一维黎曼问题数值解与计算程序

一维问题数值解与计算程序一维问题，即激波管问题，是一个典型的一维可压缩无黏气体动力学问题，并有解析解。对它采用二阶精度两步差分格式进行数值求解。同时，为了初学者入门和练习方便,这里给出了用语言和编写的计算一维问题的计算程序，供大家学习参考。A-1利用两步差分格式求解一维问题1.一维问题图A.1激波管问题示意图一维问题实际上就是激波管问题。激波管是一根两端封闭、内部充满气体的直管，如图A.1所示。在直管中由一薄膜将激波管隔开，在薄膜两侧充有均匀理想气体〔可以是同一种气体，也可以是不同种气体〕，薄膜两侧气体的压力、密度不同。当时，气体处于静止状态。当时，薄膜瞬时突然破裂，气体从高压端冲向低压端，同时在管内形成激波、稀疏波和接触间断等复杂波系。图A.1激波管问题示意图2.根本方程组、初始条件和边界条件设气体是理想气体。一维问题在数学上可以用一维可压缩无黏气体方程组来描述。在直角坐标系下量纲为一的一维方程组为：(A.1)其中()这里、、、分别是流体的密度、速度、压力和单位体积总能。理想气体状态方程：〔A.3〕初始条件：；。边界条件：和处为自由输出条件，,。3.二阶精度差分格式两步差分格式：()其中。计算实践说明，两步差分格式不能抑制激波附近非物理振荡。因此在计算激波时，必须采用人工黏性滤波方法：()为了在激波附近人工黏性起作用，而在光滑区域人工黏性为零，需要引入一个与密度〔或者压力〕相关的开关函数：()由式()可以看出，在光滑区域，密度变化很缓，因此值也很小；而在激波附近密度变化很陡，值就很大。带有开关函数的前置人工黏性滤波方法为：()其中参数往往需要通过实际试算来确定，也可采用线性近似方法得到：()由于声速不会超过3，所以取，在本计算中取。4.计算结果分析计算分别采用标准的语言和语言编写程序。计算中网格数取，计算总时间为。计算得到在时刻的密度、速度和压力分布如图A.2〔语言计算结果〕和图A.3〔语言计算结果〕所示。采用两种不同语言编写程序所得到的计算结果完全吻合。从图A.2和图A.3中可以发现，两步差分格式能很好地捕捉激波，计算得到的激波面很陡、很窄，计算激波精度是很高的。采用带开关函数的前置人工滤波法能消除激波附近的非物理振荡，计算效果很好。从图A.2和图A.3中可以看出通过激波后气体的密度、压力和速度都是增加的；在压力分布中存在第二个台阶，说明在这里存在一个接触间断，在接触间断两侧压力是有间断的，而密度和速度是相等的。这个计算结果正确地反映了一维问题的物理特性，并被激波管实验所验证。图A.图A.2采用语言程序得到的一维问题密度、速度和压力分布图采用语言程序得到的一维问题密度、速度和压力分布A-2一维问题数值计算源程序1.语言源程序//MacCormack1D.cpp:定义控制台应用程序的入口点。///*-----------------------------------------------------------------------------------------------------*利用差分格式求解一维激波管问题〔语言版本〕*-------------------------------------------------------------------------------------------------------*///#include"stdafx.h"#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>#defineJ1000//网格数//全局变量doubleU[J+2][3],Uf[J+2][3],Ef[J+2][3];/*-------------------------------------------------------计算时间步长入口:U，当前物理量，dx，网格宽度；返回:时间步长。---------------------------------------------------------*/doubleCFL(doubleU[J+2][3],doubledx){inti;doublemaxvel,p,u,vel;maxvel=1e-100;for(i=1;i<=J;i++){u=U[i][1]/U[i][0];p=(GAMA-1)*(U[i][2]-0.5*U[i][0]*u*u);vel=sqrt(GAMA*p/U[i][0])+fabs(u);if(vel>maxvel)maxvel=vel;}returnSf*dx/maxvel;}/*-------------------------------------------------------初始化入口:无；出口:U，已经给定的初始值，dx,网格宽度。---------------------------------------------------------*/voidInit(doubleU[J+2][3],double&dx){inti;doublerou1=1.0,u1=0.0,p1=1.0;//初始条件doublerou2=0.125,u2=0.0,p2=0.1;dx=L/J;for(i=0;i<=J/2;i++){U[i][0]=rou1;U[i][1]=rou1*u1;U[i][2]=p1/(GAMA-1)+rou1*u1*u1/2;}for(i=J/2+1;i<=J+1;i++){U[i][0]=rou2;U[i][1]=rou2*u2;U[i][2]=p2/(GAMA-1)+rou2*u2*u2/2;}}/*-------------------------------------------------------边界条件入口:dx，网格宽度；出口:U，已经给定的边界。