专题2.16解直角三角形与几何问题大题专练（培优强化30题）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】（解析版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.17解直角三角形与几何问题大题专练（培优强化卷）一、解答题1．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校九年级期中）（1）在△ABC中，∠C=90°，已知c=83，∠A=60°，求∠B，a，b（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，D为AC上一点，∠BDC=45°，CD=6【答案】（1）∠B=30°，a=12，b=43；（2）【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B=30°，再利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答；（2）根据已知条件求出BC=DC=6，再根据正弦的定义求出AB，再根据勾股定理求出AC，最后根据AD=AC-DC求出AD的长．【详解】解：（1）∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴b=1a=c⋅sin∴∠B=30°，a=12，b=43（2）∵∠C=90°，∠BDC=45°，∴∠DBC=45°，∵DC=6，∴BC=6，∵sin∴AB=10，∴AC=A∴AD=AC-DC=8-6=2．【点睛】本题考查了解直角三角形，正弦的定义、勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数的定义．2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c(1)a=5，c=2a，求b、∠A(2)tanA=2，S△ABC=9，求【答案】(1)b=53，(2)9+3【分析】（1）根据c=2a，得到∠A=30°，利用勾股定理求b即可；（2）tanA=2，S△ABC=9，设参法求出a,b，利用勾股定理求c【详解】（1）解：∠ACB=90°，a=5，c=2a，∴∠A=30°，c=2a=10,b=c（2）解：tanA=设b=x,a=2x，∴S△ABC=12ab=∴b=3,a=6，∴c=a∴△ABC的周长=6+3+35【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．3．（2022·江苏·星海实验中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，平行四边形ABCD的周长为28，面积为40，AB：AD=4：3．求：(1)DE的长；(2)sin∠A和sin【答案】(1)5(2)sinA=56【分析】1因为平行四边形的周长为28，且相邻两边之比为4比3，所以可求出每边的长，根据面积为40，即可求出边上的高；2在四边形DEBF中，已知两个直角，所以∠B+∠EDF=180°，而∠A+∠B=180°即sin∠EDF的值也就时sinA，在直角△AED中，sin【详解】（1）解：平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长为28，∴AB+AD=14，又AB：AD=4：3，∴AB=8，AD=6，∵S∴DE=5；（2）在四边形DEBF中，∠EDF+∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠在平行四边形ABCD中，∵∠∴∠在Rt△ADE中，sinA=∴sin∠【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角函数定义．4．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，tanB=(1)求线段CD的长度；(2)求cosC【答案】(1)CD＝5(2)cos【分析】（1）根据tanB=43，求得BD=9，再根据BC＝14（2）利用三角函数定义直接在RtΔACD中求出cos（1）解：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tanB＝43，AD＝12∴BD＝9，∵BC＝14，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）解：由（1）知在RtΔACD中，∠ADC=90°，CD＝5，AD＝12，∴AC＝122+5∴cos【点睛】本题考查解直角三角形，准确记忆三角函数值定义，熟练掌握三角形边角之间的关系是解题的关键．5．（2022·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，连接AD，分别过点A，C作AE∥BC，CE∥AD交于点E，连接DE，交AC于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若AB=10，sin∠COE=45【答案】(1)见解析(2)CE的长为2【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC于点D，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）过点E作EF⊥AC于F．解直角三角形即可得到结论．