专题02 整式乘法（知识串讲+11大考点）解析版

专题02整式乘法考点类型知识串讲（一）整式乘法（1）单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：（2）单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】①单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。②单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）③不要出现漏乘现象，运算要有顺序。（3）多项式×多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。考点训练考点1：计算单项式×单项式典例1：（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））计算：6xy2⋅A．3x4y5 B．-3x4【答案】B【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．【详解】解：6x=6×(-=-3x故选：B．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式1】（2023春·广西贵港·七年级统考期末）计算：-3x2⋅A．-6x5 B．-24x5 C．【答案】B【分析】直接根据积的乘方运算和单项式乘以单项式运算法则计算即可得出答案．【详解】解：-3==-24x故选：B．【点睛】本题考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，熟知运算法则是解题的关键．【变式2】（2023·河北衡水·校联考二模）数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（）（1）-a32（2）a3-a（3）a6÷a（4）3a2-（5）a4・aA．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：（1）-a32（2）a3与-a2（3）a6÷a（4）3a2-（5）a4⋅a则判断正确的有4个．故选：B．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式3】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）计算：-3x⋅2x2A．24x7y3 B．-6x7【答案】D【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【详解】解：-3x⋅=-3x⋅8=-24x故选：D．【点睛】本题考查的是积的乘方及单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘．考点2：用科学计数法表示乘法典例2：（2023春·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）光在真空中的速度约为3×108m/sA．15×1011 B．1.5×1011 C．【答案】B【分析】直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案．【详解】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：3×10故选：B【点睛】此题主要考查了科学记数法以及有理数乘法，正确掌握运算法则是解题关键．【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）国家速滑馆位于北京奥林匹克公园规划范围内，是北京2022年冬奥会标志性场馆．主场馆外观大致呈椭圆形，有着一个很好听的名字——“冰丝带”，其南北长约240米，东西宽约174米，建筑高度为33.8米，总座席12058席，“冰丝带”以约12000平方米的冰面成为亚洲之最．建成后将与国家体育场“鸟巢”、国家游泳中心“水立方”共同组成北京这座世界首个“双奥之城”的标志性建筑群．将12000用科学记数法表示应为（）A．1.2×106 B．0.12×105 C．1.2×104 D．1.2×103【答案】C【分析】用科学记数法表示较大的数即把一个数写成a×10n的形式，其中1≤a＜10【详解】科学记数法的形式是a×10n，其中1≤a＜10，n是原数的整数位数减1，对于12000用科学记数法表示时a=1.2，n=5-1=4，即1.2×104，而A选项n=6，故错误；B选项a=0.12，n=5，故错误；C选项a=1.2故选：C．【点睛】本题考查较大数（绝对值）用科学记数法表示．科学记数法是把原数写成形如a×10n的形式，其中的a是一位整数的数，n是整数位数减1，找准a、【变式2】（2023春·浙江·七年级专题练习）2021年5月22日，我国始发的火星车“祝融号”安全到达火星表面．到目前已经获取约10GB原始科学数据，当地球与火星处于最远位置时，从火星表面发出的光到达地球的时间为21分20秒，已知光速约为3×108米/秒，则地球与火星处于最远位置时的距离是（A．3.84×1011米 B．3.84×108米 C．3.784×10【答案】A【分析】用光速乘时间，计算后再根据科学记数法的形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数解答．【详解】解：21分20秒=1280秒，3×10=3.84×10故选：A．【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．【变式3】（2022·湖北随州·统考中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7×103m/s，则中国空间站绕地球运行2×A．15.4×105 B．1.54×106 C．【答案】B【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式．【详解】解：路程=7.7×10故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．考点3：计算单项式×多项式典例3：计算：-5xy2y+x-8=-10xy2-5A．-40xy B．-5xy C．－8 D．40xy【答案】D【分析】运用单项式乘以多项式法则展开，再根据对应项相等，即可求解．【详解】解：∵-5xy2y+x-8∴□=40xy，故选：D．【点睛】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键．【变式1】（2023春·河北石家庄·七年级校考阶段练习）若规定m⊕n=mnm-n，则a+b⊕a=（A．a2b+ab2 B．2a2【答案】A【分析】根据定义新运算的规则，进行计算即可．【详解】解：由题意，得：a+b⊕a=a故选A．【点睛】本题考查定义新运算，单项式乘多项式．理解并掌握规定的新运算法则，是解题的关键．【变式2】（2021秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）对于任意有理数a，b，现有“*”定义一种运算：a*b=b2-2ab，根据这个定义，代数式x-yA． 2y2-xy B．3y2【答案】D【分析】由题目中给出的运算方法，即可推出原式=y【详解】解：∵a*b=b∴x-y== 故选：D．【点睛】此题主要考查了整式的运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．【变式3】（2023春·河南平顶山·七年级校考阶段练习）已知a+b=m，ab=n，化简a–2b-2A．n＋4 B．n–4 C．n–2m＋4 D．n–m–4【答案】C【分析】先按照整式乘法法则运算可得ab-2a-2b+4，再加括号可得ab-2a+b+4，最后将【详解】解：a–2b-2=ab-2a-2b+4，=ab-2a+b=n-2m+4．故选C．【点睛】本题主要考查了代数式求值、整式的乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．考点4：计算多项式×多项式典例4：（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考期中）计算(a+3b)(a+2b)的结果是（

