浙江省杭州市西湖区翠苑中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若，则的值为（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件中属于随机事件的是（）A．今天是星期一，明天是星期二 B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．抛出的篮球会下落3．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：34．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2 B．y＝2x2+6 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝2（x﹣2）2+65．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（）A．a＞0 B．当x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小 更多优质滋元可家威杏MXSJ663C．b2﹣4ac＜0 D．函数值有最小值4a﹣2b+c7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，以点B为圆心，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）A． B．3 C． D．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE＝2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）点A（0，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＞y2，则m的取值范围为（）A．m＞2或m＜0 B．m＞2 C．m＜0 D．0＜m＜210．（3分）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s）（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（）A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分）11．（4分）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在（填圆内，圆上或圆外）．12．（4分）已知线段x是线段a、b的比例中项，且a＝4，b＝9．13．（4分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）1001000500080001000020000幼树移植成活数（棵）8789344857224898318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是．（结果精确到0.1）14．（4分）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…830﹣10…则满足方程ax2+bx+c＝0的解是．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝3，则OB的长为．16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．（1）线段DF的长为；（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）已知抛物线y＝﹣3x2+6x+4．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（直接写出答案）18．（6分）一个袋子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个白球，1个红球．从口袋里摸出1个球，搅匀，再摸出一个球．（1）按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）（2）求两次摸出都是白球的概率．19．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．20．（8分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝6，试求出点P的坐标．21．（8分）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）（0≤t≤5），（1）用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．22．（10分）已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）与y轴交于点A．（1）当a＝1，c＝2，求该抛物线与x轴交点坐标；（2）若a＝1，点P（m，n）在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n﹣c＞0，试求m的值；（3）若点A的坐标是（0，1），当﹣2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点23．（10分）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．《蔬菜大棚的设计》驱动问题1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？项目背景蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．数学建模如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）问题解决如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．问题解决为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图4，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．24．（12分）问题探究：（1）如图①，已知线段AB＝2，在AB的两侧分别作等边△ABC和Rt△ABD，CM、DM分别为两个三角形的中线，连接CD；（2）如图②，已知△ABC，分别以AB为直角边在△ABC外侧作Rt△ABP，且∠ABP＝∠AQC＝90°，∠PAB＝∠CAQ＝30°，请求出的值；问题解决：（3）如图③，已知边长为a的正方形ABCD，点E是边CB延长线上一动点的最小值？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市翠苑中学教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】由，于是可设a＝4k则b＝7k，代，计算即可求解．【解答】解：∵，设a＝7k则b＝7k，则，故选：A．【点评】本题考查了比例的基本性质，由题意得，于是可设a＝4k，b＝7k是解题的关键．2．（3分）下列事件中属于随机事件的是（）A．今天是星期一，明天是星期二 B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．抛出的篮球会下落【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答，【解答】解：A、今天是星期一，故本选项不符合题意；B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件；C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件；D、抛出的篮球会下落是必然事件．故选：C．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．3．（3分）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（）A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵相似三角形的相似比是4：9，∴面积比为：，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质，相似比与面积比的关系是解题的关键．4．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2 B．y＝2x2+6 C．y＝2（x﹣2）2 D．