第1章 反比例函数（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

第1章反比例函数（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021·浙江温州·一模）已知双曲线y=(k≠0)上有一点A（a，a-7），将点A先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点A′，点A′恰好也落在双曲线上，则此双曲线的解析式为（）A． B． C． D．2．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期末）函数与的图像交点横坐标可由方程求得，由此推断：方程中m的大致范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年级期末）设反比例函数，当x＝p，q，r（）时，对应的函数值分别为P，Q，R，若，则必有（

）．A． B． C． D．4．（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，在第一象限内，点A是一次函数图象上一动点，点B，C的坐标分别是，，若反比例函数和的图象分别经过点A，D，则下列代数式的值为定值的是（

）

A． B． C． D．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中，过点O的直线交反比例函数的图象于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴于点C，连结并延长，交反比例函数图象于点D，连结，将沿线段所在的直线翻折，得到，与交于点E．若点D的横坐标为2，则的长是（）A． B． C． D．16．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）如图1，在中，，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，设的面积为；如图2，在中，，在轴上，且，点在反比例函数的图象上，设的面积为，则的值为（

）A． B．5 C． D．7．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数进行探索.下列结论：①图像在第一、三象现；②图像与y轴无交点；③图像与x轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当时，y随x增大而增大，其中正确的结论是（

）A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．③④⑤8．（2023春·全国·八年级专题练习）已知反比例函数y=和正比例函数y=的图像交于点M，N，动点P(m，0)在x轴上.若△PMN为锐角三角形，则m的取值为(

)A．-2＜m＜且m≠0 B．-＜m＜且m≠0C．-＜m＜-或＜m＜ D．-2＜m＜-或＜m＜29．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（

）A．10 B．8 C．9 D．10．（2023·江苏·八年级假期作业）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（

）A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）将反比例函数的图象向右平移两个单位，得到新函数的图象与轴交于点，则点的坐标是．12．（2021·上海·统考二模）我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A（2，4）与点B是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B之间的距离是．13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，点，正方形ABCD的中心为点M．点E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD边上，且四边形EFGH是正方形．已知反比例函数的图象经过点M，H．（1）反比例函数的解析式为：；（2）图中阴影部分的面积是：．14．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，，是反比例函数的图象上的两点，点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点，过点P作轴于M，交线段于Q．设点M横坐标为x，则面积的最大值为，此时．

15．（2023·浙江温州·校考三模）如图，坐标平面内正方形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，过正方形内一点P分别作轴，轴，点E、F、D、G在正方形的边上，且有．过点P的反比例函数与AB交于点H，已知，连接、，则图中阴影部分的面积为．

16．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是．17．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，直线交反比例函数的图象于两点（点在第一象限，且点在点的左侧），交轴于点，交轴于点，连接并延长交该反比例函数图象的另一支于点，连接交轴于点，连接，且．

（1）若，则．（2）若，则的值为．18．（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·上海静安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于点A和点B，的平分线交于点C，点C坐标，点P与点B关于点C对称．

(1)求m的值；(2)求图像经过点P的反比例函数解析式；(3)已知点D是坐标平面内一点，如果四边形是平行四边形，那么点D的坐标是______．（请将点D的坐标直接填写在空格内）20．（8分）（2023秋·九年级课时练习）已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)当时，直接写出y的取值范围；(3)若经过的直线与y轴交于点C，求的面积．21．（10分）（2023春·四川资阳·八年级统考期末）如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．

