12.2 三角形全等的判定（第二课时SAS）（解析版）

八年级数学上分层优化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第二课时（解析版）学习目标：1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS.2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明）3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明）4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.老师对你说：知识点1全等三角形的判定2：边角边（SAS）三角形全等的判定2：边角边（SAS）文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；图形：符号：在ΔABC与△A'知识点2利用SAS进行推理证明①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等DABCDABCDABDABCDABCDABCDABCDABC隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．基础提升教材核心知识点精练知识点1全等三角形的判定2：边角边（SAS）【例1-1】如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是____．

【答案】SAS【解析】∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，即：∠DAC＝∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD＝AB，∠DAC＝∠BAE，AE＝AC，∴△ADC≌△ABE（SAS），故填：SAS．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型【例1-2】如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（

）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短【答案】A【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．解：O为、的中点，，，（对顶角相等），在与中，，，，故选：A．【点拨】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．【例1-3】如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．解：∵在△ABO和△DCO中，，∴，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．知识点2利用SAS进行推理证明【例2-1】如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是()A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°答案D解析如图：由题意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠1+∠BED＝90°，在△ABC和△BED中，&AC=BD&∠ACB=∠BDE&∴∠2＝∠BED，∴∠1+∠2＝90°，故选：D．【例2-2】如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35.5°，∠2＝30.5°，则∠3＝度．答案66解析如图所示：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠1+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠4，∴∠1＝∠4，在△ABD和△ACE中，&AB=AC&∠1=∠4&AD=AE，∴△ABD∴∠ADB＝∠AEC，又∵∠2+∠4+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝114°，∴∠ADB＝114°，又∠ADB+∠3＝180°，∴∠3＝66°，故答案为：66．【例2-3】在四边形ABCD中，E为BC边中点．已知：如图，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD上一点，AF＝AB．求证：(1)△ABE≌△AFE；(2)AD＝AB+CD．解析(1)证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，&AB∴△ABE≌△AFE(SAS)；(2)证明：由(1)知，△ABE≌△AFE，∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF，∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠DEC＝∠DEF，∵点E为BC的中点，∴EB＝EC，∴EF＝EC，在△ECD和△EFD中，&EC=EF&∠DEC=∠DEF&∴DC＝DF，∵AD＝AF+DF，AB＝AF，∴AD＝AB+CD．DABCDABCDABDABCDABCDABC【例3-1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．

求证：；若，求三角形的面积．【答案】(1)见分析；(2)【分析】（1）根据得，根据得，即，根据即可证明；（2）在中，以为底作为高，则，，根据得，，即可得．（1）证明：∵，，∵，，在和中，，；（2）解：如图所示，在中，以为底作为高，

，，∵，，，．【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．【例3-2】已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：．证明见分析【分析】在的延长线上取点K，使得，连接，根据四边形内角和，证明，得到，，再证明，得到，进而推出，然后结合，即可证明结论．解：证明：如图，在的延长线上取点K，使得，连接，

，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，做辅助线构造全等三角形是解题关键．【例3-3】已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，(1)如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：AC=BD．(2)如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为__________，∠APB的大小为__________（直接写出结果，不证明）【答案】(1)证明见解析(2)AC=BD，α【分析】（1）利用SAS证明△AOC≌△BOD，即可得到结论；（2）与（1）同理可证△AOC≌△BODSAS，得到AC=BD，由△AOC≌△BODSAS得到∠OAC=∠OBD，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到【详解】（1）证明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；（2）∵∠AOB=∠COD=α，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，AO=BO∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；如图②，设AC与OB相交于点E，∵△AOC≌△BODSAS∴∠OAC=∠OBD，在△AOE和△BEP中，∠OAC=∠OBD，∠AEO=∠BEP,∠OAC+∠AEO+∠AOB=∠OBD+∠BEP+∠APB=180°，∴∠APB=∠AOB=α，故答案为：AC=BD，α【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．能力强化提升训练1.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD=12，则CE为．

【答案】6【分析】延长BA，CE交于点F，证△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF=EC，EC=12CF，及BD=CF，【详解】解：延长BA，CE交于点F，

∵∠A=90°=∠BEC=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，∵∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠BAD=∠CAFAB=AC∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中，∠ABE=∠CBEBE=BE∴△BEF≌△BEC(ASA)，∴EF=EC，∴EC=1∴CE=1∵BD=12，∴CE=6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质及判定是解题的关键．如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，在BE上取一点D，使DB=AC，在射线CF上取一点G，使GC=AB，连结AD，AG．若∠DAE=38°，∠ABE=20°，则∠G的度数为．

