机电系统计算机控制技术

第二章

机电系统的数学模型2.1 常用的传感器和执行器传感器：将被测物理量（如力、位移、温度等）转换为与之相对应的、容易检测、传输或处理的信号的装置，称之为传感器，也叫变换器、换能器或探测器。检测信号信号变换执行器：将各种形式的能量转变为机械动作，从而去控制对象，也称为执行元件。机械驱动器接口计算机接口传感器信号处理执行器+-表2.1 机电系统中常用传感器

类型名称被测量变换量应用举例机械式测力环力位移测力仪弹簧力位移弹簧称双金属片温度位移温度计微型开关物体位置位移

类型名称被测量变换量应用举例

电磁及电子式电位器

位移

电阻直线电位器电阻应变片力、位移、应变电阻应变仪电感力、位移自感电感测微仪差动电感变压器力、位移互感电感比较仪电涡流位移、测厚自感涡流式测振仪电容力、位移电容电容测微仪压电元件力、加速度电荷测力仪、加速度仪压磁元件力、扭矩磁导率测力仪热电偶温度电势热电温度计霍尔元件位移电势位移传感器热敏电阻温度电阻半导体温度计光敏电阻开、关量电阻

气敏电阻可燃气体温度气敏检测仪光敏晶体管位移、转速电流光电转速仪表2.1机电系统中常用传感器类型名称被测量变换量应用举例流体式气动物体尺寸、距离压力气动测量仪液体压力压力平衡活塞压力计液体流量液体静压变化节流式流量计液体流量流体阻力变化转子式流量计表2.1 机电系统中常用传感器表2.1 机电系统中常用传感器表2.1 机电系统中常用传感器光电编码器

——码盘式角度数字检测元件绝对光电编码器增量式光电编码器：结构简单、价格低、而且精度易于保证，采用最多，可以测量轴的转速结构窄缝圆盘：刻有节距相等的辐射状窄缝光电变换器：两组检测窄缝，其节距与圆盘的节距相同。两组检测窄缝错开l／4节距，其目的是使A，B两个光电转换器的输出信号在相位上相差90度，用以判断转动方向。光源透镜增量编码器光栅尺结构特点：由尺光栅和指示光栅组成光刻密度相同，通常为25，50，100，250条/毫米。刻线相互倾斜一个很小的角度，在指示光栅上构成莫尔条纹。莫尔条纹起放大作用。莫尔条纹——条纹宽度

——

栅距

——

光栅条纹间夹角 光栅移动时产生的条纹明暗信号被光电元件接收，变成光栅位移量的测量脉冲。2.1.2 执行器电气式：步进电机、直流伺服电机、交流伺服电机液压式：液压油缸、油马达及其控制阀（电磁阀）气动式：气动油缸，电磁阀、气动阀步进电机步进电机又称为脉冲电机，是一种将电脉冲信号转换为相应的角位移或直线位移的机电执行元件，即每输入一个控制脉冲，电动机输出轴就转过一步(走一步)。步进电机输出轴的角位移或线位移量与输入脉冲数成正比，其转速或线速度与输入脉冲频率成正比。步进电机的种类及优点优点：不需要反馈就能对位移或速度进行精确控制；输出的转角或位移精度高，无累积误差；控制系统结构简单，与数字设备兼容，价格便宜。

种类：反应式步进电机永磁式步进电机混合式步进电机特种步进电机伺服电动机直流伺服电动机：良好的调速特性和较大的启动转矩，相对功率大及快速响应等优点，需要经常的维护和保养。交流伺服电动机：结构简单（无电刷和转向器），价格便宜，维护工作量小，重量轻，是一种理想的执行元件。在交流电机能满足生产需要的场合，随着变频调速技术的进步，交流电机的调速控制在大功率、高电压、高精度、快响应等领域中的应用取得更大进展，已逐步取代直流电机在生产上的应用。直流伺服电机转速：与电枢电压成正比转向：由电枢电压极性决定2.2微分方程式的建立建立系统微分方程式的一般步骤典型元件1.建立系统微分方程式的一般步骤分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划分为若干个环节（或元件），确定每一环节的输入信号和输出信号。根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，按照信号的传递顺序，列出各个元件描述输出信号和输入信号相互关系的动态方程式，一般为微分方程组；消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的微分方程式，即系统的数学模型；将方程式化为标准形式，即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号的左边，并且各导数项要按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。2.典型元件典型元件典型元件网络方程——元件连接原则电气系统基尔霍夫电压定理基尔霍夫电流定理机械系统空间连续律达朗贝尔静力平衡原理例2.1机械平移系统设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图2.1所示，列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式（不计重力）。解：根据牛顿第二定律可得则系统的方程为:上式经整理，可得系统的微分方程为:例2.2机械转动系统已知机械转动系统如图2.2所示，系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成。系统的输入以外力矩M，系统的输出为角速度ω。试列出系统运动方程式。解:

对这样的系统，牛顿第二定律可以表示为式中J为惯性负载的转动惯量，ω为角速度，M为外加到系统的转动力矩。代入元件方程，可得上式也可写成若系统的输出为转角θ，因为ω=dθ/dt，代入方程得例2.3

电气系统设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图2.3所示。试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程式。解:

根据基尔霍夫定律写出电路方程消去中间变量

I得输入-输出的运动方程式其中亦即机电系统的相似性例2.1例2.3

不同的系统，其数学模型均为二阶微分方程，即相似的数学模型。亦即是说各物理系统的特性参数间也存在着一定的运动相似性。机电系统的相似性电网络机械网络电流i电感L电阻R阻尼1/b弹簧k力F电网络机械网络电容C质量m电压v电感L电阻R阻尼b弹簧1/k力F电容C质量m机电系统方程机械驱动力电磁场力MM=例2.4

天线方位角伺服系统如图2.4所示，试列出以电枢电压ua为输入信号，跟踪卫星的天线的方位角θ为输出信号的运动方程式。

图2.4天线方位角伺服系统解：

例2.4

ua—电动机的电枢电压（V）em—电动机的反电势（V）Ia

—电动机的电枢电流（A）Ra—电枢绕组的电阻（Ω）La—电枢绕组的电感（H）ω——电动机轴的转速（rad/s）符号定义：例2.4ke——反电动势系数V/rad/s）

Ja

——电动机转子的转动惯量（kg·m2）b——阻尼系数（N·m/rad/s）Ma——电动机的电磁转矩（N·m）Md——风力产生的阻力矩（N·m）kc——电机转矩系数（N·m/A）例2.4

1．

电网络平衡方程2．

机械平衡方程其中3.系统方程

工程简化：电动机电枢电感La通常比较小，因此可以忽略La；在工程实践中，

和

可作为干扰信号来处理输入为电枢电压ua，输出为天线旋转角速度的二阶微分方程为：例2.4

如果设

，，则可得到一阶线性微分方程为：

若以电动机转角为输出，即，则上式可改写为：如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻Ra忽略不计，则方程变为：此时电枢电压ua与电机的转速成正比，这就是测速发电机的原理。例2.4

令：电动机放大系数机电时间常数则天线方位角伺服系统的运动微分方程式:或:例2.4

2.3用拉普拉斯变换求解

线性微分方程

拉普拉斯变换是对系统进行分析、建模和设计的基本数学工具，它是求解线性微分方程的简捷工具，同时也是建立系统传递函数的数学基础。

1拉普拉斯变换的定义

如果一个以时间t为自变量的函数f（t），它的定义域是t

0，那么，拉普拉斯变换为式中：s为复数，是实数

是角频率（rad/s）L为运算符号，称为拉普拉斯变换算子F（s）为函数f（t）的拉普拉斯变换2常用函数的拉氏变换

常用函数的拉氏变换3拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理时域函数在频域中表示有两个优点：简化了函数：例如指数函数和正、余弦函数都是时域中的超越函数，在频域中成为有理函数表示；简化了运算：如时域函数的卷积在频域中成为频域函数的乘积。4

求拉普拉斯反变换

拉氏反变换的表达式为用上式求拉氏反变换，计算复杂，一般很少采用。通常采用的方法是利用部分分式展开，然后查拉氏变换表，求出函数。部分分式展开法求拉普拉斯反变换微分方程式的拉普拉斯变换是s的有理分式，可以表示成在复变函数理论中，分母多项式所对应的方程查表2.3，可以确定的各分解式的反变换为称为极点。这样也可以表示为所有的解5用拉普拉斯变换求解线性微分方程

应用拉氏变换求解线性微分方程的一般步骤是：

（1）

对微分方程两边进行拉氏变换，变微分方程为代数方程。

（2）

将给定的初始条件和输入信号代入方程，求解代数方程，得到微分方程在S域的解。

（3）

作拉氏反变换求得微分方程的时间解。

例2.11

已知条件为：求解例2.1所述弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式例2.11首先，对方程两边进行拉氏变换，得整理后得：解：例2.11将初始条件代入方程，可得：用部分分式展开对上式进行反变换，则上式即为该机械平移系统运动方程式的解，即系统的输出动态响应。传递函数是经典控制理论中一个很重要的数学模型。它是在用拉氏变换方法求解微分方程过程中引出的一种外部描述数学模型。它表达了系统输入量与输出量之间的传递关系。它只与系统本身的结构和特征参数有关，而与输入量无关。利用传递函数不必求解微分方程，就可以研究初始条件为零的系统在输入信号作用下的动态过程。利用传递函数可给系统的性能分析带来方便;也可把对系统性能的要求转换为对传递函数的要求，从而给系统的设计提供简捷的方法。2.4传递函数和方框图1传递函数的定义

