江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

2023~2024学年第一学期期中试卷高二数学2023.11注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卷交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置．3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设是等差数列的前项和，若，则（）A．36 B．45 C．54 D．632．圆的圆心到直线的距离为（）A．0 B．1 C． D．3．数列中，，，则（）A．77 B．78 C．79 D．804．直线，，若两条直线平行，则实数（）A． B．1 C．3 D．或35．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂更多优质滋元可家威杏MXSJ663心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（）A． B． C． D．7．已知，，（，），为其前项和，则（）A． B． C． D．8．已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为C．直线与直线之间的距离是D．直线，，，则10．下列命题中，正确的有（）A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件B．数列的通项为，若为单调递增数列，则C．等比数列中，，是方程的两根，则D．等差数列，的前项和分别为，，若，则11．已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦长为C．最短时，弦直线方程为D．直线过定点12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（）A． B．C． D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过点，，圆心在直线上的圆的标准方程为__________．14．点关于直线的对称点的坐标为__________．15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________．16．设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．（1）求点的坐标；（2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．18．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．20．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．21．（本小题满分12分）已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得．（1）若，，求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．（1）求曲线的方程；（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，①证明：直线过定点，并求出点的坐标；②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．2023~2024学年第一学期期中试卷高二数学参考答案2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．12345678CDDCAABD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACDADACDBCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 15． 16．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，又的坐标为，所以直线的方程为，即．由与联立，解得，，因为边上的中线经过点，所以点的坐标为．（2）依题意可设直线的方程为（，），则．因为，，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．18．（本小题满分12分）解：（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，则，因为，即，所以，所以，，所以，即．（2）因为，所以，所以．19．（本小题满分12分）解：（1）因为，，，所以，，所以，又，所以是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，所以，半径为2，所以的方程为．（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为．①当直线与轴垂直时，方程为，与圆心的距离为1，满足条件；②当直线的斜率存在时，设，即，因为圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为．综上可知，直线的方程为或．20．（本小题满分12分）解：（1）依题意得解得，，即．（2）①，，，，．．②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，即转化为对一切恒成立，令，则，由，所以，且，则．所以实数的最大值为．21．（本小题满分12分）解：（1）当时，，因为，，所以．（2）由，得，两式相减，得，即，所以．两式相减，得，所以数列为等差数列．（3）依题意：，由得：，即，所以．因为，且，所以，又因为，且为奇数，所以时，是整数，此