y＝2（x﹣2）2+6【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移7个单位2+3﹣5，即y＝2x2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．5．（3分）已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【分析】对二次函数y＝3（x﹣1）2+k，对称轴x＝1，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小．【解答】解：在二次函数y＝3（x﹣1）8+k，对称轴x＝1，在图象上的三点A（1，y8），B（2，y2），C（﹣7，y3），|1﹣7|＜|2﹣1|＜|﹣3﹣1|，则y1、y4、y3的大小关系为y3＞y5＞y1．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．6．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（）A．a＞0 B．当x＞﹣2时，y的值随x值的增大而减小 C．b2﹣4ac＜0 D．函数值有最小值4a﹣2b+c【分析】采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．【解答】解：∵抛物线的开口方向下，∴a＜0．故A错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣8，0）和原点，对称轴x＝＝﹣2，∴当x＞﹣6时，y的值随x值的增大而减小，故B不正确；∵y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个交点，∴b7﹣4ac＞0，故③正确；∵a＜4，对称轴x＝﹣2，∴x＝﹣2时，函数值有最大值6a﹣2b+c，故④正确；故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．7．（3分）如图，在△ABC中，BC＝3，∠C＝90°，以点B为圆心，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）A． B．3 C． D．【分析】由题意得，BC＝BD＝3，直线MN为线段AD的垂直平分线，由勾股定理得AB＝＝5，进而可得AF＝1，证明△AEF∽△ABC，可得＝，即＝，求出AE，即可得出答案．【解答】解：由题意得，BC＝BD＝3，∵BC＝3，AC＝3，∴AB＝＝5，∴AD＝AB﹣BD＝5，∴AF＝AD＝3，∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解得：AE＝．故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE＝2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，根据垂径定理得出CE＝DE＝4，根据勾股定理得出OC2＝CE2+OE2，代入后求出R即可．【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣2，∵CD⊥AB，AB过圆心O，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R4＝42+（R﹣4）2，解得：R＝5，即⊙O的半径长是3，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．9．（3分）点A（0，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＞y2，则m的取值范围为（）A．m＞2或m＜0 B．m＞2 C．m＜0 D．0＜m＜2【分析】根据y1＞y2列出关于m的不等式即可解得答案．【解答】解：∵点A（0，y1），B（m，y4）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，∴y5＝（0﹣1）2+n＝1+n，y2＝（m﹣8）2+n，∵y1＞y3，∴1+n＞（m﹣1）2+n，∴（m﹣1）2＜4，∴0＜m＜2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．10．（3分）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s）（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（）A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6【分析】根据图②可知，AB＝BC＝2，再根据BP，BP′是∠ABC的三等分线，可以证明△PBC∽△BAC，求出PC的长，即可求出答案．【解答】解：如图①，BP，根据图②可知，AB＝BC＝2，∵∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，∴∠APB＝∠ABP＝72°，∴AB＝AP＝2，同理CP′＝BC＝6，∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△PBC∽△BAC，∴＝，∴＝，∴PC＝﹣1或﹣，∴AB+BC+PC＝+3，∴当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为．故选：B．【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．二、填空题（本题有6个小题，每题4分，共24分）11．（4分）已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P在圆内（填圆内，圆上或圆外）．【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，PO＝4，∴6＜5，∴点P在圆内．故答案为：圆内．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．12．（4分）已知线段x是线段a、b的比例中项，且a＝4，b＝96．【分析】根据已知线段a＝4，b＝9，线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【解答】解：∵线段x是线段a、b的比例中项，b＝9，∴＝，∴x2＝ab＝3×9＝36，∴x＝±6（负值舍去）．故答案为：8．【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．13．（4分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）1001000500080001000020000幼树移植成活数（棵）8789344857224898318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.8970.9030.8980.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是0.9．（结果精确到0.1）【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到6.1．故答案为：0.4．【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．14．（4分）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…830﹣10…则满足方程ax2+bx+c＝0的解是x＝1或3．【分析】先确定抛物线对称轴，再观察表格确定函数值为0时的自变量的值即可解决问题．【解答】解：观察表格发现函数的图象经过（1，0）（7，∴满足方程ax2+bx+c＝0的解是x＝5或3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题，是数形结合的好题目，属于中考常考题型．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝3，则OB的长为．【分析】先运用勾股定理求出，再根据三角形的中位线得到，进而得到△ODE∽△OAB解题即可．【解答】解：∵E为AC的中点，∴，∴，连接ED，则ED是△ABC的中位线，∴，∴∠OED＝∠EBA，∠ODE＝∠DAB，∴△ODE∽△OAB∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．