（1）证明：∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB=AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC于点D，∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形；（2）解：过点E作EF⊥AC于F．∵AB=10，∴AC=10，∵四边形ADCE是矩形，对角线AC，DE交于点O，∴DE=AC=10，∴OE=OC=5，∵sin∠COE=45∴EF=4，∴OF=OE2-∴CF=2．∴CE=CF2+EF【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键．6．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC＝40cm，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∠ACD＝75°．（1）求点C到AB的距离；（2）求线段AD的长度．【答案】（1）20cm；（2）10【分析】（1）过C点作CH⊥AB于H，如图，在Rt△BCH中，利用含30°的直角三角形三边的关系易得CH＝12BC＝20（2）在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形三边的关系可得CH＝20，BH＝3CH＝203，再利用三角形外角性质计算出∠BAC＝45°，则△ACH为等腰直角三角形，所以AH＝CH＝20，然后利用面积法求AD．【详解】解：（1）过C点作CH⊥AB于H，如图，在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝12BC＝12×40＝20cm，即点C到AB的距离为（2）在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝20cm，BH＝3CH＝203cm，∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝20cm，∴AB＝(203+20)cm，∵12AD•BC＝12CH•∴AD＝20×(203+20)40＝(10【点睛】本题主要考查了含30°直角三角形的性质、解直角三角形、三角形的外角以及三角形的面积等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．7．（2021·江苏连云港·二模）如图，在△ABC中，BC=42，∠B=45°，∠A=30°，求AB【答案】4【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠B=45°，得CD=BD，根据勾股定理和BC得出BD，再根据∠A=30°，得出AD，从而得出AB即可．【详解】解：过点C作CD⊥AB，∵∠B=45°，∴CD=BD，∵BC=42∴BD=CD=4，∵∠A=30°，∴tan30°=CDAD∴AD=CDtan30°=∴AB=AD+BD=43【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．8．（2018·江苏苏州·九年级期中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【答案】15﹣53【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝103，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC•sin30°＝103×12＝53CM＝BC•cos30°＝103×32＝15在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝53，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣53．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD的长．9．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，点D是BC边上的一点，CD=6，cos∠ADC=35(1)求AC和AB的长；(2)求sin∠BAD【答案】(1)8；4(2)6【分析】（1）解Rt△ACD，求得AD，在Rt△ACD中，勾股定理求得在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，根据tanB=ACBC=2（2）过点D作DH⊥AB于点H，等面积法求得DH的长，然后根据正弦的定义即可求解．【详解】（1）解：∵在Rt△ACD中，cos∴AD＝∴在Rt△ACD中，AC=A又∵在Rt△ABC中，tanB=∴BC=12，∴AB=A（2）解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，∴SΔ∵AB=4∴DH=BD⋅AC∴在Rt△ADH中，sin∠BAD=【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．10．（2022·江苏·南京市第十二初级中学九年级阶段练习）在ΔABC中，∠A=45°,AC=4,BC=3，以C为圆心，r(1)若⊙C与AB相切，求r的值；(2)当r的取值不同，⊙C与线段AB的公共点的个数也不同．请直接写出⊙C与线段AB的公共点的个数及对应的r的取值．