）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6【答案】B【分析】利用多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：(a+3b)(a+2b)==a故选：B．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【变式1】（2023春·安徽淮北·七年级校联考期末）关于x的多项式：anxn+an-1xn-1+①2x-12是“亲缘多项式”②若多项式a3x3+a2x2+a1x+a③多项式2x-14=b4x4+④关于x的多项式ax+bn，若a≠b，ab≠0，n为正整数，则ax+bn为“亲缘多项式以上说法中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①将2x-12展开，进行判断即可；②合并同类项后，进行判断即可；③计算出2x-14，进行判断即可；【详解】解：①∵2x-12=4x∴2x-12是“亲缘多项式”，故①②∵a3x3∴a3x3+a2x③2x-14∴2x-14是“亲缘多项式”∵2x-14∴b4∴b4+b④当a=1，b=-1，n=4时：x-14=x4-4x3综上：正确的有2个；故选：B．【点睛】本题考查整式的运算．理解并掌握“亲缘多项式”的定义是解题的关键．【变式2】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）若x-52x-n=2x2+mx-15，则mA．m=-7，n=3B．m=7，n=-3 C．m=-7，n=-3 D．m=7，n=3【答案】C【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出关于m，n的等式求出答案．【详解】解：∵x-52x-n∴2x故5n=-15m=-10-n解得：n=-3m=-7故选：C．【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握多项式乘法运算法则是解题关键．【变式3】（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）现有如图所示的卡片若干张，其中A类、B类为正方形卡片，C类为长方形卡片，若用此三类卡片拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，则需要C类卡片张数为（

）

A．5 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用多项式乘法算出大长方形的面积，找出含ab项的系数，即可得解．【详解】解：由题意可得大长方形的面积为：2a+b可见要组成这样一个长方形，需要A类、B类卡片各2张，C类卡片5张，故选A．【点睛】本题考查多项式乘法的几何应用，熟练掌握多项式的乘法法则、正方形和长方形的面积求法是解题关键．考点5：整式乘法——求字母、代数式的值典例5：（2023春·浙江·七年级专题练习）若(-5am+1b2n-1)(2anbm)A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】B【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．【详解】(-5=(-5×2)(=-10∴-10∴m+n+1=4解得m=1n=2∴m－n=1-2=-1，故选：B．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】B【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab，a+b，进而利用提取公因式法分解因式得出答案.【详解】解：由边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，.则2（a+b）=10，ab=4，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.故选B.【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键.【变式2】（2023春·河北邢台·七年级统考期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-7xy(2y-x-3)=-14xy2+7x2y□，A．+21xy B．-21xy C．-3 D．-10xy【答案】A【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【详解】解：∵左边=-7xy(2y-x-3)，=-14xy右边=-14xy2∴□内上应填写+21xy．故选：A．【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．【变式3】（2023春·广东揭阳·七年级校考阶段练习）若x3⋅xmyA．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答．【详解】[解析]∵x3⋅xm2n=8，∴m=6，n=4，∴4m-3n=24-12=12，故选D．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值．考点6：整式乘法——化简求值典例6：（2023春·浙江金华·七年级校考期中）先化简，再求值：(1)(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)，其中x=-2；(2)(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3y)+6x(-x-52y)【答案】(1)22x-23；-67(2)-20xy-y2【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x的值代入即可求解；（2）根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x、y的值代入即可求解．【详解】（1）解：(3x+1)(2x-3)-(6x-5)(x-4)=6=22x-23，当x=-2时，原式=-44-23=-67；（2）解：(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3y)+6x=2=-20xy-y当x=1，y=2时，原式【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则等知识，解题的关键是掌握乘法运算法则，属于中考常考题型．【变式1】（2023春·广东深圳·七年级校考期中）如图，某小区有一块长为2a+3b，宽为3a+2b的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．