（1）线段DF的长为；（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝4，AD＝6＝3，∴AE＝5，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝12，∴DF＝；故答案为：；（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K在Rt△AFD中，AF＝＝＝，EF＝AE﹣AF＝3﹣＝，∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴∴KE＝，∴CK＝KE+EC＝+5＝，∵AD∥CK，∴＝．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）已知抛物线y＝﹣3x2+6x+4．（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（直接写出答案）【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可解决问题．（2）根据抛物线的开口方向及对称轴即可解决问题．【解答】解：（1）因为y＝﹣3x2+4x+4＝﹣3（x﹣6）2+7，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝4，7）．（2）因为抛物线的开口向下，且对称轴是直线x＝1，所以当x＞6时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，能将二次函数解析式改写成顶点式是解题的关键．18．（6分）一个袋子里装有3个只有颜色不同的球，其中2个白球，1个红球．从口袋里摸出1个球，搅匀，再摸出一个球．（1）按顺序先后摸得的两个球有几种不同的可能？（画树状图或列表分析问题）（2）求两次摸出都是白球的概率．【分析】（1）列表即可得出答案．（2）由表格可得出所有等可能的结果数以及两次摸出都是白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：白1白2红白2（白1，白1）（白7，白2）（白1，红）白8（白2，白1）（白2，白2）（白2，红）红（红，白7）（红，白2）（红，红）由表可知，按顺序先后摸得的两个球有3种不同的可能，6个白球1个红球．（2）由表格可知，共有9种等可能的结果，∴两次摸出都是白球的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．19．（6分）如图，在△ABC中，D为BC上一点（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．【分析】（1）根据两角对应相等证明△ABD∽△CBA；（2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴，∴，解得，x＝9；即CD＝7．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．20．（8分）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝6，试求出点P的坐标．【分析】（1）把原点与A坐标代入解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；（2）由A与O坐标求出AO的长，根据三角形AOP面积为6，利用面积公式求出P纵坐标的绝对值为3，即P纵坐标为3或﹣3，把y＝3或y＝﹣3代入抛物线解析式求出x的值，即可确定出P坐标．【解答】解：（1）把（0，0）与（﹣4，解得：a＝﹣8，c＝0，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；（2）∵AO＝4，S△AOP＝6，∴|yP纵坐标|＝5，即yP纵坐标＝3或yP纵坐标＝﹣3，把y＝2代入抛物线解析式得：x＝﹣1或﹣3，此时P坐标为（﹣4，（﹣3；把y＝﹣3代入抛物线解析式得：x＝﹣6+或﹣2﹣，﹣3），﹣3）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）（0≤t≤5），（1）用含t的代数式表示：线段PO＝2tcm；OQ＝5﹣tcm．（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．【分析】（1）根据路程＝速度×时间，假设即可；（2）分两种情形列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）PO＝2t，OQ＝5﹣t；故答案为：6t，5﹣t．（2）①若＝，即，∴t＝2.7．②若＝，即，∴t＝1．∴当t＝1或t＝7.5s时，△POQ与△AOB相似．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a≠0）与y轴交于点A．（1）当a＝1，c＝2，求该抛物线与x轴交点坐标；（2）若a＝1，点P（m，n）在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n﹣c＞0，试求m的值；（3）若点A的坐标是（0，1），当﹣2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点【分析】（1）①由a＝1，c＝2可得抛物线解析式，令y＝0求解．②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，求出y＝c时x的值，进而求解．（2）由抛物线恒在x轴下方可得＜a＜0，由符合条件的整数a只有三个可得c的取值范围，进而求解．（3）由点A坐标求出c的值为1，求出直线x＝﹣2，直线x＝1与抛物线的交点坐标，分类讨论a＞0，a＜0两种情况，列不等式组求解．【解答】解：（1）当a＝1，c＝2时，y＝x3+3x+2，令y＝6，则x2+3x+6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），0）；（2）∵a＝7，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2+3ax+c，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，将x＝0代入y＝ax4+3ax+c得y＝c，∴抛物线经过（0，c），由抛物线对称性可得抛物线经过（﹣8，c），∵x＜﹣时，y随x增大而减小时，y随x增大而增大，∴m＜﹣3或m＞7．（3）∵点A的坐标是（0，1），∴c＝5，∴y＝ax2+3ax+7，∴﹣2＜x＜1时，抛物线与x轴只有一个公共点，当x＝﹣8时，y＝4a﹣6a+2＝﹣2a+1，∴直线x＝﹣3与抛物线交点坐标为（﹣2，﹣2a+5），当x＝1时，y＝a+3a+2＝4a+1，∴直线x＝4与抛物线交点坐标为（1，4a+5），①当Δ＝9a2﹣3a＝0时，抛物线顶点在x轴上，解得a＝0（舍）或a＝．②当a＞0时，若点（﹣4，点（1，则，解得a≥，③当a＜0时，若（﹣6，点（1，∴，解得a＜﹣．综上所述，a＝或a＜﹣．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．23．（10分）完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》．《蔬菜大棚的设计》驱动问题1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？项目背景蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．数学建模如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4）问题解决如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长．问题解决为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图4，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．【分析】数学建模：根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；问题解决：根据抛物线的解析式求出点G和点M的坐标，即可求出GM的长；问题解决：先求出直线EK的解析式，即可求出CK的长．【解答】解：数学建模：∵抛物线AED的顶点E（0，4），∴可设抛物线的解析式为y＝ax8+4，图象过点A（﹣2，3），∴4a+4＝8，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+3，问题解决：由题意，可知L，代入函数解析式，得3.75＝x2+4，解得x3＝1，x2＝﹣3，∴点L，R的坐标分别为（﹣1，（1，∴点G，M的坐标分别为（﹣5.25，（0.25，∴GM＝0.2m，