【答案】(1)2(2)当r<22或r>4时，⊙C与线段AB没有公共点；当r=22或3<r≤4时，⊙C与线段AB有1个公共点；当22<r<3时，⊙C与线段【分析】（1）过点C作CD⊥AB于D，根据等腰直角三角形的性质求出CD，根据切线的判定定理解答即可；（2）分⊙C与线段AB的交点个数、直线与圆的位置关系解答．（1）解：（1）过点C作CD⊥AB于D，在RtΔADC中，∠ADC=90°,∠A=45°,AC=4则AD=DC=sin∴当⊙C与AB相切时，r的值为22（2）当r<22或r>4时，⊙C与线段AB当r=22或3<r≤4时，⊙C与线段AB有1当22<r<3时，⊙C与线段AB有【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解直角三角形，以及直线与圆的位置关系，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．11．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝BCAB(1)sad60°＝；(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝65，求tanB(3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝45，试求sadA【答案】(1)1(2)tan(3)sadA=【分析】（1）根据题意可知，sad60°指的是顶角为60°的等腰三角形底边与腰之比，从而可以求得sad60°的值；（2）根据△ABC中，CB=CA,sadC=65，可以求得CB与AB的关系，从而可以求得CB与（3）根据Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=4（1）解：∵顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴sad60°＝底边÷腰=1故答案为：1．（2）如图②所示：作CD⊥AB于点D，∵△ABC中，CB=CA,sadC=∴AB=∴CD=∴即tan（3）∵∠ACB=90°,sin设AB=5a,BC=4a,则AC=3a．∴cosA=如图③所示，在AB上截取AD=AC=3a，作DE⊥AC于点E，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°,∴DE=AD⋅∴CE=AC-AE=3a-∴CD=∴sadA=CD即sadA=2【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形．12．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；(3)若tan∠CED=23，⊙O的直径为5【答案】(1)见解析(2)BC(3)6.5【分析】（1）利用等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，得到OC⊥AB，证明AB是OO的切线；（2）根据题意证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质，得到线段BC，BD和BE的数量关系；（3）根据△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，列出方程求OA的长．（1）证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：BC∵ED是直径，∴∠ECD=90°．∴∠E+∠EDC=90°，∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴BCBE∴BC（3）解：∵tan∠CED=∴CDEC∵△BCD∽△BEC，∴BDBC设BD=2x，则BC=3x，∵BC∴3x2解得：x=2或0（舍去），∴BD=2x=4，∵⊙O的直径为5，∴OD=2.5，∴OA=OB=BD+OD=6.5．【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识点有：等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、解一元二次方程等，综合性较强．13．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级阶段练习）如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF＝BC．(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，sinB=45【答案】(1)BC是⊙O的切线，理由见解析(2)8【分析】（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．（2）根据AC=4，sinB=45=ACAB，求出AB=5，BC=3，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证ΔAEF∽ΔCEA（1）解：BC与⊙O相切证明：连接AE，∵AC是⊙O的直径∴∠E=90°，∴∠EAD+∠AFE=90°，∵BF=BC，∴∠BCE=∠BFC，∵E为弧AD中点，∴∠EAD=∠ACE，∴∠BCE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC，∵AC为直径，∴BC是⊙O的切线．