(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；(2)若a=3，b=6，求出此时绿化的总面积S．【答案】(1)3(2)441【分析】（1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可；（2）把相应的值代入（1）中运算即可．【详解】（1）解：由题意得：S=(3a+2b)(2a+3b)-a(3a+2b)=6=3a（2）当a=3，b=6，S=3×3答：当a=3，b=6时绿化的总面积为441m【点睛】本题主要考查列代数式、整式乘法、求代数式的值，解答的关键是正确表示出绿化面积．【变式2】（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知M=a(1)当a=-3，b=-2，分别求M，(2)若M+Na=b，求【答案】(1)M的值是-18，N的值是36；(2)(a+2)(b+2)=4．【分析】（1）直接将a、b值代入，利用有理数的混合运算法则即可求得M，N值；（2）由M+Na=b，计算得到ab+2a+b=0，化简【详解】（1）解：∵M=a2b∴M=-3N=2×-3即M的值是-18，N的值是36；（2）解：∵M=a2b∴a2整理得ab+2a+b∴(a+2)(b+2)=ab+2a+b【点睛】本题考查代数式的求值、有理数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握求代数式的值的方法，第（2）中能用整体代入法是解答的关键．【变式3】（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）阅读材料：我们知道，4x-2x+x=4-2+1x=3x，类似地，我们把a+b看成一个整体，则4a+b-2a+b(1)把a-b2看成一个整体，合并2(2)已知x2-2y=-2，求(3)已知a-2b=-1，2b-c=5，c-d=-10，求a-c+【答案】(1)a-b(2)-27(3)-6【分析】（1）把a-b2（2）6x2-12y-15=6（3）a-c+2b-d-2b-c=a-2b+【详解】（1）解：2a-b（2）解：6x把x2-2y=-2代入得，原式（3）解：a-c把a-2b=-1，2b-c=5，c-d=-10代入得，原式=-1+5+-10【点睛】本题考查了多项式的变形和整体代入的思想，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．考点7：整式乘法——错看问题典例7：（2023·全国·九年级专题练习）已知：A=2x，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得：x2+1【答案】B+A=2【分析】先根据A=2x，B÷A的结果是x2+12x【详解】解：∵A=2x，B÷A的结果是x2∴B=2xx∴B+A=2x【点睛】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．【变式1】（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）在计算（2x＋a）（x＋b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x-24；乙错把a看成了−（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x＋a）（x＋b）的结果．【答案】（1）a＝−4；b＝5；（2）2【分析】（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出a,b的值；（2）将（1）的a,b的值代入代数式求解即可．【详解】解：（1）甲错把b看成了6，（2x＋a）（x＋6）＝2＝2＝2∴12＋a＝8，即a＝−4；乙错把a看成了−a，（2x－a）（x＋b）＝2＝2＝2∴2b−a＝14，把a＝−4代入，得b＝5．（2）当a＝−4，b＝5时，（2x＋a）（x＋b）＝（2x－4）（x＋5）＝2＝2【点睛】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．【变式2】（2023春·七年级校考单元测试）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：3x+a2x+b．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“-a”，得到的结果为6x2-13x+6；乙由于漏抄了第二个多项式中(1)求正确的a、b的值．(2)计算这道乘法题的正确结果．