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专题22正方形专题知识回顾专题知识回顾1.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形的性质:(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3.正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:先证它是矩形,再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4.正方形的面积:设正方形边长为a,对角线长为b,S正方形=专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析【例题1】(2019湖南郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.2 B.2 C.3 D.4【例题2】(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.专题典型训练题一、选择题1.(2019内蒙古包头)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是()A. B. C.﹣1 D.2.(2019湖南张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是()A.(,﹣) B.(1,0)C.(﹣,﹣) D.(0,﹣1)3.(2019•四川省广安市)把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为() 4.(2019•贵州省铜仁市)如图,正方形ABCD中,AB=6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG.以下结论:①BF∥ED;②△DFG≌△DCG;③△FHB∽△EAD;④tan∠GEB=;⑤S△BFG=2.6;其中正确的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5\5.(2019黑龙江省绥化)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,EF=2,设AE=x.当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是()①当x=0(即E、A两点重合)时,P点有6个②当0<x<4﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x=2﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A.①③ B.①④ C.②④ D.②③二、填空题6.(2019湖南邵阳)公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.7.(2019湖南张家界)如图:正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=.8.(2019•湖北省随州市)如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点(不与端点重合),将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:①∠EAG=45°;②若DE=a,则AG∥CF;③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2;④若CF=FG,则DE=(-1)a;⑤BG•DE+AF•GE=a2.其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)9.(2019福建)如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)10.(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.11.(2019•广东广州)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值a2.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)12.(2019·广西贺州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为.13.(2019•山东青岛)如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为cm.14.(2019江苏镇江)将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=.(结果保留根号)第第10题图15.(2019辽宁抚顺)如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A,B,C在格点上,连接AB,BC,则tan∠ABC=.三、解答题16.(2019湖南湘西州)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,且AF=CE.(1)求证:△ABF≌△CBE;(2)若AB=4,AF=1,求四边形BEDF的面积.17.(2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18.(2019湖南株洲)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.(1)求证:△DOG≌△COE;(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=,求正方形OEFG的边长.19.(2019•湖北省仙桃市)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.20.(2019•山东泰安)如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.21.(2019湖北襄阳)(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE.①求证:DQ=AE;②推断:的

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