33辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高二年级数学试卷命题人：郑丽校对人：辛秋月考试时间：120分钟分数：150分试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1-12题60分）第二部分：非选择题型（13-22题90分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程表示的曲线是（）A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线2．已知是坐标原点，空间向量，若线段的中点为，则（）A．9 B．8 C．3 D．3．“”是“圆与圆相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在四面体中，分别是的中点，为上一点，且，若，则（）A． B． C． D．5．直线过点且与椭圆相交于两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为（）A． B． C． D．16．已知为椭圆的右焦点，为上的动点，过且垂直于轴的直线与交更多免费优质滋源请家威杏MXSJ663于两点，若等于的最小值的3倍，则的离心率为（）A． B． C． D．7．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）A．13 B．11 C．9 D．88．正方体的棱长为是空间内的动点，且，则的最小值为（）．A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条B．过点作圆的切线，切线方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．直线的一个方向向量为10．已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（）A．的周长为20 B．若，则的面积为9C．为定值 D．直线与直线斜率的乘积为定值11．若实数满足曲线，则下列结论正确的是（）A．B．的最小值为C．直线与曲线恰有1个交点，则实数D．曲线上有4个点到直线的距离为1．12．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下正确的是（）A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是第Ⅱ卷（非选择题90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若坐标原点在方程所表示的圆的外部，则实数的取值范围为______．14．已知直线的倾斜角为，直线经过点，且与垂直，直线与直线平行，则等于______．15．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．16．已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是上一点，且．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．18．（12分）已知圆经过点，圆恒被直线平分．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程．19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点．（1）求的方程；（2）记为坐标原点，求面积的最大值．21．（12分）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示． 图1图2（1）求证：；（2）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的一个端点为内切圆的半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）在轴上是否存在一点，使得当变化时，总有与所在直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2023-2024学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试高二年级数学试卷答案考试时间：120分钟考试分数：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D2．C3．A4．D5．A6．B7．D8．C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABD 10．BCD 11．AB 12．ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15． 16．7．【详解】如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为．故选：D．8．【详解】取的中点，连接，则，则，即，故动点的轨迹为以为球心，为半径的球．由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，即动点的轨迹为正方体的外接球．取的中点，连接，则由题可知，，则，则．所以的最小值为，故选：C11．【详解】对于A：曲线即的图象是以为圆心，2为半径的半圆，如图，，选项A正确；对于B：代表曲线半圆上的点与的斜率，由图可知，曲线取点时，斜率最小，，选项B正确；对于C：直线过定点，由图可知，当直线位于之间，或者直线与曲线相切时恰有1个交点，相切时，选项C错误；对于D：如图，曲线上最多有3个点到直线的距离为1，D错误；故选：AB．12．【详解】对于A中：底面正方形的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，所以A选项正确；对于B中：以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，可得，设，则，设直线与所成角为，则，因为，当时，可得，所以；当时，，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确；对于C中：因为直线与平面所成的角为，若点在平面和平面内，因为最大，不成立；在平面内，点的轨迹是；在平面内，点的轨迹是；在平面时，作平面，如图所示，因为，所以，又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点的轨迹的长度为，综上，点的轨迹的总长度为，所以C正确；对于D中，由，设则设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，所以D错误．故选：ABC15．【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，又因为异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：．16．【详解】由题意椭圆为两个焦点，可得，则①，即，由余弦定理得，，故，②联立①②，解得：，而，所以，即．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【详解】（1）平面面，又面，平面．（2）解法1：过做于，平面面，又面面，为点到平面的距离，在中，，，又为的中点，点到平面的距离为．解法2：平面，在中，，设点到平面的距离为，则，由，得．，又，为的中点．点到平面的距离为．解法3：分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，，由，知，为中点，，设平面的法向量为，由，得，，取，得，是平面的一个法向量．点到平面的距离为．18．【详解】（1）由直线方程知：，故直线恒过点，因为圆恒被直线平分，所以圆的圆心为，因为在圆上，故圆的半径，综上，圆的方程为：；（2）因为为中点，为圆心，根据垂径定理得：，所以点落在以为直径的圆上，且点在圆的内部，即点的轨迹为以为直径的圆落在圆内的一段弧．因为，以为直径的圆的方程为，由，所以的轨迹方程为：．19．【详解】（1）证明：取中点，连接，为的中点，，又，，四边形为平行四边形：，平面平面，平面；（2）平面平面，平面平面，平面平面，取中点，连接，则平面，，又，，如图以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量，取，则，平面的一个法向量可取，设平面与平面所成锐二面角为，20．【详解】（1）由题意得，，解得，故的方程为．（2）设，直线，联立，整理得：．由得，且，点到直线的距离，，令，故，故，当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为．21．【详解】（1）在图1连接交于点，在图2中，易知都是等边三角形，易得，又平面，可得平面；又直线平面，所以． 图1图2（2）解法一：假设存在点，符合题意．设，则，则在中，由由余弦定理得，由（1）得直线平面，又直线平面，平面平面平面作，垂足为，则平面，在，由所以图3如图3，取中点，连接，由得四边形为平行四边形，因为平面，所以平面，则直线与平面所成角为，且．由已知，即，由，得在中，设，由余弦定理得即，解得或所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或解法二（等体积法）：设，则，则在中，由，由余弦定理得，作，垂足为，连接，得由（1）得直线平面，又直线平面，，所以是直角三角形，所以的面积为设点到平面的距离为，由得，得，设直线与平面所成角为，则，所以所以，得，在中，设，由余弦定理得即，解得或所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或解法三（向量法）由解法一知，如图3，以的中点为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，因此，设平面的法向量为，，解得，令，则；即向量，设存在点，满足