【答案】(1)a=2(2)6【分析】（1）按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值；（2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【详解】（1）解：∵甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“-a”，得到的结果为63x-a2x+b∵乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为3x3x+ax+b∴3b-2a=-13∴a=2（2）解：3x+22x-3【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，解题时要细心．【变式3】在计算x+ax+b时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了-a，得到结果x2+x-6．你能正确计算x+a【答案】x2【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【详解】解：∵x+ax+6∴6+a=8，∴a=2；∵x-ax+b∴b-a=1，∴b=3，∴x+a==x【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，考核学生的计算能力，根据甲乙两位同学的做法求出a，b是解题的关键．考点8：整式乘法——不含某项问题典例8：已知x2+px-13x(1)求p、q的值(2)求-2p【答案】(1)p=3，q=-(2)112【分析】（1）将展开式算出来后，利用条件中展开式中不含x项与x3项，令相应的项系数为0（2）利用第（1）问中的结果，代入求值．【详解】（1）原式=x∵展开式中不含x项与x3∴1+pq=0p-3=0∴p=3q=-1（2）由（1）得p2q=-3，∴-2===36+1+=37+(-1)×(-=37+=112【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则和求代数式的值，解题的关键是熟练掌握积的乘方及其运算法则，零指数幂的意义和过硬的计算能力．【变式1】（2023春·安徽蚌埠·七年级统考期末）已知A，B为多项式，且A=2x2-mx+1(1)若A与B的乘积中不含x2项和x3项，求m，(2)在数轴上，将表示数m的点记为M，表示数n的点记为N，在（1）的条件下，数轴上的点P满足P到点M的距离是P到点N距离的2倍，求点P表示的数．【答案】(1)m=0，n=6(2)12或4【分析】（1）根据整式的乘法的运算法则可知A⋅B=2nx4-mnx3+n-6x2（2）设点P表示的数为a，根据数轴上两点之间的距离公式解答即可．【详解】（1）解：∵A=2x2-mx+1∴A⋅B=2∵A与B的乘积中不含x2项和x∴-mn=0n-6=0解得：m=0n=6∴m=0，n=6；（2）解：∵m=0，n=6，∴点M表示的数为0，点N表示的数为6，∴设点P表示的数为a，∴a-0=2∴a=2∴a=2a-6或a=-2∴a=12或a=4，∴点P表示的数为12或4．【点睛】本题考查了整式的乘法运算法则，多项式的定义，二元一次方程组的应用，数轴上两点之间的距离公式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知x3+mx-nx2-x+4(1)求m、(2)当m、n取第（1）小题的值时，化简并求【答案】(1)m=-4，n=4(2)m3+【分析】（1）先计算多项式乘多项式，再根据计算结果中不含x3和x2项可得一个关于（2）先计算多项式乘多项式，再计算整式的加减法，然后将m,n的值代入计算即可得．【详解】（1）解：x==x∵计算结果中不含x3和x∴4+m=0解得m=-4n=4（2）解：m+n==m当m=-4，n=4时，原式=-4【点睛】本题考查了多项式乘多项式、以及化简求值，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键．【变式3】（2023春·湖南株洲·七年级统考期中）若x+3px2-x+13(1)求p、q的值；(2)求代数式p2022【答案】(1)p=(2)3【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算，根据不含x2项与x项，得出3p-1=0，1（2）根据（1）的结论，逆用积的乘方与同底数幂的乘法，进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式==∵不含x2项与x项∴3p-1=0，1∴p=13，（2）当p=13，原式==1==1×3=3.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，积的乘方与同底数幂的乘法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．考点9：整式乘法——图形面积典例9：（2023春·四川巴中·七年级统考期末）用不同的方法计算几何图形的面积，可得数学等式．如图的数学等式是（

