焦点,所以p=4,所以此抛物线的方程为y2=8x.四、圆锥曲线中的弦长、中点弦问题的距离等于A到其准线的距离,所以(2)由消去y得.因为直线y=kx－2与抛物线相交于不同两点A,B,解得k>－1且k≠0.由所以所求k的值为2.则有,解得k=2或k=－1(舍去),知识要点整合五、圆锥曲线中的定值、定点问题圆锥曲线中的定值、定点问题:(1)定值问题的常见类型及解题策略①求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.知识要点整合(2)定点问题的两种解法①引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.②特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.五、圆锥曲线中的定值、定点问题知识要点整合例6已知抛物线(1)求抛物线C的方程;(2)设动直线l交C于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB的斜率分别为,且求证:直线l经过定点,并求出定点的坐标.解析(1)由抛物线的定义可得,即可求出p的值,进而可得抛物线的方程.,代入抛物线方程消元化简为一元二次方程,得到答案(1)抛物线的准线方程为,由抛物线的定义可得,解得p=2.所以抛物线C的标准方程为y2=4x.五、圆锥曲线中的定值、定点问题上横坐标为2的一点P到焦点的距离为3.(2)设直线l的方程为x=my+n,根与系数的关系,再结合,列方程即可求出n的值,进而可得直线l经过定点.知识要点整合(2)显然直线l的斜率不为0,可设直线l的方程为x=my+n,.将l的方程代入,所以因为,解得n=2.则l的方程为x=my+2,所以直线l经过定点,且定点为(2,0).五、圆锥曲线中的定值、定点问题抛物线方程化简得知识要点整合例7如图,过点C(0,1)的椭圆的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0),五、圆锥曲线中的定值、定点问题B(－a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;(2)当点P异于点B时,求证:为定值.知识要点整合五、圆锥曲线中的定值、定点问题解析(1)利用C坐标和离心率求出椭圆的方程.联立直线l与椭圆方程求出D点坐标,进而求出CD的长.(2)表示出点D,P,Q的坐标,利用数量积的坐标运算探求定值.答案(1)由已知得,解得,所以椭圆的方程为.椭圆的右焦点为(,0),此时直线l的方程为.代入椭圆化简得,解得

，代入直线l的方程得

，所以D点的坐标为.又,故.知识要点整合五、圆锥曲线中的定值、定点问题(2)当直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线l的方程为,代入椭圆方程化简得,解得,代入直线l的方程得,所以D点坐标为.又直线AC的方程为,直线BD的方程为,联立AC与BD的方程解得因此Q点坐标为.又P点坐标为,所以.故为定值.知识要点整合最值、范围问题的常用解法有两种:(1)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法.(2)几何法:若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用几何图形性质来解决.六、圆锥曲线中的最值、范围问题知识要点整合六、圆锥曲线中的最值、范围问题例8已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是它的(1)求椭圆E的方程;(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B,C,当△ABC面积为最大值时,求直线l的一个焦点,又点A(1,)在该椭圆上.方程.解析(1)根据抛物线的方程得出椭圆的一个焦点是,得到c=

，再根据点A在椭圆上,利用待定系数法求出椭圆的方程.(2)设出直线l的方程与椭圆的方程联立,表示出弦长|BC|、点A到直线l的距离,进而表示出△ABC的面积,转化为二次函数求最值.知识要点整合六、圆锥曲线中的最值、范围问题答案(1)由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为.将点A(1,)的坐标,整理得,得(舍).故所求椭圆方程为.代入椭圆方程得(2)设,直线l的方程为,代入椭圆方程并化简得,由,可得.①又,故,又点A到直线l的距离为.故当且仅当,即m=±2时取等号(满足①式),此时取得最大值.故当△ABC面积为最大值时,直线l的方程为,即.知识要点整合求轨迹方程的几种常用方法:(1)直接法:建立适当的坐标系,设动点为(x,y),根据几何条件直接寻求x,y之间的关系式.(2)代入法:用所求动点的坐标x,y来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标x,y之间的关系式.(3)定义法:如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程.七、轨迹方程问题知识要点整合七、轨迹方程问题例9设O为坐标原点,动点M在椭圆上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足解析设P(x,y),利用向量之间的关系用x,y表示出M点坐标,用代入法求得点P的轨迹方程.答案设,则,因为,即,所以所以.求点P的轨迹方程.因为M在椭圆上,所以代入椭圆方程得到,即.所以点P的轨迹方程为.知识要点整合七、轨迹方程问题例10已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,其中a,c,b满足a+b=2c且a>c>b,|AB|=2,求顶点C的轨迹方程.解析由a+b=2c=4可知顶点C的轨迹符合椭圆的定义,结合已知条件求出轨迹方程即可,注意x的取值范围.答案如图,以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系,因为a+b=2c,即|BC|+|AC|=2|AB|=4,所以由椭圆的定义,可知点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,其长半轴长为2,短半轴长为,方程为.又因为a>c>b,所以x<0.又因为三点A,B,C构成三角形,所以x≠－2.故顶点C的轨迹方程为.知识要点整合核心素养梳理1.直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.主要表现为建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几何直观理解问题.本章中,探究圆锥曲线的几何性质体现了直观想象核心素养.例1如图,在平面直角坐标系xOy中,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线的离心率是______.解析设双曲线方程为,因为双曲线以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过,即,可得,解得舍去),所以.答案

