高考数学第一轮复习5 第5讲　指数与指数函数

第5讲指数与指数函数课标要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．体会指数函数是一类重要的函数模型.在指数函数中，比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择、填空题，中档难度．核心素养：逻辑推理、直观想象、数学运算1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，（n为奇数且n∈N*，n>1）,x＝±\r(n,a)，（n为偶数且n∈N*）))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数常用结论1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过三个定点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2．y＝ax(a>0，且a≠1)的图象特征：如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小．3．当a>0且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的图象关于y轴对称．【小题自测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)eq\r(n,an)＝(eq\r(n,a))n＝a.()(2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)若实数a>0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq\f(1,2a3)C．(－2)0＝－1 D．(a－eq\f(1,4))4＝eq\f(1,a)解析：选D.对于D，(a－eq\f(1,4))4＝eq\f(1,a)，故D正确．3．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析：选C.由指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.4．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．答案：25．(忽视底数的范围致误)若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．解析：若a>1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)考点一指数幂的化简与求值(自主练透)1．化简4aeq\s\up6(\f(2,3))b－eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a－\f(1,3)b\s\up6(\f(2,3))))的结果为()A．－eq\f(2a,3b) B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b) D．－6ab解析：选C.原式＝4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))aeq\s\up6(\f(2,3))－(－eq\s\up6(\f(1,3)))·b－eq\s\up6(\f(1,3))－eq\s\up6(\f(2,3))＝－6ab－1＝－eq\f(6a,b).2．计算：－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋(0.002)－eq\f(1,2)＝________．解析：原式＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))eq\s\up12(－\f(1,2))＝－eq\f(4,9)＋eq\f(4,9)＋10eq\r(5)＝10eq\r(5).答案：10eq\r(5)3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(\r(（4ab－1）3),（0.1）－1·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)＝________．解析：原式＝eq\f(2·4\s\up6(\f(3,2))a\s\up6(\f(3,2))beq\s\up12(－\f(3,2)),10a\s\up6(\f(3,2))beq\s\up12(－\f(3,2)))＝eq\f(8,5).答案：eq\f(8,5)4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．解析：由f(a)＝3得2a＋2－a＝3，所以(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.答案：7指数幂的运算考点二指数函数的图象及应用(思维发散)(1)(巧用结论2、3)已知y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．【解析】(1)y2＝3x与y4＝10x在R上单调递增；y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)与y3＝10－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，在第一象限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．【答案】(1)A(2)(－∞，0]1．本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．答案：{0}∪[1，＋∞)2．若本例(2)的条件变为：若函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]与指数函数有关的图象问题的求解方法(1)数形结合：已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)变换作图：对于和指数型函数有关的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．【对点训练】1．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.2．已知函数y＝2|x＋a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．解析：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2|x＋a|＝2|－x＋a|.根据指数函数的单调性可知|x＋a|＝|－x＋a|，只有当a＝0时，等式恒成立．故a＝0.答案：0考点三指数函数的性质及应用(多维探究)考向1比较指数幂的大小(1)(2022·合肥第一次质量检测)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－\f(1,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up6(\f(1,5))，c＝logπ3，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b≥0C．a－b≤0 D．a＋b≥0【解析】(1)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(－\f(1,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up6(\f(1,4))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up6(\f(1,5))，因为指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))eq\s\up12(x)在R上单调递增，且eq\f(1,4)>eq\f(1,5)>0，所以a>b>1，又c＝logπ3<logππ＝1，所以a>b>c.(2)因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.【答案】(1)C(2)D比较指数幂大小的常用方法(1)单调性法：不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．(2)取中间值法：不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．(3)图象法：根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．考向2解简单的指数方程或不等式(1)若2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，则函数y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．【解析】(1)因为2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)＝24－2x，则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以eq\f(1,8)≤y≤2.(2)当a<1时，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；当a>1时，不成立应舍去．故a的值为eq\f(1,2).【答案】(1)B(2)eq\f(1,2)解决简单的指数方程或不等式问题的策略(1)af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)；(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x)．考向3研究指数型函数的性质(1)(2022·东北五校联合模拟考试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(|x|)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(－|x|)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(|－x|)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(－|－x|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(|x|)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，B.当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(x)－2021x，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))eq\s\up12(x)和函数y＝－2021x在(0，＋∞)上均单调递减，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故选D.(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．【答案】(1)D(2)(－∞，4]与指数函数有关的复合函数的单调性形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：若a>1，则函数f(x)的单调增(减)区间即为函数y＝af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，则函数f(x)的单调增(减)区间即为函数y＝af(x)的单调减(增)区间．