）

A．(3a+b)(a+2b)=3a2+2C．(3a+b)(a+2b)=3a2+7ab+2【答案】C【分析】根据图形，大长方形面积等于5个小正方形面积加上7个小长方形的面积和，列出等式即可．【详解】解：∵长方形的面积=(3a+b)(a+2b)，长方形的面积=3a∴(3a+b)(a+2b)=3故选：C．【点睛】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．【变式1】（2023春·七年级课时练习）用两种方式表示同一长方形的面积可以得到一些代数恒等式，小明从图中得到四个恒等式：①a-ba+b=a2-③a+ba-2b=a2-ab-2其中正确的是（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根据图形，分别用含a和b的代数式表示图中各个正方形和长方形的面积，再根据面积之间的关系即可进行解答．【详解】解：由图可知：S1S2①左边=S右边=S∴①正确，符合题意；②左边=S故②不符合题意；③左边的a-2b不能用图中的线段进行表示，故③不符合题意；④左边=S右边=S故④正确，符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了用面积表示多项式的乘法，解题的关键是将各个正方形长方形的面积正确表示出来．【变式2】（2023春·浙江·七年级期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为①小长方形的较长边为y-12；②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x-y+4；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为y-12cm，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为2x-y+4cm，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为22x+4，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为xy-20y+240cm2【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，∴小长方形的长为y-3×4=y-12cm，说法∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为y-12cm，小长方形的宽为4cm∴阴影A的较短边为x-2×4=x-8阴影B的较短边为x-y-12∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-8+x-y+12=2x-y+4cm，说法∵阴影A的较长边为y-12cm，较短边为x-8阴影B的较长边为3×4=12cm∴阴影A的周长为2y-12+x-8阴影B的周长为212+x-y+12∴阴影A和阴影B的周长之和为2x+y-20∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；∵阴影A的较长边为y-12cm，较短边为x-8阴影B的较长边为3×4=12cm∴阴影A的面积为y-12x-8阴影B的面积为12x-y+12∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-12x-8y+96+12x-12y+144=xy-20y+240当x=20时，xy-20y+240=240cm2，说法综上所述，正确的说法有①③④，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．【变式3】（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）.若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（

）

A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】设小长方形的长和宽分别为a和b，根据阴影部分的面积分别为39和106，列方程，再整体求解．【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，由图1得：a+b2∴a由图2得：2b+a2a+b∴4ab+2b2+2即a2则53-ab=39，解得：ab=14，故每个小长方形的面积为：14．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，表示阴影部分的面积是解题的关键．考点10：整式乘法——新定义问题典例10：（2022秋·全国·七年级专题练习）设x，y为任意有理数，定义运算：x*y=(x+1)(y+1)-1，得到下列五个结论：①x*y=y*x；②x*y+z=x*y+x*z；③(x+1)*(x-1)=x*x-1；④x*0=0；⑤(x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答．【详解】解：∵x*y=(x+1)(y+1)-1，y*x=(y+1)(x+1)-1，∴x*y=y*x，故①正确；∵x*y+z=(x+1)(y+1)-1+z=xy+x+y+z，x*y+x*z=(x+1)(y+1)-1+(x+1)(z+1)-1=xy+x+y+xz+x+z=xy+xz+2x+y+z，∴x*y+z≠x*y+x*z，故②错误；∵(x+1)*(x-1)=(x+1+1)(x-1+1)-1=(x+2)x-1=xx*x-1=(x+1)(x+1)-1-1=x∴(x+1)*(x-1)=x*x-1，故③正确；∵x*0=(x+1)(0+1)-1=x+1-1=x，∴x*0≠0，故④错误；∵(x+1)*(x+1)=(x+1+1)(x+1+1)-1=(x+2)x*x+2*x+1=(x+1)(x+1)-1+(2+1)(x+1)-1+1=(x+1)∴(x+1)*(x+1)≠x*x+2*x+1故⑤错误．综上所述，正确的个数为2．故选：B．【点睛】本题考查有理数的混合运算，理解新定义问题是解答本题的关键．【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）定义一种新运算：a★b=2a-3b．若a★b=10，则-4a+6b-3的值为（