（2）∵⊙O的半径为2，∴AC=4，∵sin∴AB=5，∴BC=A∵BF=BC，∴BF=3，AF=5-3=2，∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，∴Δ∴EAEC∴EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得：x2x=4即CE=8【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．14．（2022·江苏淮安·九年级期中）如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点M，作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，(1)试说明:BE为⊙O的切线；(2)若AM=4，tanA=2，求【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据等腰三角形的性质可知∠CAB=∠CBA，∠EBD=∠D．由CD⊥AC，可推出∠CAB+∠D=90°，从而可得出∠CBA+∠EBD=90°，进而可求出∠CBE=90°，即证明BE为⊙O的切线；（2）连接BM，由直径所对的圆周角为直角，可得∠BMC=∠AMB=90°，即可得出tanA=MBAM=2，从而可求出MB的长．设CM=x，则BC=AC=4+x，在Rt△BMC中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即求出CM的长，从而可求出BC的长．由∠AMB=90°=∠ACD，可判定MB∥CD，即可得出∠MBC=∠BCE，从而可证明△MBC∼△BCE，即得出（1）证明：∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA．∵BE=ED，∴∠EBD=∠D．∵CD⊥AC，∴∠CAB+∠D=90°，∴∠CBA+∠EBD=90°，∴∠CBE=180°-(∠CBA+∠EBD)=90°，即BE⊥BC，∴BE为⊙O的切线．（2）解：如图，连接BM，∵BC为直径，∴∠BMC=∠AMB=90°．∴在Rt△ABM中，tanA=MBAM解得：MB=8．设CM=x，则BC=AC=AM+CM=4+x，∵在Rt△BMC中，BC∴(4+x)2解得：x=6，即CM=6，∴BC=4+6=10．∵∠AMB=90°=∠ACD，∴MB∥CD，∴∠MBC=∠BCE，又∵∠BMC=∠CBE=90°，∴△MBC∼△BCE，∴MCBE=MBBC，即【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、切线的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识和数形结合的思想是解答本题的关键．15．（2022·江苏淮安·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AC平分∠BAD交⊙O于点C，过点C作AD的垂线交AD的廷长线于点E．(1)求证：CE为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2．且cos∠DAC＝32，求弧BC【答案】(1)证明见解析(2)2π【分析】（1）连接OC，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质证明OC∥AD（2）根据已知可得∠DAC=30°，然后利用圆周角定理求出∠COB=2∠OAC=60°，最后利用弧长公式进行计算即可解答．(1)证明：连接OC，∵CE⊥AE，∴∠CEA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD∴∠OCE+∠CEA=180°，∴∠OCE=180°-∠CEA=90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；(2)解：∵cos∠DAC=32，∴∠DAC=30°，∴∠DAC=∠OAC=30°，∴∠COB=2∠OAC=60°，∴弧BC的长=60π×2∴弧BC的长为：2π3【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，角平分线的性质，熟练掌握切线的判定与性质以及圆周角定理是解题的关键．16．（上海市部分学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷）如图，在Rt△EAC中，∠EAC＝90°，∠E＝45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，(1)AD的长；(2)cot∠DCF【答案】(1)12(2)9【分析】（1）由各角之间的关系得出∠BAF=90°，再由正切函数及勾股定理求解得出AB=3（2）由等面积法得出BD=95，结合图形得出【详解】（1）解：∵∠EAC=90°∴∠EAB+∵∠FAC=∴∠FAC+∴∠BAF=90°∵tan∠AFB=令AB=3x，则AF=4x，∵BF2∴BF2∴BF=5x=5，∴x=1，∴AB=3x=3，∵BF·AD=AB·AF＝∴5AD=3×4=12，∴AD=12（2）在Rt△ABF中，AD⊥BF，∴AB2∴9=5BD，∴BD=9∴DF=BF-BD=16∵∠EAC=90°∴∠BCD=45°∴∠DBC=45°∴DC=BD=9∴cot∠DCF=【点睛】本题主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．17．