【答案】32度/32°【分析】证明△ABD≌△GCA得到∠BAD=∠G，根据三角形的内角和定理求得∠BAD即可．【详解】解：∵BE，CF分别是AC，AB边上的高，∴∠BEA=∠CFA=90°.∴∠ABD+∠BAC=90°，∠GCA+∠BAC=90°.∴∠ABD=∠GCA.在△ABD和△GCA中，∵DB=AC，∠ABD=∠GCA，AB=GC，∴△ABD≌△GCASAS∴∠BAD=∠G.∵∠BAD=180°-90°-∠ABE-∠DAE=90°-20°-38°=32°，∴∠G=32°.【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明△ABD≌△GCA是解答的关键．如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．

【答案】见解析【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC=90°．∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，∴∠DAF=∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=AC∠DAF=∠CAB∴△DAF≅△CABSAS∴DF=CB．【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．4.如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上载取BF=AC，延长CE至点G使CG=AB，连接AF，AG．

(1)求证：AG=AF；(2)求∠GAF的度数；【答案】(1)证明见解析(2)90°【分析】（1）根据高的定义得到∠AEC=∠ADB=90°，进而得到∠ABD=∠ACG，由此证明△AGC≌△FAB即可证明AG=AF；（2）由全等三角形的性质得到∠BAF=∠CGA，再由三角形内角和定理得到∠AGE+∠EAG=90°，即可得到∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【详解】（1）证明：∵BD、CE分别是AC、AB两条边上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠ACG，在△AGC与△FAB中，CA=BF∠GCA=∠ABF∴△AGC≌△FABSAS∴AG=AF；（2）解：∵△AGC≌△FAB，∴∠BAF=∠CGA，∵CE是AB边上的高，即CE⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠AGE+∠EAG=90°，∴∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，高的定义，证明△AGC≌△FAB是解题的关键．堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1.如图中全等的三角形是()A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④答案B解析①和③符合全等三角形的判定定理SAS，两三角形全等，而其它三角形不全等，故选：B．2.如图，在2×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是()A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝180° D．∠1+∠2＝90°答案D解析如图：由题意得：AC＝BD＝2，BC＝DE＝1，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠1+∠BED＝90°，在△ABC和△BED中，&AC=BD&∠ACB=∠BDE&∴∠2＝∠BED，∴∠1+∠2＝90°，故选：D．3.如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离时，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到E，使CE＝CB．可证明△EDC≌△BAC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△BAC的依据是()A．“边边边” B．“角边角” C．“角角边” D．“边角边”答案D解析由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE(对顶角相等)，∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴DE＝AB，故选：D．4.如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．5.如图，BD是△ABD和△CBD的公共边，下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是（

）A．AB=CB，∠ABD=∠CBD B．AB=CB，∠ADB=∠CDBC．AB=CB，AD=CD D．∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB【答案】B【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，ASA，SSS，即可判断．【详解】解A、由SAS可以判定△ABD≌△CBD，故不符合题意；B、∠ADB=∠CDB，这两个角分别是AB，BC的对角，不能判定△ABD≌△CBD，故符合题意；C、由SSS可以判定△ABD≌△CBD，故不符合题意；D、由ASA可以判定△ABD≌△CBD，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．6.如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=30°，∠2=40°，则∠3的度数为（

）

A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】先证出△ABD≌△ACE，根据三角形全等的性质可得∠ABD=∠2=40°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴∠ABD=∠2=40°，∵∠1=30°，∴∠3=∠ABD+∠1=70°，故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．7.如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（）A．△ABC与△ABD不全等B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等【答案】D【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断；【详解】由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD，满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．8.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解．解：如图，