）A．17 B．-17 C．-23 D．23【答案】C【分析】利用题中的新定义得到2a-3b=10，将代数式变形，再代入计算．【详解】解：∵a★b=10，∴2a-3b=10，∴-4a+6b-3=-2=-2×10-3=-23故选C．【点睛】此题考查了代数式求值，理解题中的新定义，得到2a-3b=10是解题的关键．【变式2】（2021·河南周口·三模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们定义一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算．且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，那么（3+2i）•（1﹣i）的值为（）A．5﹣i B．5+i C．1+i D．1﹣i【答案】A【分析】首先利用多项式乘法法则进行乘法运算，然后把i2=-1代入求值即可.【详解】解:（3+2i）•（1﹣i）=3-3i+2i-2i2=3-3i+2i-2×（-1）=5-i，故选择A.【点睛】本题考查定义新运算以及多项式乘法，解决问题的关键是利用新定义把未知转化为已知.【变式3】（2023春·七年级课时练习）若定义表示3xyz，表示-2abcd，则运算的结果为（

A．-12m3n4 B．-6m2【答案】A【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案．【详解】解：根据定义得：=3×m×n×2×（-2）×m2×n3=-12m3n4，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键．考点11：整式乘法——四则混合运算典例11：（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：m⊙n=mnm-n例如：1⊙2=1×2×1-2【问题推广】（1）先化简，再求值：a+b⊙a-b，其中a=1【拓展提升】（2）若x2y⊙x⊙y=x【答案】（1）2a2b-2b3，32【分析】（1）先运用新运算法则化简，然后将a=12、（2）先对括号内用新运算法则化简，然后再对括号外运算，然后结合x2【详解】解：（1）a+b=2ba当a=12，b=-1时，原式（2）x=x2y又∵x2∴xp∴xpyq∴p=5，q=4．【点睛】本题主要考查了新定义运算、整式的四则混合运算、同类项等知识点，理解新运算法则是解答本题的关键．【变式1】（2023春·浙江·七年级期末）计算题．(1)-2a(2)(x+y)(x-y)-(2x+y)(2x-y)；(3)(3-2x+y)(3+2x-y)；(4)4x+1【答案】(1)a(2)-3(3)9-4(4)8x+29【分析】（1）根据积的乘方和合并同类项的方法可以解答本题；（2）根据平方差公式将式子展开，然后合并同类项即可；（3）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；（4）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题．【详解】（1）-2==a（2）(x+y)(x-y)-(2x+y)(2x-y)==-3x（3）(3-2x+y)(3+2x-y)=[3-(2x-y)][3+(2x-y)]=9-=9-4x（4）4=4=4=8x+29．【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式2】（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚部单位，把形如a+bi（a,b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，例如计算：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3) (1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i3=_______，i(2)计算：(1+i)×(3-4i)(3)比较32i2(4)计算：i+【答案】(1)-i；1(2)7-i(3)3(4)i-1【分析】（1）根据题目所给条件，可得i3=i（2）根据多项式乘法法则进行计算，结合题目所给已知条件，即可得出答案；（3）根据题意，可得32（4）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【详解】（1）解：∵i3又∵i2∴i3∵i4又∵i2∴i4故答案为：-i；1（2）解：(1+i)×(3-4i)=1×3-4i+3×i-4=3+=7-i（3）解：∵i2∴32∵-3∴32（4）解：原式=i-1+=i-1．【点睛】本题考查整式的混合运算、复数的定义、有理数比大小，解本题的关键是准确解读题意，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中．【变式3】（2022春·陕西西安·七年级校考期中）定义abcd|＝ad﹣bc，如1324＝1×4﹣2×3＝﹣(1)若x+1x-1x-1x+1＝4，求x(2)若x+mx-1nx-12x+1的值与x无关，求n【答案】(1)1(2)2【分析】（1）根据题意，列出关于x的方程，进而即可求解；（2）根据题意，列出关于m，n的代数式，从而得2﹣n＝0，2m+n+2＝0进而即可求解．【详解】（1）解：依题意有：(x+1)2-(x-1)∴4x＝4，∴x＝1；（2）解：依题意有：（x+m）（2x+1）﹣（nx﹣1）（x﹣1）＝2x2+x+2mx+m﹣（nx2﹣x＝2x2+x+2mx+m﹣nx2+x＝（2﹣n）x2+（2m+n+2）x+m﹣1∵x+mx-1nx-12x+1∴2﹣n＝0，2m+n+2＝0．∴n＝2，m＝﹣2．故n的值为2．【点睛】本题主要考查解方程，整式的混合运算，掌握整式的运算法则，列出方程，是解题的关键．同步过关一、单选题1．（2023春·广东深圳·七年级期中）下列运算正确的是（