点C,D的双曲线,可得C(c,2c),代入双曲线方程得核心素养梳理2.数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要表现为理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.本章中,圆锥曲线的几何性质的计算,直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用等体现了数学运算核心素养.核心素养梳理例2如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点A为椭圆C的左顶点,过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B,以AB为边作平行四边形ABCD,其中直线CD过原点O,求平行四边形ABCD面积S的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在如下的平行四边形ABCD:“原点O到直线AB的距离与线段AB的长度相等”？请说明理由.核心素养梳理解析(1)将点的坐标代入椭圆方程得到方程组,求解即可得到答案.(2)设,点B的坐标为(m,n)

,可用m,n表示出|AB|,直线AB的方程,及点O到直线AB的距离,得出S的表达式,从而可得出答案.(3)假设存在满足条件的平行四边形,由(2)及已知条件列出方程组,分析方程组是否有解,从而得出答案.答案(1)由题意有解得故椭圆C的标准方程为.(2)设点B的坐标为(m,n),则有,点A的坐标为(-2,0),.直线AB的方程为,整理为,点O到直线AB的距离为,则,核心素养梳理由,可知当n=时,平行四边形ABCD面积S有最大值,为.(3)由(2)知,若存在满足条件的平行四边形ABCD,只需要方程组有解,整理为上述方程组有解的问题转化为椭圆与圆是否有交点的问题.由下图可知,椭圆和圆有两个交点P,Q.故存在满足条件的平行四边形.核心素养梳理3.逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.主要表现为掌握推理基本形式和规则,发现问题和提出命题,探索和表述论证过程,理解命题体系,有逻辑地表达与交流.本章中解决直线与圆锥曲线的综合应用问题中的最值、定点定值问题等就体现了逻辑推理核心素养.核心素养梳理例3设,分别是椭圆的左、右焦点,

,直线l过F1且垂直于x轴,交椭圆C于A,B两点,连接AF2,BF2,所组成的三角形ABF2为等边三角形.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线m与椭圆C相交于M,N两点,试问:椭圆C上是否存在点P,使成立？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)根据得到c=1,在等边三角形ABF2中,易求得AF1,AF2的值,结合椭圆定义,转化为点在椭圆上,代入数据计算得到答案.得到a的值,进而可求得椭圆方程.

(2)设出点M,N和直线m,联立直线m与椭圆C的方程消元化简后利用韦达定理得到核心素养梳理答案(1)如图,由可得c=1,等边三角形ABF2中,,则,则,得.所以,所以,则椭圆C的方程为.(2)设,则由题意知m的斜率存在且一定不为0.又F2(1,0),故不妨设,联立直线m与椭圆C的方程得整理得,满足△>0.由韦达定理,①有:且.②核心素养梳理假设存在点P,使成立,则其充要条件为点在椭圆上,即,整理得.又A,B在椭圆上,即,则有.故由①②代入上式,解得,验证满足△>0.则.则.核心素养梳理4.数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁,是数学应用的重要形式.主要表现为发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题.本章中,利用圆锥曲线的定义及方程解决实际生活中的问题,体现了数学建模核心素养.核心素养梳理例4某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为()A.B.C.D.解析椭圆的离心率(c为半焦距长,a为长半轴长).设卫星远地,点离地面距离为n,如图,则,所以,答案

