专题24.1 圆的有关性质-圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点(解析版)

专题24.1圆的有关性质--圆的概念、垂径定理、弧、弦、圆心角之八大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一求过圆内一点的最长弦】 1【考点二利用垂径定理求值】 2【考点三利用垂径定理求平行弦问题】 5【考点四垂径定理的推论】 8【考点五垂径定理的实际应用】 11【考点六圆心角概念辨析】 13【考点七利用弧、弦、圆心角的关系求解】 14【考点八利用弧、弦、圆心角的关系求证】 16【过关检测】 19【典型例题】【考点一求过圆内一点的最长弦】例题：（2023秋·河南周口·九年级校考期末）若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据直径是最长的弦即可求解．【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，∴的长不可能是，故选：D．【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（

）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm【答案】B【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦，中最长的弦长为．故选：B．【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2．（2023春·全国·九年级专题练习）已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．【详解】解：∵圆的半径为6，∴直径为12，∵AB是一条弦，∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．【考点二利用垂径定理求值】例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

【答案】【分析】由题意易得，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．【详解】解：连接，

∵是的直径，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴,故答案为．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为．【答案】【分析】过点作于点H，由垂径定理得到，在中，利用勾股定理即可得到圆心到的距离．【详解】解：如图，的半径为，弦的长为，过点作于点H，

则，，∴，即圆心到的距离为，故答案为：【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【答案】26【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由得到点为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求解方程可得的值，即为圆的直径．【详解】解：连接，

，且寸，寸，设圆的半径的长为，则，，，在中，根据勾股定理得：，化简得：，即，（寸）．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点三利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【答案】C【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离．【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图，，，，，而，，，，在中，，；在中，，；当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离；所以与之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，

过点O作，垂足为F，交于点E，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴；②当弦与在圆心异侧时，如图，

过点O作于点E，反向延长交于点F，连接，同理，，，所以与之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12−5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF＋OE＝17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点四垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【答案】【分析】连接，设的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接，设的半径为R，则，由题意得，，∴，在中，由勾股定理得，解得，则的半径为米．故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接，作于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可．【详解】解：连接，作于点D，交优弧于点C，则厘米．由题意得厘米，在中，厘米，∴厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【答案】【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵，，，为的半径，∴，设半径为，则，在中，，∴，解得：，∴直径为，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点五垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵是的直径与弦交于点，，根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点，∴，，但不能证明，故选项说法错误，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（）个①对角线相等的四边形是矩形

②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等

④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．【考点六圆心角概念辨析】例题：（2023秋·九年级单元测试）下面图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；D．是圆心角，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）下列说法正确的是（）A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B．圆心角α的取值范围是C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D．圆心角就是在圆心的角【答案】C【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，∴A、D错误，C正确；∵圆心角α的取值范围是，∴B错误．故选：C．【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．2．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB,称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．【考点七利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点八利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的半径，，在上，于点，于点，且，求证：．

【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵，，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明是解题关键．【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．【答案】见解析【分析】根据∠ABD=∠CDB，可知，则有，由此可得，进而可证AB=CD．【详解】证明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【答案】见解析【分析】连接，通过证明即可得结论．【详解】证明：如图，连接，是的中点，，，在和中，，，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【过关检测】一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C均在上，若，，则（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据等边对等角得出，则，最后根据等角对等角得出，即可求解．【详解】解：如图，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握半径相等，等腰三角形“等边对等角”．2．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（）①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案．【详解】解：①当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，所以平分弦的直径，平分这条弦所对的弧说法错误，故不符合题意；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意；③等弧所对的圆心角相等，说法正确，故符合题意；④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意；⑥由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．3．（2023秋·九年级课时练习）如图，的半径为是圆外一点，，交于点，则弦的长为（

）

A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．【详解】解：过作于，连接，则，

，，，在中，由勾股定理得：，，，即，故选：D．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题【详解】解：如图，连接．，，，点D是弧的中点，，，，，设,在中，则有，解得，，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm【答案】A【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可．【详解】解：是的一部分，是的中点，，，．设的半径为，则．在中，，，，，即的半径为．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键．二、填空题6．（2023秋·九年级课时练习）如图，若点为的圆心，则线段是圆的半径；线段是圆的弦，其中最长的弦是；或是劣弧；是半圆．【答案】或或或或直径【分析】根据圆的基本概念进行作答即可．【详解】解：如图，若点为的圆心，则线段或或是圆的半径；线段或或是圆的弦，其中最长的弦是直径；或是劣弧；是半圆．故答案为：或或；或或；直径；；；【点睛】本题考查了圆的基本概念，正确掌握圆的基本概念相关内容是解题的关键．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是．

【答案】【分析】运用垂径定理的推论作图确定圆心位置，写出坐标即可．【详解】解：分别作的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图知，圆心P的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查垂径定理的推论，掌握作圆中弦的垂直平分线必过圆心值解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为．【答案】50【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出．【详解】解：连接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是中弦的中点，经过圆心O交于点E，若，，则的半径为m．【答案】【分析】连接，根据垂径定理可得，，然后在中，利用勾股定理求出x即可．【详解】解：连接，∵M是弦的中点，，，∴，，设圆的半径是x米，在中，有，∴，解得：，即的半径为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键．10．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在中，，截三边所得的弦长，则度．【答案】125【分析】过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，由于=，利用弦、圆心角和对应的弦心距的关系得到OM=OK=OP，则可判断OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，然后根据角平分线的定义和三角形内角和求解．【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图，∵∴OM=OK=OP，∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90°，∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA）=180°=125°．故答案为：125．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了弦、弧、圆心角和弦心距的关系．三、解答题11．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，点A、B、C、D在⊙O中，且，与相等吗？为什么？【答案】相等，理由见解析【分析】由可得，即，因此与相等．【详解】与相等．理由如下：∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．12．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)【分析】（1）根据条件和，即可求解；（2）根据第（1）问的结论和即可求解．【详解】（1）解：；∵，，，∴（2）解：∵，，，，∴，∴；【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，交于点，，是半径，且于点．

(1)求证：．(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：如图，连接，

设的半径是r，，，，的半径是5．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．14．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长；（2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证．【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：（2）过作，作，垂足分别为、，∴，，，，又∵，∴，连接、、、，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解此类题的关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，