---------------------------------------------------------*/voidbound(doubleU[J+2][3],doubledx){intk;//左边界for(k=0;k<3;k++)U[0][k]=U[1][k];//右边界for(k=0;k<3;k++)U[J+1][k]=U[J][k];}/*-------------------------------------------------------根据U计算E入口:U，当前U矢量；出口:E，计算得到的E矢量，U、E的定义见Euler方程组。---------------------------------------------------------*/voidU2E(doubleU[3],doubleE[3]){doubleu,p;u=U[1]/U[0];p=(GAMA-1)*(U[2]-0.5*U[1]*U[1]/U[0]);E[0]=U[1];E[1]=U[0]*u*u+p;E[2]=(U[2]+p)*u;}/*-------------------------------------------------------一维差分格式求解器入口:U，上一时刻的U矢量，Uf、Ef，临时变量，dx，网格宽度，dt,时间步长；出口:U，计算得到的当前时刻U矢量。---------------------------------------------------------*/voidMacCormack_1DSolver(doubleU[J+2][3],doubleUf[J+2][3],doubleEf[J+2][3],doubledx,doubledt){inti,k;doubler,nu,q;r=dt/dx;nu=0.25;for(i=1;i<=J;i++){q=fabs(fabs(U[i+1][0]-U[i][0])-fabs(U[i][0]-U[i-1][0]))/(fabs(U[i+1][0]-U[i][0])+fabs(U[i][0]-U[i-1][0])+1e-100);//开关函数for(k=0;k<3;k++)Ef[i][k]=U[i][k]+0.5*nu*q*(U[i+1][k]-2*U[i][k]+U[i-1][k]);//人工黏性项}for(k=0;k<3;k++)for(i=1;i<=J;i++)U[i][k]=Ef[i][k];for(i=0;i<=J+1;i++)U2E(U[i],Ef[i]);for(i=0;i<=J;i++)for(k=0;k<3;k++)Uf[i][k]=U[i][k]-r*(Ef[i+1][k]-Ef[i][k]);//U(n+1/2)(i+1/2)for(i=0;i<=J;i++)U2E(Uf[i],Ef[i]);//E(n+1/2)(i+1/2)for(i=1;i<=J;i++)for(k=0;k<3;k++)U[i][k]=0.5*(U[i][k]+Uf[i][k])-0.5*r*(Ef[i][k]-Ef[i-1][k]);//U(n+1)(i)}/*-------------------------------------------------------输出结果,用数据格式画图入口:U，当前时刻U矢量，dx，网格宽度；出口:无。---------------------------------------------------------*/voidOutput(doubleU[J+2][3],doubledx){inti;FILE*fp;doublerou,u,p;fp=fopen("result.txt","w");for(i=0;i<=J+1;i++){rou=U[i][0];u=U[i][1]/rou;p=(GAMA-1)*(U[i][2]-0.5*U[i][0]*u*u);fprintf(fp,"%20f%20.10e%20.10e%20.10e%20.10e\n",i*dx,rou,u,p,U[i][2]);}fclose(fp);}/*-------------------------------------------------------主函数入口:无；出口:无。---------------------------------------------------------*/voidmain(){doubleT,dx,dt;Init(U,dx);T=0;while(T<TT){dt=CFL(U,dx);T+=dt;printf("T=%10gdt=%10g\n",T,dt);MacCormack_1DSolver(U,Uf,Ef,dx,dt);bound(U,dx);}Output(U,dx);}--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.语言源程序!MacCormack1D.for------------------------------------------------------------------------------------------------------------!利用差分格式求解一维激波管问题〔语言版本〕--------------------------------------------------------------------------------------------------------------*/programMacCormack1Dimplicitdoubleprecision(a-h,o-z)parameter(M=1000)common/G_def/GAMA,PI,J,JJ,dL,TT,SfdimensionU(0:M+1,0:2),Uf(0:M+1,0:2)dimensionEf(0:M+1,0:2)!气体常数!网格数J=M!计算区域!总时间!