对于一个线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号的拉普拉斯变换Y（s）与输入信号的拉普拉斯变换R（s）之比，称为该系统的传递函数。例2.6解:

已知该系统的微分方程式为

设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得由定义可得该机械平移系统的传递函数为求如图2.1所示机械平移系统的传递函数。例2.8解:

已知该系统的微分方程式为

设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得设由定义可得该伺服系统的传递函数为求如图2.4所示天线方位角伺服系统的传递函数。

求取传递函数的一般方法描述线性定常系统（或元件）的微分方程为令系统的初始条件为零，对上式两边取拉氏变换得则系统的传递函数为:特征多项式系统的阶次系统的特征方程的根系统的特征根或极点通常求取传递函数的一般方法MATLAB中数学模型的表达方法传递函数模型

在MATLAB里，可直接用分子/分母多项式系数构成的两个向量num与den来表示系统，即其中例2.6m=1;b=0.5;k=1;num=[1];den=[m，b，k];G=tf(num，den)零极点增益模型

用系统的零点、极点及增益向量z、p、k

来表示系统的数学模型。调用格式为：例2.8a=1;b=1;z=[];p=[0，-1/a];k=b/a;G=zpk(z，p，k)数学模型的相互转换m=1;b=0.5;k=1;num=[1];den=[m，b，k];G=tf(num，den)Gzpk=zpk(G)2动态结构图方框图——线图方式的数学模型，是系统的每个元件或子系统的功能和信号流向的图形表示，可以用来描述控制系统的系统结构关系。表示方法：表2.4方框图表示方法

方框图简化需要遵循一定的基本原则，即简化前后的数学关系不变，保证前向通道传递函数的乘积不变，回路传递函数的乘积不变。表2.5

方框图的简化表2.5

方框图的简化用MATLAB进行方框图模型的化简例2.9

解编程如下：

num1=[0.1，1];den1=[0.4];sys1=tf(num1，den1);

num2=[15];den2=[0.054，1];sys2=tf(num2，den2);

num3=[1.5];den3=[0.12，1];sys3=tf(num3，den3);

sys123=sys1*sys2*sys3

运行结果所以系统等效传递函数为

Transferfunction:2.25s+22.5---------------------------------0.002592s^3+0.0696s^2+0.4s已知某系统前向通道三个模块的传递函数分别为。试求串联连接的等效传递函数例2.10解编程如下

num1=[3];den1=[1，1];sys1=tf(num1，den1);

num2=[6，10];den2=[1，2，1];sys2=tf(num2，den2);

sys=sys1+sys2;num=sys.num{1}

den=sys.den{1}

运行结果所以系统的等效传递函数为

num=092213den=1331已知两子系统传递函数分别为：试求两系统并联连接的等效传递函数的num与den向量。3.方框图的传递函数典型的闭环控制系统如图2.6所示。前向通道传递函数

（1）系统的开环传递函数在扰动信号N(s)=0时，系统的开环传递函数为：即如图所示：（2）系统的闭环传递函数当N(s)=0时，系统的闭环传递函数为：由得单位负反馈系统所以（3）系统的误差(偏差)传递函数

以误差（偏差）信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或者扰动量N(s)为输入量的闭环传递函数称为误差（偏差）传递函数。 它是闭环系统的另一个重要的关系式，在进行系统的误差分析是很有用。当N(s)=0时，误差（偏差）信号E(s)对于控制信号R(s)的闭环传递函数。令R(s)=0时，误差（偏差）信号E(s)对于扰动信号N(s)的闭环传递函数。a.误差信号E(s)

对于控制信号R(s)

的闭环传递函数由得b.误差信号E(s)对于扰动信号N(s)的闭环传递函数得c.控制信号R(s)和扰动信号N(s)共同作用时由叠加原理，得得（4）系统的扰动传递函数HN(s)在R(s)=0时，系统方框图等效变换（5）

R(s)和N(s)共同作用下系统的输出Y(s)R(s)和N(s)同时作用时，由线性叠加原理知系统的总输出Y(s)为：2.5状态空间分析法

随着科学技术的发展，特别是空间技术的发展，对控制系统提出了更高的要求：控制方式更加复杂；控制精度更高；可能具有多输入量多输出量；可能是时变系统现代控制理论：以线性代数和微分方程为主要数学工具；采用状态空间模型描述方法，完全表达系统的全部状态与性能。状态空间模型是现代控制理论的基础。状态变量法通常使用一阶矩阵向量微分方程来描述。使描述系统的数学表达式简捷明了、方便高效，且易于计算机求解，同时也为多变量系统与时变系统的分析与研究提供有力的工具。1.状态空间分析法的基本概念状态状态变量状态向量状态空间状态方程输出方程状态空间表达式a).状态

