实际问题与一元一次不等式 省赛获奖

实际问题与一元一次不等式焦向清复习回顾

不等式性质1

不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果a＞b，那么a±c＞b±c.

不等式性质2

不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a＞b，c＞

0，那么ac＞bc.（或＞）

不等式性质3

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a＞b，c＜

0，那么ac＜bc.（或＜）

问题甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案；在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？

要通过比较得出结论的，标准必须统一才能进行比较。本题中甲、乙商店优惠方案的起点并不相同，所以无法直接比较得出结论。

是否应分情况考虑？可以怎样分情况呢？分析

（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗？

（2）如果累计购物超过50元而不超过100元，则在哪家店购物花费小？为什么？

（3）如果累计购物超过100元，则在哪家店购物花费小？为什么？

情况（1）中，累计购物不超过50元时，在两家商店都没有优惠，则在两店购物花费没有区别。

情况（2）中，累计购物超过50元而不超过100元时，在甲商店没有优惠，而在乙商店消费50元后就有优惠，则在乙商店购物花费小。解答

情况（3）中，累计购物超过100元时，在两家商店都有优惠，则需要通过计算来比较。设累计购物x元(x＞100)。在甲店购物花费为：在乙店购物花费为：50+（x-50）×95%元100+（x-100）×90%元若在甲店购物花费小，则：50+（x-50）×95%

＞100+（x-100）×90%去括号，得：50+0.95x-47.5＞100+0.9x-90移项且合并，得：0.05x＞7.5系数化为1，得：x

＞150

这个结果说明了什么呢？

计算结果说明，当累计购物超过150元时，在甲店购物花费小。

累计购物超过100元而不到150元时，在哪家店购物花费小？累计购物恰好是150元时，在哪家店购物花费小？

当累计购物超过100元而不到150元时，在乙店购物花费小；累积购物恰好是150元时，在两家店的购物花费一样。

由上题可以看出，由实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题。通过解不等式可以得到实际问题的答案。小结例题讲解

例12002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？解答

解：设2008年空气质量良好的天数比2002年增加x天。2002年空气质量良好的天数为：2008年空气质量良好的天数为：x+365×0.55365×0.552008年空气质量良好的天数与全年天数之比要超过70%，则有：

2008年是闰年，全年有366天。＞70%去分母，得：x+200.75＞256.2移项，合并，得：x＞55.452008年空气质量良好的天数比2002年增加了多少天呢？x表示的是天数，所以x是正整数，得：x≥56

答：2008年空气质量良好的天数至少要比2002年增加56天，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%。

从上题可以看出，一元一次不等式的解法与一元一次方程类似，只是不等式两边同乘（或除以）一个负数时，要注意改变不等号的方向。例题讲解

例2

某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分。小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？解答解：设小明答对了x道题。则他答错或不答的题数为：20-x他的得分为：10x-5(20-x)他的得分要超过90，得：10x-5(20-x)＞90解得x＞

本题中，x应是正整数而且不能超过20，所以小明至少要答对13道题。

在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中，共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛．育才中学25名学生通过了预选赛，他们可能答对了多少题？

问题探究探究1解答解：设可能答对x道题．

答：25名学生可能答对12~20道题．归纳

解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=