巧解双曲线的离心率

巧解双曲线的离心率离心率是双曲线的重要性质，也是高考的热点。经常考查：求离心率的值，求离心率的取值范围，或由离心率求参数的值等。下面就介绍一下常见题型和巧解方法。1、求离心率的值（1）利用离心率公式，先求出，再求出值。（2）利用双曲线离心率公式的变形：，先整体求出，再求出值。例1已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________.分析：双曲线的渐近线方程为，由已知可得解答：由已知可得，再由，可得.（3）构造关于的齐次式，再转化成关于的一元二次方程，最后求出值，即“齐次化”。例如：例2设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为____________.分析：利用两条直线垂直建立等式，然后求解。解答：因为两条直线垂直，所以（负舍）2、求离心率的取值范围求离心率的取值范围关键是建立不等关系。（1）直接根据题意建立的不等关系求解的取值范围。例3若双曲线（），则双曲线离心率的取值范围是_________.分析：注意到的条件解答：（2）利用平面几何性质建立不等关系求解的取值范围。例4双曲线的两个焦点为，若为其上非顶点的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为__________.分析：由双曲线上非顶点的点和两个焦点构成三角形，利用三角形性质构建不等式。解答：因为，而，又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，所以。（3）利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解的取值范围。例5已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线离心率e的取值范围是__________.分析：此题和上题类似，但也可以换一种办法找不等关系。解答：由可得，又因为点P在双曲线的右支上，，即，所以.（4）运用数形结合思想建立不等关系求解的取值范围。例6双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是______分析：由直线和双曲线的位置关系得到不等关系解答：由图象可知渐近线斜率，再由。（5）运用函数思想求解的取值范围。例7设，则双曲线的离心率的取值范围是________.分析：把离心率表示成关于的函数，然后求函数的值域解答：把或表示成关于的函数，，然后用求函数值域的方法求解，。小结：通过以上例题，同学们应该体会到求离心率的值或取值范围有很多种办法，求值不一定非要先求出的值，能够得到中某两者的关系即可；求取值范围关键就是找到不等关系建立不等式，不等关系可以来自已知条件、可以来自图形特点、也可以来自双曲线本身的性质。总之，要认真审题、分析条件，巧解离心率。练习：（1）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解：设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2)，所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a，∴b2＝2a2，答案：B（2）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()．A．y＝±eq\f(1,4)xB．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)xD．y＝±x解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，又离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x.答案：C（3）双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是()．A.eq\r(5)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)图1解：如图1，由l2⊥PF1，l2∥PF2，可得PF1⊥PF2，则|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，图1设点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(b,a)m))，则eq\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)m))2)＝eq\f(c,a)m＝c，解得m＝a，即得点P的坐标为(a，b)，则由KPF2＝eq\f(b,a－c)＝－eq\f(b,a)，可得2a＝c，即e＝eq\f(c,a)＝2.答案：B（4）若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq\r(5)，则m的值为________．解：由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e＝eq\f(\r(m2＋m＋4),\r(m))＝eq\r(5)，所以m＝2.答案：2图2（5）如图2，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是___．图2A．3B．2 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解:设双曲线的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,1))－eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1，椭圆的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))＋eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，由于双曲线与椭圆有公共焦点且M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝eq\f(c,a1)，e2＝eq\f(c,a2)，所以eq\f(e1,e2)＝eq\f(a2,a1)＝2.答案：2（6）设点P在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．解：由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a又|PF1|＝4|PF2|，所以4|PF2|－|PF2|＝2a，|PF2|＝eq\f(2,3)a，|PF1|＝eq\f(8,3)a，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)a≥c＋a，,\f(2,3)a≥c－a，))整理得eq\f(5,3)a≥c，所以eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，即e≤eq\f(5,3)，又e＞1，所以1＜e≤eq\f(5,3).答案：（7）已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解：由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<eq\f(π,4)即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，则|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案：(1,2)（8）如图3，F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，求C的离心率.图3解：依题意，知直线F1B的方程为y＝eq\f(b,c)x＋b，图3联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,\f(x,a)－\f(y,b)＝0，))得点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)，\f(bc,c－a)))，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,\f(x,a)＋\f(y,b)＝0，))得点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ac,c＋a)，\f(bc,c＋a)))，所以PQ的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,b2)，\f(c2,b))).所以PQ的垂直平分线方程为y－eq\f(c2,b)＝－eq\f(c,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2c,b2))).令y＝0，得x＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))，所以ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))＝3c.所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)（9）双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．解：设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，∴x0＝eq\r(3)y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程，得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，∴x0＝eq\f(\r(3),2)c，∴点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(c,2)))，代入双曲线方程，得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，∴3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0，∵e＞1，∴e＝eq\r(2).∴双曲线的离心率为eq\r(2).答案：eq\r(2)（10）如图4，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.求①双曲线的离心率e；②菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值eq\f(S1,S2).图4解：①由题意可得a=eq\r(b2＋c2)＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e