）A．a2⋅a3=a6 B．【答案】D【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A.a2B.a6÷C.a3D.-a2故选D．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，是解题的关键．2．（2023春·七年级单元测试）如果x+12x+m的乘积中不含x一次项，则m为（

A．-2 B．2 C．12 D．【答案】A【分析】先计算出多项式乘以多项式，然后根据不含一次项求解即可．【详解】解：由题意得，(x+1)(2x+m)=2x∵展开式中不含一次项，∴2+m=0，解得：m=-2故选A．【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式中不含某一项，理解题意，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．3．（2023秋·浙江杭州·七年级期末）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于3的负数，则m2+(cd+a+b)×m+(cd)A．0 B．7 C．4 D．-8【答案】B【分析】利用相反数，绝对值，以及倒数的定义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=-3，则原式=9+（1+0）×（-3）+1=7，故选：B．【点睛】本题考查了相反数，绝对值，倒数，有理数的运算的应用，关键是求出a+b=0，cd=1，m=-3．4．（2023·广东东莞·统考二模）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（3a）3＝3a3C．（﹣a4）•（﹣a3c2）＝﹣a7c2D．t2m+3÷t2＝t2m+1（m是正整数）【答案】D【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法法则计算，判断即可．【详解】解：A中a2B中（3aC中（-D中t2m+3÷t故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法．解题的关键在于正确的计算．5．（2023·湖南衡阳·衡阳市华新实验中学校考一模）下列运算正确的是（）A．2a2+C．4a2÷2a=2【答案】D【分析】直接利用合并同类型法则以及幂的乘方法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则分别计算即可得出结果．【详解】解：A．2aB．-2a3C．4aD．a3故选：D【点睛】本题主要考查了合并同类型法则以及幂的乘方法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．6．（2022春·河南驻马店·七年级校联考阶段练习）若（x+b）（x﹣a）＝x2+kx﹣ab，则k的值为（）A．a+b B．﹣a﹣b C．a﹣b D．b﹣a【答案】D【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出k．【详解】解：（x+b）（x﹣a）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+kx﹣ab，得到b﹣a＝k，则k＝b﹣a．故选D．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．±2 B．±5 C．5 D．﹣2【答案】B【分析】一个数的平方为正数，那么这个数可能是正数，也可能是负数，而两数乘积为负，则两个数异号，由此判断a，b的值求解.【详解】由a2＝4，则a=±2，b2＝9则b=±3，因为ab＜0，则a，b异号当a=2时，b=-3，则a-b=5，当a=-2时，b=3，则a-b=-5，所以选B.【点睛】两数相乘，同号为正，异号为负.8．（2023春·七年级课时练习）化简[-2(x-y)]4·[-12(y-x)]2的结果为(

A．12(x-y)6 B．2(x-y)6 C．(x-y)6 D．4(y-x)【答案】D【详解】原式=16故选D.【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式.解答本题一是要注意一个负数得偶次幂是正数，二是注意底数是相反数因式的变形.9．下列运算正确的是（