A.核心素养梳理5.数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要表现为获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法和思想,认识数学结构与体系.本章中,圆锥曲线的定义及应用体现了数学抽象核心素养.核心素养梳理例5在平面直角坐标系xOy中,平面上的动点P到点F(1,0)的距离与它到直线x=－1的距离相等.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F(1,0)的直线l与点P的轨迹C交于两个不同点A,B.若点E(0,1),且解析(1)由抛物线的定义可求得动点P的轨迹C的方程.(2)设点,设直线l的方程为x=my+1,将直线l的方程与抛物线的方程联立消元并即,利用平面向量数量积的坐标运算,求直线l的方程.化简,由韦达定理列出关系式,再根据结合韦达定理可求得m的值,由此可得出直线l的方程.答案(1)因为动点P到F(1,0)的距离等于P到直线x=－1的距离,由抛物线定义知点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线,所以点P的轨迹C的方程为y2=4x.(2)由于过点F(1,0)的直线l与点P的轨迹C交于两个不同点A,B,则直线l不与x轴重合.设直线l的方程为x=my+1,设点,核心素养梳理联立整理得,则,由韦达定理得.因为,则

,解得所以,直线l的方程为,即..核心素养梳理考点1圆锥曲线的定义、方程及几何性质本考点主要是考查利用圆锥曲线的定义求标准方程、焦点三角形的面积,利用圆锥曲线的几何性质求离心率,双曲线的渐近线的应用等,多以选择题、填空题的形式考查,也可能出现在解答题中,分值为5~12分.主要考查应用知识解决问题的能力,同时考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.高考真题再现高考真题再现例1(2020·新高考I)(多选题)已知曲线A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为D.若m=0,n>0,则C是两条直线()解析因为m>m>0,则,所以表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确.当m=n>0时,表示半径为的圆,故B错误当mn<0时,曲线

表示双曲线,由得,所以双曲线的渐近线方程为,故C正确当m=0,n>0时,由得,所以曲线表示两条直线,故D正确.答案ACD例2(2020·全国I)已知A为抛物线A.2B.3C.6D.9解析设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知,即,解得p=6.答案C上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()高考真题再现例3(2020·全国Ⅲ)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线交于D,E两点,若B.OD⊥OE,则C的焦点坐标为()

A.C.(1,0)

D.(2,0)解析因为直线x=2与抛物线交于D,E两点,且OD⊥OE,根据抛物线的对称性,所以D(2,2),代入抛物线方程得4=4p,求得p=1,所以其焦点坐标为.可以确定答案B高考真题再现例4(2020·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是______.解析由得渐近线方程为,又a>0,则a=2,由,c=3,得离心率.答案

高考真题再现例5(2020·全国Ⅱ)已知椭圆的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的.中心与C2的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且(1)求C1的离心率;(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.解析(1)用a,b,c表示出|AB|,|CD|,利用可得出关于a,c的齐次等式,进而可解得,用c表示出其四个顶点的坐标,椭圆C1的离心率的值.(2)由(1)可得出C1的方程为根据它们到C2准线距离之和为12列方程求出c的值,进而可得出C1与C2的标准方程.高考真题再现答案(1)因为椭圆C1的右焦点坐标为F(c,0),所以抛物线C2的方程为y2=4cx,其中.不妨设A,C在第一象限,因为椭圆C1的方程为,所以当x=c时,有,因此A,B的纵坐标分别为.又因为抛物线C2的方程为y2=4cx,所以当x=c时,有,所以C,D的纵坐标.分别为2c,－2c,故由得,即,即,解得e=－2(舍去),或.所以C的离心率为.(2)由(1)知a=2c,,故C1的方程为,所以C1的四个顶点坐标分别为,C2的准线为x=-c.由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以C1的标准,C2的标准方程为y2=8x.方程为高考真题再现考点2直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系一般出现在解答题中,分值12分,主要考查求弦长、面积、最值、定值、范围、定点等综合问题,难度较大.此考点主要考查分析问题和解决问题的能力,同时考查数学运算、逻辑推理等核心素养.高考真题再现例6(2020·新高考全国I)斜率为的直线过抛物线的焦点,且与C交于A,B两点,,与y2=4x联立得,即.设,则所以答案解析因为抛物线的焦点为(1,0),所以由题意知直线AB的方程为