（2022·吉林·长春经济技术开发区洋浦学校九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，动点P从点A出发沿AC方向以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连接QR．设点P的运动时间为t(1)线段AP的长为______（用含t的代数式表示）．(2)当点R落在BC边上时，求t的值．(3)当C、R、Q三点共线时，求t的值．(4)当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)5t(2)20(3)1(4)0<t<1635【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间即可求解；（2）先证明△APQ∼△ABC，可得PR=PQ=3t，再根据△CPR∼△CAB，即可求解；（3）利用三角函数求出sin∠A=BCAB=35，tan∠A=PQAQ=34，当C、（4）分情况进行讨论，①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时∠PRC=90°，当点R在CD左边时，∠CRP为钝角，先证出四边形PQDR为正方形，再利用三角函数求出PQ=3t，AQ=4t，再证出△CPR∼△PAQ，进而得到CPPA=PRAQ，即可求出t=1635，进而可分析出t的取值范围，②如图3，当点R在BC边上时，∠PCR=90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，先证出△CPR∼△PAQ，即可得到CPAQ=RP【详解】（1）解：根据题意得：AP=5t；故答案为：5t（2）解：∵AC=4,AP=5t，∴CP=AC-AP=4-5t，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3∴AB=A∵PQ⊥AB，∴∠PQA=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△APQ∼△ABC，∴APAB=PQ解得：PQ=3t，∵将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，∴PR=PQ=3t，∠QPR=90°，∴∠QPR=∠AQP，∴PR∥∴△CPR∼△CAB，∴CPAC=PR解得：t=20（3）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=3∴sin∠A=BCAB∴tan∠A=由旋转知PQ=PR，当C、R、Q三点共线时，如图1，∵∠RPQ=∠AQP=90°，∴PR∥∴∠CPR=∠A,∠CRP=∠CQA，∴△CPR∼△CAQ，∴PRAQ=CPAC∵AP=5t，AC=4，∴CP=4-5t，∴4-5t4∴t=1（4）解：由（2）得PR∥∴∠CPR=∠A，∴∠CPR不可能是钝角，若点R在△ABC内部，∠ACR也不可能是钝角，①如图2，过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时∠PRC=90°，当点R在CD左边时，∠CRP为钝角，∵∠RPQ=∠PQD=∠CDA=90°，∴四边形PQDR为矩形，∵PQ=PR，∴矩形PQDR为正方形，∵AP=5t，sin∠A=∴PQ=3t，∵tan∠A=∴AQ=4t，∴PR=PQ=3t，∵PR∥∴∠CPR=∠A,∠PRC=∠AQP=90°，∴△CPR∼△PAQ，∴CPPA∴4-5t5t∴15t=16-20t，∴t=16∴当0<t<1635时，②如图3，当点R在BC边上时，∠PCR=90°，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，∵PR∥∴∠CPR=∠A，∵∠C=∠AQP=90°，∴△CPR∼△PAQ，∴CPAQ∴AP=5t，PR=PQ=3t，AQ=4t，∴4-5t4t∴12t=20-25t，∴t=20又∵点P最多只能运动到点C上，∴t≤4∴当2037<t≤4∴当0<t<1635或2037【点睛】本题考查几何变换综合题、矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．18．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，(1)求AD的长；(2)如果CF过AB的中点E，且满足CF=CB，求∠F的正切值．【答案】(1)AD=1(2)2+【分析】（1）先证明△ACD∽△CBD得到CD2=3AD（2）如图所示，过点B作BH⊥CF于H，先解直角三角形求出∠A=60°，进而求出CF=23，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=CE=BE=2，即可证明△AEC是等边三角形，则∠BEH=∠AEC=60°，解直角三角形求出EH、BH【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD∴CD在Rt△ADC中，由勾股定理得C∴3AD=4-AD∴AD=1（负值舍去）（2）解：如图所示，过点B作BH⊥CF于H，由（1）得AD=1，∴cosA=ADAC∴∠A=60°，∴CF=BC=AC⋅tan∵E是AB的中点，∴AE=CE=BE=1∴△AEC是等边三角形，∴∠BEH=∠AEC=60°，∴EH=BE⋅cos∴FH=CF-CE-EH=23∴tanF=【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角函数综合，直角三角形斜边上的中线，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．