）A．(ab)4=ab4 B．y32【答案】C【分析】直接利用幂的乘方和积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【详解】解：A、(ab)4=B、y3C、m6D、x3故选：C．【点睛】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2023秋·八年级单元测试）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B．12 C．-2 D．【答案】A【分析】根据“代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项”可知x2系数等于0，所以将代数式整理计算后合并同类项，即可得出x2的系数，令其等于0解答即可.【详解】原式=x=∵代数式不含x2项∴m-2=0,解得m=2故答案选A.【点睛】本题考查的是多项式的乘法和不含某项的问题，知道不含某项，代表某项的系数为0是解题的关键.二、填空题11．若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则2【答案】2023【分析】根据题意可知2m2-3m-1=0，然后将2【详解】∵m是方程2x∴22m2-3m+2018=2m故答案为：2023．【点睛】本题考查利用整体思想求代数式，注意切不可求出m的值然后求解，这样计算量非常大，且不一定能够求解出来．12．（2023·浙江金华·统考二模）按如图所示的运算程序，输入一对数值，能使得输出的结果为12，该数对(x,y)的值可以是．（写出一对即可）．【答案】(2,4)．【分析】首先根据题目给出的运算程序以及最终输出结果为12，我们可以逆向推导两种可能的情况，进而找出满足的程序及关系，解得符合条件的值填入即可．【详解】解：根据题目所给程序以及最终输出结果可分以下两种情况考虑，x2+2y=12且y≥0，满足的值很多，写出一种即可．例如：x2-2y=12且y≤0，满足的值很多，写出一种即可．例如：故答案为：(2,4)．【点睛】本题是一道程序运算问题，主要考查的是求代数式的值，通过计算求得满足不等式条件的二元二次方程的解是解题的关键．13．已知2x-3y-3=0，则代数式6x－9y＋5的值为．【答案】14【分析】根据2x-3y-3=0，可知2x-3y=3，再根据6x－9y＋5可以变形为3（2x-3y）+5，即可得出答案.【详解】∵2x-3y-3=0，∴2x-3y=3∵6x－9y＋5=3（2x-3y）+5∴原式=3×3+5=14故答案为14.【点睛】本题考查的是代数式的求值运算，根据式子的特点，采用整体代入的方法化简求值是解题的关键.14．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）计算：6x2【答案】3x-4【分析】原式根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可得到答案．【详解】解：6=6=3x-4故答案为：3x-4【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．若ab3=-2，则【答案】-24【分析】先根据单项式乘以单项式法则进行计算，再根据幂的乘方和积的乘方进行变形，最后代入求出即可．【详解】∵ab3＝−2，∴(-3ab)⋅2ab5=−6a＝−6（ab3）2＝−6×（−2）2＝−24，故答案为：−24．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确根据积的乘方和幂的乘方进行变形是解此题的关键．16．（2023·北京房山·统考一模）如图中的四边形均为矩形，根据图形，利用图中的字母，写出一个正确的等式：．【答案】(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb(答案不唯一)【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案．【详解】解：(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb(答案不唯一)故答案为(m+n)(a+b)＝ma+mb+na+nb(答案不唯一)．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．三、解答题17．计算：（1）(-2)3（2）-（3）5a（4）-2(2xy-【答案】（1）-5；（2）16；（3）2a2b+a【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可；（2）先算乘方，再去括号，再算乘法，最后计算加减即可；（3）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可；（4）先去括号，然后合并同类项即可.【详解】解：（1）原式=（﹣8）×14+94×(﹣43)=﹣2﹣3=（2）原式=﹣1﹣12×13×（﹣7）=﹣1+（3）原式=5a2b-（2ab2-3ab2+3a2b）=5a2（4）原式=﹣4xy+2x2+6x2﹣3xy﹣12x2+8xy=xy-4x【点睛】本题考查有理数的混合运算，整式的化简.解此题的关键在于熟练掌握运算法则，需要注意去括号时符号是否需要改变.18．（2022秋·河南驻马店·八年级校考阶段练习）甲乙两人共同计算一道整式乘法：3x+a2x-b，甲把第二个多项式中b前面的减号抄成了加号，得到的结果为6x2+16x+8，乙漏抄了第二个多项式中x的系数（1）计算出a、b的值；（2）求出这道整式乘法的正确结果．【答案】（1）a=2，b=4；（2）6x2-8x-8【分析】（1）先按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值即可；（2）把a，b的值代入原式，再根据多项式乘多项式的法则进行计算即可得出答案．【详解】解：（1）甲的算式：（3x＋a）（2x＋b）＝6x2＋（3b＋2a）x＋ab＝6x2＋16x＋8，对应的系数相等，3b＋2a＝16，ab＝8，乙的算式：（3x＋a）（x-b）＝3x2＋（-3b＋a）x-ab＝3x2-10x-8，对应的系数相等，-3b＋a＝-10，ab＝8，∴3b+2a=16-3b+a=-10解得：a=2b=4（2）根据（1）可得正确的式子：（3x＋2）（2x-4）＝6x2-8x