由图可知：，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故选C．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）9.如图，已知AB∥CF，点E为DF的中点，若AB＝9cm，CF＝5cm，则BD＝____cm.【答案】4【解析】解：∵AB∥CF，∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，在△AED和△CEF中，∴△AED≌△CEF（AAS），∴FC=AD=5cm，∴BD=AB-AD=9-5=4（cm）．故答案为：410如图，在△ABC中，，，，分别在，，上，且，，，则的度数是_____．（用含的代数式表示）【详解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS）∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°−∠A）÷2＝90°−∠A，∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°−2α，故答案为：180°−2α．11.如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是________【答案】2＜AD＜7【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，从而得到的取值范围．【详解】如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，∵是边上的中线，∴，在△ABD和△CDE中，，∴△ABD△CDE（SAS），∴AB＝CE=5，AD＝DE，∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，∴4＜AE＜14，∴2＜AD＜7．12.如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE＋∠ACE＋∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为________°．【答案】65【分析】根据手拉手模型证明△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形外角的性质得∠ADE=∠BAD+∠ABD，再结合已知条件即可解答．【详解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，∴∠ABD+∠BAD+∠ADE=130°，∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∴2∠ADE=130°，∴∠ADE=65°．故答案为：65．13.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为____________【答案】7【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，∴△ADE≌△ADC（∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．三、解答题（共6小题，48分）14.（8分）如图，AB∥DE，【答案】见解析【分析】由全等三角形的判定定理即可求证．【详解】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS【点评】本题考查利用“SAS”证明三角形全等．掌握相关定理进行推导是解题关键．15.（8分）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD=AC．在边AC上截取AF=AB，连接DF．求证：DF=CB．

【答案】见解析【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【详解】证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC=90°．∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，∴∠DAF=∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=AC∠DAF=∠CAB∴△DAF≅△CABSAS∴DF=CB．【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．16.（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C、D、E三点在同一条直线上，连接BD，(1)求证：BD=CE；(2)判断BD与CE的位置关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BD⊥CE，见解析【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE=∠ABD，由三角形内角和定理可求解．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）解：BD⊥CE，理由如下：如图，设AC与BD于G，∵△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AGB=∠CGD，∠BAC=90°，∴∠CDG=90°，∴BD⊥CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．17.（8分）.如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．(1)求证：BE＝CF；(2)若∠BAC＝80°，求∠BOF的度数．答案(1)略(2)100°解析(1)证明：∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAB+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，&AB=AC&∠BAE=∠CAF&∴BE＝CF；(2)解：∵△BAE≌△CAF，∴∠EBA＝∠FCA，即∠DBA＝∠OCD，∵∠BDA＝∠ODC，∴∠BAD＝∠COD，∵∠BAC＝80°，∴∠COD＝80°，∴∠BOF＝100°．18.（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．【答案】见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，AD=AF∠EAD=∠EAF∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，∠BFE=∠C∠FBE=∠CBE∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．19.（8分）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB.求证：（1）∠3+∠4=180°；（2）OA+OB=2OE.【答案】详见解析【分析】过点C向OA、OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论.【详解】如图，过点C作CF⊥OB与点F，则∠F=∠CEO=90°，∵∠1=∠2，OC=OC，∴ΔFOC≅ΔEOC，∴CE=CF，OE=OF，∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，∴R∴∠4=∠CBF，AE=BF，∵∠3+∠CBF=180°，∴∠3+∠4=180°，∴OA+OB=OE+AE【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键.拓展培优*冲刺满分如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s，则经过______s，△BPE【答案】1或4【分析】分两种情况：①当EB=PC时，△BPE≅△CQP，②当BP=CP时，△BEP≅CQP，进而求出即可．【详解】解：设运动的为ts，分两种情况：①当EB=PC，BP=QC时，△BPE≅△CQP，∵AB=20cm，AE=6∴EB=14cm∴PC=14cm∵BC=16cm∴BP=2cm∴QC=2cm∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C∴t=2÷2=1（s），此时点Q的运动速度为2÷1=2(cm/s)；②当BP=CP，BE=QC=14cm时，△BEP≅CQP由题意得：2t=16-2t，解得：t=4（s），此时点Q的运动速度为14÷4=3.5(cm/s)；综上，点P经过1或4s时；△BPE与△CQP全等．故答案为：1或4．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，关键是掌握两个三角形全等的判定和性质．2.问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD【答案】问题发现：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证ΔACE≅【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵∠ACD=90∴∠ACE=∠DCB=90又∵CA=CD,CB=CE,∴ΔACE≅ΔDCB∴AE=ED,∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠CBD=90∴∠CAE+∠CBD=90∴∠AFD=90∴AF⊥FB，∴AE⊥BD，故答案为：AE=BD，AE⊥BD；拓展探究：成立．理由如下：设CE与BD相交于点G，如图1所示：∵∠ACD=∠BCE=90∴∠ACE=∠BCD，又∵CB=CE，AC=CD，∴ΔACE≅ΔDCB∴AE=BD，∠AEC=∠DBC