时间步长因子callInit(U,dx)T=01dt=CFL(U,dx)T=T+dtwrite(*,*)'T=',T,'dt=',dtcallMacCormack_1D_Solver(U,Uf,Ef,dx,dt) callbound(U,dx)if(T.lt.TT)goto1callOutput(U,dx)end!-------------------------------------------------------!计算时间步长!入口:U，当前物理量，dx,网格宽度；!返回:时间步长。!-------------------------------------------------------doubleprecisionfunctionCFL(U,dx)implicitdoubleprecision(a-h,o-z)common/G_def/GAMA,PI,J,JJ,dL,TT,SfdimensionU(0:J+1,0:2)dmaxvel=1e-10do10i=1,Juu=U(i,1)/U(i,0)p=(GAMA-1)*(U(i,2)-0.5*U(i,0)*uu*uu)vel=dsqrt(GAMA*p/U(i,0))+dabs(uu)if(vel.gt.dmaxvel)dmaxvel=vel10continueCFL=Sf*dx/dmaxvelend!-------------------------------------------------------!初始化!入口:无；!出口:U,已经给定的初始值，dx，网格宽度。!-------------------------------------------------------subroutineInit(U,dx)implicitdoubleprecision(a-h,o-z)common/G_def/GAMA,PI,J,JJ,dL,TT,SfdimensionU(0:J+1,0:2)!初始条件u1=0v1=0u2=0v2=0dx=dL/Jdo20i=0,J/2U(i,0)=rou1U(i,1)=rou1*u1U(i,2)=p1/(GAMA-1)+0.5*rou1*u1*u120continuedo21i=J/2+1,J+1U(i,0)=rou2U(i,1)=rou2*u2U(i,2)=p2/(GAMA-1)+0.5*rou2*u2*u221continueend!-------------------------------------------------------!边界条件!入口:dx，网格宽度；!出口:U，已经给定边界。!-------------------------------------------------------subroutinebound(U,dx)implicitdoubleprecision(a-h,o-z)common/G_def/GAMA,PI,J,JJ,dL,TT,SfdimensionU(0:J+1,0:2)!左边界do30k=0,2 U(0,k)=U(1,k)30continue!右边界do31k=0,2U(J+1,k)=U(J,k)31continueend!-------------------------------------------------------!根据U计算E!入口:U，当前U矢量；!出口:E，计算得到的E矢量，!U、E定义见Euler方程组。!-------------------------------------------------------subroutineU2E(U,E,is,in)implicitdoubleprecision(a-h,o-z)common/G_def/GAMA,PI,J,JJ,dL,TT,SfdimensionU(0:J+1,0:2),E(0:J+1,0:2)do40i=is,inuu=U(i,1)/U(i,0)p=(GAMA-1)*(U(i,2)$-0.5*U(i,1)*U(i,1)/U(i,0))E(i,0)=U(i,1)E(i,1)=U(i,0)*uu*uu+pE(i,2)=(U(i,2)+p)*uu40continueend!-------------------------------------------------------!一维差分格式求解器!入口:U，上一时刻U矢量，!Uf、Ef，临时变量，!dx，网格宽度，dt,，时间步长；!出口:U，计算得到得当前时刻U矢量。!-------------------------------------------------------subroutineMacCormack_1D_Solver(U,Uf,Ef,dx,dt)implicitdoubleprecision(a-h,o-z)common/G_def/GAMA,PI,J,JJ,dL,TT,SfdimensionU(0:J+1,0:2),Uf(0:J+1,0:2)dimensionEf(0:J+1,0:2)r=dt/dxdo60i=1,Jdo60k=0,2!开关函数q=dabs(dabs(U(i+1,0)-U(i,0))-dabs(U(i,0)-U(i-1,0)))$/(dabs(U(i+1,0)-U(i,0))+dabs(U(i,0)-U(i-1,0))+1e-10)!人工黏性项Ef(i,k)=U(i,k)+0.5*dnu*q*(U(i+1,k)-2*U(i,k)+U(i-1,k))60continuedo61k=0,2do61i=1,JU(i,k)=Ef(i,k)61continuecallU2E(U,Ef,0,J+1)do63i=0,Jdo63k=0,2!U(n+1/2)(i+1/2)Uf(i,k)=U(i,k)-r*(Ef(i+1,k)-Ef(i,k))63continue !E(n+1/2)(i+1/2)callU2E(Uf,Ef,0,J)do64i=1,Jdo64k=0,2!U(n+1)(i)U(i,k)=0.5*(U(i,k)+Uf(i,k))