河北省2022年中考数学人教版总复习教学案-第三章第1节平面直角坐标系及函数

第三章函数第一节平面直角坐标系及函数【课标要求】☆理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标．☆在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置．☆探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义．☆结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例．☆能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．☆能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值．☆能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系．☆结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．【教材对接】人教：七下第七章P63～86，八下第十九章P71～85；冀教：八下第十九章P29～58，第二十章P59～82；北师：七下第三章P61～79，八上第三章P53～67，第四章P75～78.平面直角坐标系1．平面直角坐标系在平面内有公共原点，且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．几何意义：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．2．平面直角坐标系中点的坐标特征各象限点的坐标的符号特征已知P(x，y)坐标轴上点的坐标特征x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的坐标为(0，0).注意：坐标轴上的点不属于任何象限续表平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x轴的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，纵坐标相等，即y1＝y2，且P1P2＝|x1－x2|；平行于y轴的直线上的两点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，横坐标相等，即x1＝x2，且Q1Q2＝|y1－y2|象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等(相当于在直线y＝x上的点)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数(相当于在直线y＝－x上的点)对称点的坐标变化特征点P(x，y)P1(x，－y)；点P(x，y)P2(－x，y)；点P(x，y)P3(－x，－y).口诀：关于谁(x轴或y轴)对称，相应坐标(横坐标或纵坐标)就不变，关于原点对称全都变点平移的坐标变化特征P(x，y)P′(x＋a，y)P″(x＋a，y＋b)3.点到坐标轴及原点的距离点P(x，y)到x轴到y轴到原点距离|y||x|eq\r(x2＋y2)【知识拓展】平面直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)，线段P1P2的中点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).【基础练1】(1)小明坐在第5行第6列，简记为(5，6)，小刚坐在第7行第4列，应记为(A)A．(7，4)B．(4，7)C．(7，5)D．(7，6)(2)在平面直角坐标系中，点(－3，2)在第二象限，关于x轴对称的点的坐标是(－3，－2)，关于y轴对称的点的坐标是(3，2)，关于原点O对称的点的坐标是(3，－2)，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，到原点的距离为eq\r(13)．函数及其自变量的取值范围4．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．5．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．6．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数．其中，x叫做自变量．7．函数自变量的取值范围表达式(a为常数)自变量的取值范围整式型，如y＝axx取全体实数分式型，如y＝eq\f(a,x)分母不为0，即x≠0根式型，如y＝eq\r(x)被开方数大于等于0，即x≥0分式＋根式型，如y＝eq\f(a,\r(x))同时满足两个条件：①被开方数大于等于0，即x≥0；②分母不为0，即x≠0.则x＞0【温馨提示】在研究函数的问题时，自变量的取值范围应注意以下两点：(1)自变量的取值要使函数表达式自身有意义；(2)自变量的取值要符合实际问题．【基础练2】(2021·河北一模)函数y＝eq\f(\r(x－2),x－5)的自变量x的取值范围是(D)A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠5函数的表示及应用8．函数的表示：数值表格、图象、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．9．函数的图象：一般地，我们把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系中描点，所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图象．画函数图象的一般步骤：列表→描点→连线．10．已知函数表达式，判断点P(x，y)是否在函数图象上的方法：若点P(x，y)的坐标适合函数表达式，则点P(x，y)在其图象上；若点P(x，y)的坐标不适合函数表达式，则点P(x，y)不在其图象上．【温馨提示】判断符合题意的函数图象的方法(1)与实际问题结合判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点，即结合题干中所给自变量及函数的取值范围，对应到图象中找相对应的点；②找特殊点，即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象变化趋势，即判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交，即此时另外一个量为0.(2)与几何图形(含动点)结合以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为：设时间为t，找因变量与t之间存在的函数关系，用含t的式子表示，要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围，再找相对应的函数图象．(3)分析函数图象判断结论正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点，即判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线，即函数值随自变量的增大而保持不变．然后结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．eq\a\vs4\al(平面直角坐标系中点的坐标)【例1】已知点P(a，－6)与点Q(－5，3b)关于原点对称，则a＋b＝7．【解题思路】直接利用关于原点对称点的坐标变化特征得出a，b的值，即可得出答案．1．已知在第四象限的点P的坐标为(2－a，3a＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是(B)A.(3，3)B．(6，－6)C.(6，6)或(3，－3)D．(6，－6)或(3，3)2．(2021·石家庄模拟)已知点M(－3，3)，线段MN＝4，且MN∥y轴，则点N的坐标是(－3，7)或(－3，－1)．eq\a\vs4\al(函数自变量的取值范围)【例2】函数y＝eq\f(\r(2x＋1),x2－4)的自变量x的取值范围是(C)A.x≥－eq\f(1,2)B．x＞eq\f(1,2)且x≠±2C.x≥－eq\f(1,2)且x≠2D．x≥eq\f(1,2)且x≠2【解题思路】根据题意，得被开方数大于等于零，且分母不能为零．易错警示：本题若只考虑被开方数大于等于0，而忽略分母不等于0，会错选A.3．下列各式中，自变量x的取值范围是x≥2的是(C)A．y＝x－2B．y＝eq\f(1,\r(x－2))C.y＝eq\r(x＋2)·eq\r(x－2)D．y＝x2－44．函数y＝eq\f(x,\r(x－5))的自变量x的取值范围为x＞5．eq\a\vs4\al(函数图象的判断)【例3】(2021·邢台模拟)船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度．则小艇离乙港的距离y与时间t之间的函数关系的大致图象是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【解题思路】根据y代表的实际含义判断图象上小艇的出发点与终点，再根据小艇的速度快慢判断图象上直线的倾斜程度即可得出结果．5．从某容器口以均匀的速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为(C)6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是(A)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))与几何图形结合的函数图象(5年未考)(2021·石家庄模拟)如图，DE是边长为4的等边三角形ABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿折线AD－DE向点E运动