19．（2022·四川·成都西川中学九年级阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF，交点为G．(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2)，延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP【答案】(1)证明过程见详解(2)4【分析】（1）运用△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB求解．【详解】（1）证明：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF(SAS∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．（2）解：根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=CF=k(k>0)，点F是CD的中点，则BC=BP=2k，在Rt△BPQ中，设QB=QF=x，则QP=QF-PF=x-k∴x2∴x=5k∴sin∠BQP=【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判断，解直角三角形的综合应用．20．（2022·北京市第十九中学三模）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，AD=BC，点E在BC延长线上，AE与CD交于点F．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AE平分∠BAD，AB=13，cosB=513，求AD【答案】(1)见解析(2)5，8【分析】（1）先证AD∥BC，再由（2）由锐角三角函数定义得BC=5，再由平行四边形的性质得AD=BC=5，然后证BE=AB=13，则CE=BE-BC=8，进而证∠CFE=∠BEA，得CF=CE=8．（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵∠ACB=90°，AB=13，cosB=∴cosB=∴BC=5，由（1）可知，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AB∥CD，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=13，∴CE=BE-BC=13-5=8，∵AB∥∴∠CFE=∠BAE，∴∠CFE=∠BEA，∴CF=CE=8，即AD=5，CF=8．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数定义、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．（2021·浙江温州·九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=8，点E是AD的中点．连接EC，点P是(1)求CE的长．(2)当点P在ED上时，连接BP交EC于点F，设EP=①用含x的代数表示EF的长；②若BP平分四边形ABCE的面积，求EF的长．(3)作AM⊥BP于点M，点P从点A开始出发，运动到点P'，若A【答案】(1)42(2)①EF=42(3)4【分析】（1）解直角三角形CDE求得结果；（2）①可证得△PEF∽△BCF，从而得出EPBC②过点F作GH⊥BC于H，交AD于G，根据面积关系式得出EH=3，在根据△PEF∽△BCF得EFCF（3）由∠AMB=90°得出点M在以AB为直径的AM'上运动，先求得（1）∵AD=2AB=8，∴AB=4∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∠D=90∵点E是AD的中点，∴DE=AE=1∴CE=D（2）①四边形ABCD是矩形，∴AD∥∴△PEF∽△BCF，∴EPBC∴EPEP+BC∴xx+8∴EF=4②如图1，过点F作GH⊥BC于H，交AD于G，可得矩形ABHG，∴GH=AB=4，由题意得，S梯形∴AE+∴(4+8)×∴FH=3，∴FG=GH-FH=1，∴由△PEF∽△BCF得，EFCF∵CE=42∴EF=1（3）如图2，∵AM⊥BP，∴∠AMB=90∴点M在以AB为直径的AM∵tan∠AB∴∠ABP∴∠AOM∴lA∴M点经过的路径长为：43【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练地运用相似三角形的判定和性质．22．（2022·吉林省实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD(1)线段CD的长为___________．(2)当点D落在△ABC内部时，求t的取值范围．(3)当边AB把△CDP的面积分为1:4的两部分时，求线段AP的长度．(4)当PD垂直于△ABC的一边时，直接写出t的值．【答案】(1)6(2)18(3)AP=2(4)25或85【分析】（1）利用勾股定理求出AC,根据轴对称的性质即可求解；（2）求出两种特殊位置t的值，分别求得当点D在AB，BC上的t的值即可求解．（3）依题意得出S△PDQ=14S（4）分三种情形：当PD⊥AC时；，当PD⊥CB；，当PD⊥AB时，分别求出t的值，可得结论．