(1)当时，求点的坐标；(2)当时，求的值；(3)是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．（10分）（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数的图像与一个反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，AB=3．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线AB上是否存在点C，使点C到直线OA的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)已知点P在直线AB上，如果△AOP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．23．（10分）（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）已知直线上点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，若是的中点，且四边形的面积为．(1)求的值；(2)若，是双曲线第一象限上的任一点，求证：为常数.(3)现在双曲线上选一处建一座码头，向，，，两地转运货物，经测算，从到，从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？提示：利用的结论转化)24．（12分）（2023·山东济南·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)点是轴正半轴上的动点，连接、；①求的最小值；②点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．参考答案1．D【分析】先求出点A（a，a-7）向左平移6个单位，再向上平移9个单位后点A′的坐标，再根据点A、A′都在双曲线上列出方程，求解即可．解：∵将点A（a，a-7）先向左平移6个单位，再向上平移9个单位，得到点A′，∴点A′（a-6，a-7+9），即A′（a-6，a+2），∵点A、A′都在双曲线y=(k≠0)，∴a（a-7）=（a-6）（a+2），解得a=4，∴k=4×（4-7）=-12，∴此双曲线的解析式为y=-．故选：D．【点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，列出关于a的方程是解题的关键．2．A【分析】作作函数y=x2+1与函数y=-图象，观察交点横坐标即可得答案．解：作函数y=x2+1与函数y=-图象如下：根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-2<xM<-1，即m2+2=−中m的大致范围是-2<m<-1，故选：A．【点拨】此题主要考查了二次函数和反比例函数图象，解决本题的关键是准确画出图象，数形结合解决问题．3．A【分析】根据反比例函数的性质判断即可．解：∵a2＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，由题意可知，p＜0，0＜q＜r或p＜q＜r＜0，∴P＜0＜R＜Q或0＞P＞Q＞R，故选：A．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．4．D【分析】设点A的坐标为，根据平行四边形边的性质可表示出点D的坐标为，从而表示出，，因此可判断各选项．【详解】∵点A是一次函数图象上一动点∴设点A的坐标为∵在中，，即可以看做由平移得到∵，∴点D的坐标为∵反比例函数和的图象分别经过点，∴，∴A选项：，不是定值；B选项：，不是定值；C选项：，不是定值；D选项：由于，，，是定值．故选：D【点拨】本题考查求反比例函数的比例系数k，二次根式的化简，设点A的坐标，表示出点D的坐标是解题的关键．5．B【分析】求出直线，的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，利用两点间距离公式，进行求解即可．解：设点A的坐标为，则点B的坐标为∵轴，∴，设直线的解析式为，把代入，得，解得：，∴，∵点D的横坐标为，∴把点代入得：(舍)，∴，直线的解析式为：，∵将沿线段所在的直线翻折，得到，∴点的坐标为，设直线的解析式为，把，代入可得：解得：，∴，联立，解得：，∴，∴．故选：B．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数综合应用．熟练掌握旋转的性质，正确的求出一次函数的解析式，是解题的关键．6．A【分析】根据题意可求得点，进而可求得，设点，则点，，可设点，进而可求得，即可求得.【详解】∵图1在中，，∴设点代入得：，解得：，∴；∵如图2，在中，，在轴上，且，点在反比例函数的图象上，∴点A在线段的中垂线上，∴设点，则点，设点，∴，∴，∴，故选：A.【点拨】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的解析式求点的坐标是解题的关键7．C【分析】①分，、、找出y的正负，由此可得出函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②由在分母上可得出，函数图象与轴无交点，②正确；③由当时，，可得出函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，根据函数图象上点的坐标特征可得出点在函数的图象上，即图象关于原点成中心对称，④正确；⑤利用作差法确定当时，随的增大而增大，⑤正确．综上即可得出结论．解：①当时，，图象在第三象限；当时，，图象在第二象限；当时，，图象在第四象限；当时，，图象在第一象限．∴函数图象经过第一、二、三、四象限，①错误；②∵为分母，∴，∴函数图象与轴无交点，②正确；③当时，，∴函数图象与轴的交点坐标为、，③错误；④设点（）为函数图象上任意一点，则，，∴点在函数的图象上，∴图象关于原点成中心对称，④正确；⑤当时，设，则即：当，∴当时，随的增大而增大，⑤正确．综上所述：正确的结论有②④⑤．故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．8．C【分析】将两个函数联立求解可确定点M、N的坐标，然后由锐角三角形的判定及勾股定理分类讨论求解即可得出取值范围．解：正比例函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，即，解得，，假设M(2,1)，N(-2,-1)，当时，∵，，，∴，∴，，当时，,∴，当时，,∴，综上，或．故选C【点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数，锐角三角形的判定，熟练运用反比例函数和正比例函数的性质，熟练拓展勾股定理的逆定理，是解决本题的关键．9．A【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图像的性质即可解答．解：设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE∴OA=t，AD=a∵OA2-AD2=20∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10∵点D在反比例函数的图像上，∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10．故选A．【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键．10．C【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项．【详解】对于A，由题意可得，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故A正确，对于B，当时，，解得，故，当时，，解得，故，综上所述，，若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确，对于C，当时，，当时，，故C错误，对于D，∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴有最小值，∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．故选C【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．11．【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律得到新函数的解析式，然后令x=0，求得y的值即可求得P的坐标．解：将反比例函数y=-的图象向右平移两个单位，得到y=-，当x=0时，y=1，∴P(0,1)，故答案为：(0,1)．【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．12．【分析】根据题意，结合反比例函数和轴对称的性质，得出B的坐标，然后根据勾股定理即可求得点A、B之间的距离，即可完成求解．【详解】由题意可知，点B与点A关于直线y=x对称，∵点A（2，4），∴点B（4，2），∴，故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数、轴对称、直角坐标系、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，从而完成求解．13．30【分析】（1）由D点坐标可知正方形的边长，求出C点坐标，再根据A点和C点坐标求出M点坐标，代入即可求出反比例函数的解析式；（2）将H点的纵坐标代入反比例函数解析式，得到H点坐标，求出DH和CH，通过AAS证明，得到，计算出的面积，同理证明四个小三角形全等，所以阴影部分面积为面积的4倍．解：（1）正方形ABCD中，，，，B点的横坐标为：8-2=6，，，正方形ABCD的中心为点M，M点是AC的中点，M点的坐标为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为；故答案为：．（2）设，代入反比例函数解析式得，解得，，，四边形EFGH是正方形，，，，，，（AAS）同理可证，，组成阴影部分的四个三角形全等，图中阴影部分的面积．故答案为：30．【点拨】本题考查正方形的性质、待定系数法求反比例函数关系式、全等三角形的判定等知识点，解题关键是通过A点和C点坐标求出M点坐标．14．/0.52【分析】设的解析式为，把，代入解得，根据题意，得，，，那么，即可面积的最大值以及此时x值．解：设的解析式为，把，代入，得，解得，即的解析式为，因为点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点，过点P作轴于M，交线段于Q，设点M横坐标为x，则，，，那么，即，因为因为点P是反比例函数的图象位于线段下方的一动点，所以，因为，所以那么，当时，式子有最大值，且为，所以则面积的最大值为，此时，故答案为：，2【点拨】本题主要考查的是三角形面积、反比例函数以及一次函数等知识内容，对式子进行正确整理成是解题的关键．15．35【分析】先根据反比例函数的解析式可得，设，则，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于即可得．解：对于反比例函数，当时，，，正方形是正方形，轴，轴，，四边形和四边形都是矩形，四边形和四边形都是正方形，，，设，则，，将点代入得：，图中阴影部分的面积为，故答案为：35．【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．16．【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．解：∵四边形是矩形，∴，设正方形的边长为m，∴，∵，∴，∴，，设反比例函数的表达式为，∴，解得或（不合题意，舍去），∴，∴，∴这个反比例函数的表达式是，故答案为：．【点拨】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义．17．10【分析】（1）作轴于，轴于，则，从而得到，由可得，设的横坐标为，则的坐标为，，从而可得的坐标为，进而可得，由，进行计算即可得到答案；（2）设点坐标为，则点坐标为，的坐标为，用待定系数法求出直线为：，从而得到，由，进行计算即可得到答案．解：作轴于，轴于，

