专题02 黄金分割问题（解析版）

2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）专题02黄金分割问题1.（2022湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到．参考数据：，，）A. B. C. D.【答案】B【解析】设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得求解即可．设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴∴，即该雕像的下部设计高度约是1.24m．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．2.如图①，AB＝2，点C在线段AB上，且满足＝。如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为（）A．14﹣6 B．4﹣8 C．10﹣22 D．10﹣20【答案】C【解析】由＝得，AC＝＝＝﹣1，BC＝＝＝3﹣，因为CBDE为正方形，所以EC＝BC，AE＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，矩形AEDF的面积：AE•DE＝（2﹣4）×（3﹣）＝10﹣22．故选：C．3.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（）A.1．24米 B.1．38米 C.1．42米 D.1．62米【答案】A【解析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．4.勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝×2＝﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝3﹣；故选：B．5.（2022陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米．【答案】或者【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴．∵AB=2米，∴米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．6.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，那么报幕员应走米报幕．【答案】（15﹣5）．【解析】∵点P为AB的黄金分割点，AP＜BP，∴PB＝AB＝×10＝5﹣5（米），∴AP＝AB﹣PB＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5（米），故答案为（15﹣5）．12.已知，AB＝4，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为﹣．【答案】．【解析】∵P是AB黄金分割点，PA＞PB，∴PA＝AB＝2﹣2．故答案为：．7.（2022四川达州）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．【答案】5050【解析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．，，，，，…，故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．8.（2022湖南娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点是的黄金分割点，即．延长与相交于点，则________.（精确到0.001）【答案】0.618【解析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得，即可得到答案．【详解】如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四边形EFGM是矩形，∴EG＝MF＝y，∵，∴x－y≈0.618x，解得y≈0.382x，∴，∴EG≈0.618DE．故答案为：0.618．【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键．9．（2021湖北黄冈）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a＝，b＝得ab＝1，记S1＝，S2＝，…，S10＝，则S1+S2+…+S10＝．【答案】10【解析】利用分式的加减法则分别可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，即可求解．∵S1＝＝＝1，S3＝＝＝1，…，S10＝＝＝3，∴S1+S2+…+S10＝4+1+…+1＝10．10.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，（1）求AM，DM的长，（2）试说明AM2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】见解析。【解析】（1）∵正方形ABCD的边长是2，P是AB中点，∴AD＝AB＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝。∵PF＝PD，∴AF＝在正方形ABCD中，AM＝AF＝，MD＝AD－AM＝3－（2）由（1）得AD×DM＝2（3－）＝6－2，∴AM2=AD·DM．（3）如图中的M点是线段AD的黄金分割点．11．（1）对于实数、，定义运算“”如下：．若，求:的值；（2）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，求AC的长．【答案】（1）;（2）6.【解析】（1）先根据新定义及得到代数式x2+x=5，再化简，把x2+x=5整体代入即可求解.(2)根据黄金比值是计算即可．【详解】（1）∵即化简得x2+x=5∴=-x2-x+4=-5+4=-1（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，∴BC＝AB=2()cm,则AC＝4−2（）＝6.【总结升华】本题考查的是新定义运算及黄金分割，解题的关键是熟知整式的乘除与黄金分割的性质.12.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB＝BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．【答案】见解析。【解析】（1）证明：∵AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴DA＝DB，BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC＝CD：BC，即BC2＝CD•AC，∴AD2＝CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）解：设AD＝x，则CD＝AC﹣AD＝1﹣x，∵AD2＝CD•AC，∴x2＝1﹣x，解得x1＝，x2＝，即AD的长为．13.两千多年前，古希数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400年一公元前347年）发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，AB＝CD．（1）求证：∠ABC＝∠ADB；（2）若BC＝4cm，求BD的长．【答案】见解析。【解析】（1）证明：∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，∴AD：CD＝CD：AC，∵AB＝CD，∴AD：AB＝AB：AC，而∠DAB＝∠BAC，∴△ABD∽△ACB，∴∠ADB＝∠ABC；（2）∵△ABD∽△ACB，∴＝，而AB＝CD，∴＝，∵点D是线段AC的黄金分割点，且AD＜CD，∴CD＝AC，∴＝，∴BD＝（2﹣2）cm．14.如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝AB，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BD＝AB，则称点D是线段AB的黄金“左割”点．请根据以上材科．回答下列问题（1）如图2，若AB＝8，点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC＝，DC＝．（2）若数轴上有M，P，Q，N四个点，它们分别对应的实数为m，p，q，n，且m＜p＜q＜n，n＝3|m|，点Q和点P分别是线段MN的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值．【答案】见解析。【解析】（1）∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，∴AC＝BD＝AB＝×8＝4﹣4，∴BC＝8﹣（4﹣4）