二次函数二次函数的图象与性质二次函数y=axbxc的图象与性质件华东师大

xx年xx月xx日二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质CATALOGUE目录二次函数的图象二次函数的性质二次函数的应用二次函数的作图方法二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次不等式的关系01二次函数的图象03当a<0时，开口向下。开口方向与a的关系01总结词：二次函数的开口方向取决于a的值。02当a>0时，开口向上。总结词：对称轴是y轴。对称轴为x=-b/2a。函数图象的对称轴顶点坐标和对称轴总结词：顶点坐标是(-b/2a,f(-b/2a))。对称轴为x=-b/2a。顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。与x轴交点位置总结词：二次函数与x轴交点位置取决于c的值。当c<0时，没有交点在x轴上。当c>0时，有两个交点在x轴上。当c=0时，有一个交点在原点。02二次函数的性质VSa>0时，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-b/2a，在区间(-∞,-b/2a)上单调递减，在区间(-b/2a,∞)上单调递增。a<0时，二次函数的图象开口向下，对称轴为x=-b/2a，在区间(-∞,-b/2a)上单调递增，在区间(-b/2a,∞)上单调递减。增减性与a的关系1极值点处的导数值23在极值点处，即x=-b/2a处，二次函数的导数值为0，即y'=0。当a>0时，极值点处左侧导数小于0，右侧导数大于0，函数在此处取得极小值。当a<0时，极值点处左侧导数大于0，右侧导数小于0，函数在此处取得极大值。当a>0时，二次函数在区间(-∞,-b/2a]上单调递减，在区间[-b/2a,∞)上单调递增。当a<0时，二次函数在区间(-∞,-b/2a]上单调递增，在区间[-b/2a,∞)上单调递减。单调性及区间a>0时，二次函数的图象是凸函数，即函数曲线向上凸起。a<0时，二次函数的图象是凹函数，即函数曲线向下凹入。凸凹性与a的关系03二次函数的应用求解最值问题当a>0时，函数存在最小值，当a<0时，函数存在最大值。最值可以通过顶点坐标公式或者配方法求解。找到二次函数在定义域内的最大值或最小值。找到二次函数在某区间内的极值点。求解极值问题极值点可能是极大值点或极小值点，需要代入原函数验证。导数法：求出函数的导数，找到导数为0的点，这些点即为极值点。求解方程根的问题通过二次函数的图象找到方程根的近似值。二分法：通过观察函数的单调性和取值范围，不断缩小区间范围，最终找到近似解。迭代法：通过迭代公式不断逼近解，直至满足精度要求。01020304二次函数的作图方法03连接曲线使用平滑的曲线将各个离散点连接起来，形成二次函数的图象。描点法作图01确定函数定义域根据函数解析式，确定函数的定义域，并列出离散点组成的坐标系。02描点在坐标系中描出各个离散点的位置，注意要描出足够的点以平滑地连接曲线。沿x轴平移将函数图象沿x轴正方向平移，平移量为$\Deltax$，函数解析式变为$y=a(x-\Deltax)^2+b(x-\Deltax)+c$。图象平移变换沿y轴平移将函数图象沿y轴正方向平移，平移量为$\Deltay$，函数解析式变为$y=a(x)^2+b(x)+c+\Deltay$。综合平移将函数图象沿x、y轴同时平移，平移量分别为$\Deltax,\Deltay$，函数解析式变为$y=a(x-\Deltax)^2+b(x-\Deltax)+c+\Deltay$。关于x轴对称01将函数图象沿x轴翻折，得到关于x轴对称的函数图象，函数解析式变为$y=-a(x)^2-b(x)-c$。翻折变换作图关于y轴对称02将函数图象沿y轴翻折，得到关于y轴对称的函数图象，函数解析式变为$y=a(x)^2-b(x)-c$。关于原点对称03将函数图象沿原点翻折，得到关于原点对称的函数图象，函数解析式变为$y=-a(x)^2+b(x)+c$。05二次函数与一元二次方程的关系二次方程求解问题通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解得到二次方程的解。配方法利用因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求解得到二次方程的解。因式分解法一元二次方程根的分布情况与判别式有直接关系，通过判断判别式的符号可以确定方程根的分布情况。一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系，如根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，根之积等于常数项除以二次项系数。判别式与根的关系根与系数的关系一元二次方程根的分布问题分离常数法将一元二次不等式转化为一次不等式，需要用到分离常数法。图像法利用一元二次函数图像和一元二次不等式的关系，可以直观地求解一元二次不等式的解集。一元二次不等式的解法问题06二次函数与一元二次不等式的关系对于形如ax^2+bx+c>0的不等式，需要根据a的值分为大根和小根两种情况讨论，求解较为复杂。含参数的一元二次不等式对于形如x^2-6x+8<0的不等式，可以利用求根公式直接求解。不含参数的一元二次不等式一元二次不等式的解法问题利用二次函数图象判断不等式的解通过观察开口方向、对称轴和判别式来判断不等式的解。利用数形结合思想解题将一元二次不等式问题转化为数形结合问题，通过观察图形求解。利用二次函数图象求解一元二次不等式问题