第10讲 三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）（原卷版）

第10讲三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.二、全等三角形判定——“角角边”1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；【变式1】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角 B．角边角 C．边角边 D．角角边【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．【变式1】已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【变式2】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）（1）线段的长度就是A、B两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【变式4】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【变式5】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.【变式6】如图，已知，平分，且于点D，则________．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【变式】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B分别作、，垂足为E、F，求证：.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，，、分别平分、，与交于点O．（1）求的度数；（2）说明的理由．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.例7.已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.图4－4－29【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：，和线段a，求作，使，，．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【过关检测】一、单选题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（

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A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，平分，点是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点，连接，若，则的长度不可能是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（

）

A．4 B．6 C．8 D．105．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，，点是的中点，平分，且，则点到线段的最小距离为（）

A． B． C． D．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E在外部，点D在的边上，交于F，若，，则（

）．

A． B． C．D．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（

）

A． B． C． D．139．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（

）

A． B． C． D．不能确定二、填空题11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．

12．（2023春·广东揭阳·七年级期末）如图，在中，，AD平分，则的根据是______．

13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，，且，连接，于点，于点．若，，，则的长为________．14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为______米．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加一个条件，使，这个条件可以是______．（只需写一种情况）

16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．

17．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题：①如图1，若，，则____（填“”，“”或“”号）；②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是_________________．

18．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为______．

三、解答题19．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，过点C作，垂足为D．在射线上截取，过点E作，交的延长线于点F．

(1)求证：；(2)若，，求的长．20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A，C，D三点共线，和落在的同侧，，，．求证：．

21．（2022秋·八年级课时练习）已知和线段a（下图），用直尺和圆规作，使．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，请根据“ASA”作出，使．23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，已知，，，试说明：．

24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：，，．求证：．

25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．

(1)求证：；(2)若，，求的长度．26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，连接，，且．

(1)求证：；(2)若，，试求的长．27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．