即“同增异减”．[注意]当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论．【对点训练】1．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定解析：选A.由题意知a>1，所以f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由指数函数的单调性知a3>a2，所以f(－4)>f(1)．2．若函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(|x－2|)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选B.将原函数看成复合函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(u)，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．[A级基础练]1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析：选A.y＝1－e|x|的图象可由y＝e|x|的图象关于x轴对称得到y＝－e|x|的图象，再向上平移一个单位长度得到．故选A.2．下列函数中值域为正实数集的是()A．y＝－5x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1－x)C．y＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1) D．y＝3|x|解析：选B.A项中y<0，C项中y≥0，D项中y≥1，只有B项正确．3．(2022·扬州中学月考)幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa在(0，＋∞)上单调递增，则g(x)＝bx＋a＋1(b>1)的图象过定点()A．(1，1) B．(1，2)C．(－3，1) D．(－3，2)解析：选D.因为f(x)＝(a2－2a－2)xa是幂函数，所以a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1.当a＝3时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增；当a＝－1时，f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递减，故a＝3.此时g(x)＝bx＋3＋1，当x＝－3时，g(－3)＝2，则g(x)的图象过定点(－3，2)．4．下列不等关系正确的是()A．3－eq\f(2,3)<3－4<32 B．32<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up6(\f(1,3))<33C．2.60<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2.6)<22.6 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2.6)<2.60<22.6解析：选D.因为y＝2x在R上是增函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2.6)＝2－2.6<20＝2.60<22.6.5．已知函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)，则f(x)是()A．奇函数，且在R上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数，且在R上是减函数D．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.易知f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(1,e－x＋1)－eq\f(1,2)＝eq\f(ex,ex＋1)－eq\f(1,2)，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数．函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)显然在R上是减函数．6．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq\f(37,48)＝________．解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up6(\f(1,2))＋eq\f(1,0.12)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.答案：1007．已知函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．解析：因为f(x)＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)，且f(－2)>f(－3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以eq\f(1,a)>1，解得0<a<1.答案：(0，1)8．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在区间[－3，2]上的值域是________．解析：令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因为x∈[－3，2]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8)).故y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4).当t＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4)；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))9．已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f（x）)的奇偶性，并加以证明．解：(1)由题意得a2－2a－2＝1，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以f(x)＝3x.(2)F(x)是偶函数，证明如下：F(x)＝f(x)＋eq\f(1,f（x）)＝3x＋3－x，x∈R.因为F(－x)＝3－x＋3x＝F(x)，所以F(x)是偶函数．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(|x|－a).(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于eq\f(9,4)，求a的值．解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(t)，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(t)在R上是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是(0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是eq\f(9,4)，且eq\f(9,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)，由(1)得，当x＝0时，函数f(x)取最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－a)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)，所以a＝2.[B级综合练]11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3] B．[－3，0)C．[－3，－1] D．{－3}解析：选B.当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(a)，－1))，所以eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))[－8，1]，即－8≤－eq\f(1,2a)<－1，即－3≤a<0，所以实数a的取值范围是[－3，0)．12.函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较ab与ba的大小；(3)若(m＋4)－b<(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,4))＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(b)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,16)，,b＝\f(1,2)，))所以F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))\s\up12(x)，x≤\f(1,4)，,x\s\up6(\f(1,2))，x>\f(1,4).))(2)因为ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，ba＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,16))，指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,16))，即ab<ba.(3)由(m＋4)－eq\f(1,2)<(3－2m)－eq\f(1,2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋4>0，,3－2m>0，,m＋4>3－2m，))解得－eq\f(1,3)<m<eq\f(3,2)，所以m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(3,2))).13．已知函数y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交．(1)求该函数的解析式，并画出图象；(2)判断该函数的奇偶性和单调性．解：(1)因为函数y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b的图象过原点，所以0＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＋b，即a＋b＝0，所以b＝－a，函数y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－a＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(|x|)－1)).又0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)≤1，－1<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)－1≤0.且y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)＋b无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，所以a