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∴AC=A∵点A，D关于PC对称，∴CD=AC=6，故答案为：6；（2）解：∵∠ACB=90°，AB=10∴sin如图，当点D在边AB上时，∵CA=CD=6，PA=PD=5t∴CP⊥AD∵cosA=∴AP∴AP=∴t=18当D在BC边上时，如图，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，则四边形CEPF是矩形；∵∠DCP=∠ACP，∴PE=PF，∴四边形CEPF是正方形，∴AF:PF:AP=3:4:5设PF=4a，则AF=3a，AP=5a，∴FC=PF=4a∴AC=7a∵AC=6∴a=∴AP=∴t=30综上所述，当点D落在△ABC内部时，1825（3）解：如图，∵CD=6，则点D是在以C为圆心，6为半径的圆上运动，∴当边AB把△CDP的面积分为1:4的两部分，∴S△PDQ∴DQ=∵CD=AC=6∴DQ=65，设Rt△ABC，AB上高为h∵S△ABC∴h=AC×BC又∵CQ=24∴CQ⊥AB，又∵S△APC∴S△PQC∴S△PQD∴PQAP∵AP=5t，∴PQ=4t，∴AQ=9t，∵cosA=∴AQ=18∴9t=18解得t=2∴AP=5t=2，（4）如图中，当PD⊥AC时，设CD,AB交于点T∴PD∥∴∠DPT=∠B，又∵∠A=∠D，∴∠DTP=90°，由（3）可知此时t=2如图中，当PD⊥CB，由翻折变换的性质可知∠DPC=∠APC，∵BC⊥AC，∴PD∥CB，∴∠PCA=∠DPC，∴∠CPA=∠PCA，∴AC=AP=8，∴t=8如图中，当PD⊥AB时，∴∠B+∠A=∠B+∠BTP=90°，∴∠BTP=∠A，又∠CTD=∠BTP，∴∠CTD=∠A，∵∠D=∠A，∴∠CTD=∠D，∴CT=CD=CA=6，∴BT=BC-BT=8-6=2，∵sin∠BTP=∵PB=AB-AP=10-5t，∴10-5t2解得：t=42综上所述，满足条件t的值为25或85或【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理的应用、平行线的性质和三角函数综合，解决本题的关键是学会用分类讨论思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．23．（2022·浙江·翠苑中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以BC为一边向下作矩形BDEC，其中DB=3．M为线段AB上的动点（且不与A、B重合），过M作MN⊥DE，交DB(1)如图，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．①当MN为5时，矩形MNPQ的面积为___________；②设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；③矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．(2)如图，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．【答案】(1)①15，②y=-32x2(2)MN=143【分析】（1）①过点A作AJ⊥DE，垂足为点J，交MP,BC于点H和点I，通过证明△AMP∽△ABC，即可求出MP=3，求出面积即可；②用和①同样得方法即可得到y关于x的函数表达式；③将②中的函数表达式化为顶点式，即可求出最大值；（2）延长AB,AC，交直线NE于点P和点Q，分为当∠MFN=90°时和当∠NMF=90°两种情况进行讨论即可．【详解】（1）①过点A作AJ⊥DE，垂足为点J，交MP,BC于点H和点I；∵四边形BDEC为矩形，AJ⊥DE，∴AI⊥BC，AI⊥MP，∵AB=AC=5，BC=6，∴BI=1根据勾股定理得：AI=A∵AI⊥BC，AI⊥MP，∴MP∥∴△AMP∽△ABC，①∵DB=3，MN=5，∴HI=5-3=2，∴AH=AI-HI=4-2=2，∵△AMP∽△ABC，∴MPBC=AHAI，即∴S四边形故答案为：15．②∵DB=3，MN=x，∴HI=x-3，∴AH=AI-HI=4-x-3∵△AMP∽△ABC，∴MPBC=AHAI，即∴S四边形∴函数表达式为：y=-3③y=-3∴当x=72时，y有最大值（2）延长AB,AC，交直线NE于点P和点Q，∵四边形BDEC为矩形，∴BC∥∴ABAP=AIAJ，即BCPQ=AIAJ，即∴PJ=21∵AJ⊥BC,MN⊥BC，∴MN∥设MN=x，∴MNAJ=PNPJ，即∴NQ=21∵NF∥∴NFAP=NQPQ，即①当∠MFN=90°时，∵NF∥∴∠P=∠FNQ，∵∠P+∠PMN=∠FNQ+∠MNF=90°，∴∠PMN=∠MNF，∴NF=MN·cos∴NF=210-15x24=②当∠FNM=90°时，∵NF∥∴∠P=∠FNQ，∵∠P+∠PMN=∠FNQ+∠MNF=90°，∴∠PMN=∠MNF，∴NF=MN∴NF=210-15x24=综上：MN=143或【点睛】本题主要考查了二次函数性质，矩形的性质，三角形的相似，解直角三角形等，解题的关键是熟练掌握并灵活运用各个知识点，会根据直角三角形三边长度得出三角函数值．24．（2022·山东·青岛大学附属中学九年级期中）如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，点M从点A出发，沿折线AB→BC以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线AC的对称点N，连接MN交AC于点E，连接DM，DN．