状态是系统中一些信息的集合，是描述系统的最小一组变量。或者说，是确定系统状态的个数最少的一组变量，只要知道了在t=t0时的一组变量和t

t0时的输入量，就能够完全确定系统在任何时间t

t0时的行为。b).状态变量

系统的状态变量是确定系统状态的最小一组变量。如果以最少的n个变量就能够完全描述系统的行为（即当t

t0时输入量和在t=t0时的初始状态给定后，系统的状态将完全可以被确定），那么这样的n个变量就是系统的一组状态变量。状态变量未必是物理上可测量的或可观察的量。某些不代表物理量的变量既不能测量，又不能观察，但是却可以被选作状态变量。这种在选择状态变量方面的自由性，是状态空间法的一个优点。但实际上还是常常选择容易观测的量作为状态变量，以便对系统进行分析、设计和检验。c).状态向量

如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么可将这些状态变量看作是向量x（t）的各个分量，该向量就称为状态向量。

d).状态空间以各状态变量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。任何状态都可以用状态空间中的一点来表示。

e).状态方程描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态的变化，即系统的内部描述。f).输出方程描述系统输出变量与输入变量及状态变量之间函数关系的代数方程，称为输出方程。输出方程表征了系统内部状态的变化和输入所引起系统输出的变化，它是一个变换过程，即系统的外部描述。g).状态空间表达式系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态空间表达式，又叫做动态方程。状态空间表达式反映了控制系统的全部信息，是对系统的完全描述。2线性系统的状态空间表达式设系统的r个输入变量为u1(t)，u2(t)，…，ur(t)；m个输出变量y1(t)，y2(t)，…，ym(t)；系统有n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)

。状态方程输出方程状态空间表达式写成矩阵形式为状态方程输出方程或

状态空间表达式各参量的物理含义n

1维状态向量r

1维控制向量m

1维输出向量n

n维系统矩阵表示系统内部各状态变量之间的关系n

r维输入矩阵表示输入对每个状态变量的作用情况m

n维输出矩阵表示输出与状态变量的组成关系m

r维前馈矩阵表示输入对输出的直接传输关系状态空间表达式各参量的物理含义若是线性定常系统，则A，B，C，D均为常数矩阵；若是时变系统，则A，B，C，D的元素有些或全部是时间的函数。若不考虑直接传输，则一般表达式为3状态空间表达式的建立选择状态变量。条件：-相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；-充分，即完全决定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数。选择状态变量一般有三条途径：-选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；-选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量；-选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程。消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入变量的关系式即输出变量与各状态变量、输入变量的关系式。将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。例2.11

解:

该系统有两个储能元件（质量和弹簧），选取两个状态变量 由例2.1分析可知将上式整理成状态方程建立如图2.1所示系统的状态空间表达式或其中系统的输出方程为将上面的状态空间表达式写成矩阵形式例2.11 例2.12

解:

系统有两个独立的储能元件(电容C和电感L)，选取电容电压uo(t)和电感电流i(t)作为状态变量，即将系统微分方程整理成状态方程系统的输出方程为建立如图2.3所示系统的状态空间表达式。 上例表明：系统状态变量的选取不是唯一的，对同一个系统可选取不同组的状态变量，但不管如何选择，状态变量的个数是唯一的，必须等于系统的阶数，即系统中独立储能元件的个数。上例也可选择电感电流i(t)和电容电荷qc(t)作为状态变量，即则可得系统的状态空间表达式的另一种表达结果为例2.12

4状态空间分析的MATLAB实现 状态空间表达式与微分方程、方框图和传递函数之间可以相互转换。因此，控制系统状态空间表达式的建立主要有三种方法：直接根据控制系统的工作原理建立相应的微分方程（连续系统）或差分方程（离散系统），再将其整理、规范化而得，如上节所述；由控制系统的方框图建立系统状态空间表达式；由已知系统的某种数学模型转化而来。 本节主要介绍如何用MATLAB完成第三种方法的求解。

MATLAB中的函数MATLAB中，用函数命令tf()——建立控制系统的传递函数模型，或者将零极点模型或者状态空间模型转换为传递函数模型；函数zpk()——建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型；函数ss()——建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统的状态空间模型。ss()函数的调用格式为：sys=ss（a，b，c，d）函数输入参量a，b，c，d分别对应于系统的A，B，C，D参数矩阵。已知连续系统的传递函数模型为例2.14