，则，，，，（1）设的横坐标为，则的坐标为，，，的坐标为，，，，，故答案为：；（2）设点坐标为，则点坐标为，为关于原点的对称点，的坐标为，设直线为：，，解得：，直线为：，当时，，，，，故答案为：10．【点拨】本题考查了平行线成比例的性质、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、点关于原点对称的性质，熟练掌握平行线成比例的性质、反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、点关于原点对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．18．/【分析】设点，，，，根据正方形的性质找到a、b之间的等量关系；m、n之间的等量关系．再根据正方形面积公式求解即可．解：设点，，，，那么∵四边形为正方形，∴，解得，∴．∵四边形为正方形，∴，由①，得③，把③代入②并整理，得，解得：（不符合题意，舍去）；．∴，∴．故答案为：．【点拨】此题考查了反比例函数的性质和正方形的性质，解题的关键是熟练运用上述知识，数形结合找出等量关系．19．(1)3(2)(3)【分析】（1）过点C作与点M，证明得出，再根据边长之间的关系利用勾股定理即可得到答案；（2）点P与点B关于点C对称，据此可求出，代入反比例函数中即可求得解析式；（3）根据题意求出平行四边形四条边长所在的直线方程，然后求直线和直线的交点坐标即可．【详解】（1）解：过点C作与点M，如图所示：

∵直线与x轴和y轴分别相交于点A和点B，∴令得，令得，∴，,∴，根据，∵是的平分线，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，，∴在中，得，解得：；（2）解：由（1）可得，∵点P与点B关于点C对称，∴点P的横坐标为，纵坐标为，∴，设反比例函数为（k为常数，），∵图像经过点P，∴，解得：，∴经过点P的反比例函数解析式为；（3）解：连接，过点B作，过点A作，与交于一点D，连接，，如图所示：

由（1）（2）可得，∵四边形是平行四边形，∴设所在的直线为：，将点的坐标代入进去可得，∵，∴设所在的直线为：，将点A的坐标代入可得，∴所在的直线为：，设所在的直线为：，将点的坐标代入进去可得，∵，两直线斜率相同，∴设所在的直线为：，将点B的坐标代入计算可得，∴所在的直线为：，联立得，∴．【点拨】本题考查了角平分线的性质、勾股定理、反比例函数、平行四边形的性质，准确找到边长之间的关系是解题的关键．20．(1)(2)(3)2【分析】（1）由点都在该反比例函数图象上，可得，计算求解的值，进而可得反比例函数的表达式；（2）由，可得当时，y随x的增大而减小，当时，，进而可得时，y的取值范围；（3）由（1）可得，，待定系数法求直线的解析式为，求得，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：∵点都在该反比例函数图象上，∴，解得，，∴反比例函数的表达式为；（2）解：∵，∴当时，y随x的增大而减小，当时，，∴当时，y的取值范围是；（3）解：由（1）可得，，设直线的解析式为，将，代入得，，解得，∴，当，，则，∴．【点拨】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．21．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据正方形的性质，得到A点的纵坐标为4，点在直线上，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出的长，根据点在反比例函数上，进行求解即可；（2）设，同法（1）求出点坐标，利用，列式计算即可；（3）假设存在，推出，得到，推出，与矛盾，即可得出结论．【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，∴A点的纵坐标为4，∵A在直线上，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴反比例函数解析式为，∵，∴，∴，∴点的坐标为；（2）设，∴，，，∴，，∴，∴，∴

∵，，∴，∴，解得，∴；（3）不存在．理由如下：∵四边形是正方形，∴，，要使，则，∵，∴，∴，∴，由（2）可知，，则点，∴，，∴，得，

∴，∵，∴不符合题意，不存在．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握值的几何意义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．22．(1)(2)或(3)的坐标为：或或或【分析】（1）先求解的坐标，再代入反比例函数解析式，从而可得答案；（2）分两种情况讨论：如图，作的角平分线交于过作于而轴，则如图，作的角平分线交于过作于交轴于则再利用角平分线的性质与全等三角形的性质，勾股定理可得答案；（3）画出