设运动时间为t（s）（0<t<7(1)当t为何值时，MD∥BC？(2)点M在线段BC上运动时，是否存在某一时划t使得ΔCMD∽ΔCBA？若存在，请求出此刻的(3)当t为何值时，ΔDMN【答案】(1)t=207时，(2)t=7013时，ΔCMD(3)t=5019或t=98【分析】（1）当MD∥BC时，得ΔAMD∽ΔABC，则（2）当ΔCMD∽ΔCBA时，得（3）分点M在AB上或点M在BC上，由轴对称性知，ΔDMN是等腰三角形，从而点D为直角顶点，利用三角函数表示出MH和AH【详解】（1）解：在RtΔABCAC=6当MD∥BC时，∴ΔAMD∽Δ∴AMAB∴2t8解得t=20∴t=207时，（2）解：当ΔCMD∽Δ∴CMCB∴14-2t6解得t=70∴t=7013时，ΔCMD（3）解：当点M在AB上时，如图，设AC与MN交于点H，∵点M关于直线AC的对称点N，∴DM=DN，∴∠MDN=90°，∴∠MDH=45°，∵sinA=MHAM∴MH=6t5，∴DH=MH=6t∴6t5解得t=50当点M在BC上时，同理可得∠MDH=45°，则DH=MH，∵cosC=CHCM∴CH=3(14-2t)5，∴3(14-2t)5解得t=98综上：t=5019或t=98【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键．25．（2022·广东·深圳市南山区教育科学研究院同乐实验学校九年级期中）（1）【证明体验】如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF=45°．①求证：△DBE∼△DCF；②BECF=（2）【思考探究】如图2，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，tan∠EDF=43，BE=5（3）【拓展延伸】如图3，菱形ABCD中，BC=5，对角线AC=6，BH⊥AD交DA的延长线于点H，E、F分别是线段HB和AC上的点，tan∠EDF=34，HE=【答案】（1）①见解析；②2；（2）3；（3）2．【分析】（1）①求出∠EDB=∠CDF，∠EBD=∠FCD=45°，即可证明△DBE∼△DCF；②求出BD=2CD，由△DBE∼△DCF得（2）连接BD交AC于点O，先证明∠ABD=∠OCD，再通过计算tan∠BDC，得出∠EDF=∠BDC，求出∠EDB=∠FDC，证明△DBE（3）连接BD交AC于O点，先求出BD=2OD=8，tan∠ODC=OCOD=34，证明△DHB∽△DOC，可得BHCO=DBDC，求出【详解】（1）①证明：∵∠EDF=45°，∴∠EDB+∠BDF=45°，∵∠CDF+∠BDF=45°，∴∠EDB=∠CDF，∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，∴∠EBD=∠FCD=45°，∴△DBE∼△DCF；②解：∵四边形ABCD为正方形，BD，AC为对角线，∴∠BDC=45°，∴CD=BD⋅cos∴BD=2∵△DBE∽∴BECF故答案为：2；（2）解：连接BD交AC于点O，∵AB=6，BC=8，∴AC=BD=6∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AB∥∴∠ABD=∠ODC，∴∠ABD=∠OCD，∵tan∠BDC=BCCD∴∠EDF=∠BDC，∵∠EDF=∠EDB＋∠BDF，∴∠EDB=∠FDC，∴△DBE∽∴BECF∵BE=5，∴CF=3；（3）解：连接BD交AC于O点，∵在菱形ABCD中，BC=AB=DC=AD=5，AC=6，AC⊥BD，∴OC=12AC=3在Rt△ODC中，OD=∴BD=2OD=8，tan∠ODC=∵BD为菱形对角线，∴∠HDB=∠ODC，∵BH⊥HD，AC⊥BD，∴∠DHB=∠DOC=90°，∴△DHB∽∴BHCO=DB∴BH=24∵HE=8∴BE=BH－∵tan∠EDF=∴∠EDF=∠ODC，∴∠EDB=∠CDF，∵BH⊥AD，∴∠HBD+∠HDB=90°，∵∠HDB=∠ODC，∠ODC+∠OCD=90°，∴∠HBD=∠OCD，∴△DBE∽∴BECF∴CF=5BE【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键，注意解题方法的延续性．26．（2022·吉林·长春市第八十七中学九年级期中）如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠A=60∘，BC=3．点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，在线段BP的延长线上取一点Q，使得PQ=2BP，连接PQ，以PQ为斜边向下作Rt△PQN，其中PN∥(1)求线段CQ的长．（用含t的代数式表示）(2)当点N落在AC上时，求t的值．(3)当△PQN被△ACB的边分成的两部分面积比为1:8时，求t的值．(4)如图（2），作点N关于AC的对称点N'，连接AN'，当直线AN'【答案】(1)CQ=(2)t=(3)98或(4)1或65或【分析】（1）直接分两种情况进行讨论：当点Q在BC上时，即t≤1时；当点Q在BC的延长线上时，即t<t≤3；分别表示即可；（2）根据平行线的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半，列方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：①设QN与AC交于点K，当S△QCK:S四边形PCKN=1:8时；②当PN与（4）分三种情况进行讨论：①当AN'⊥AB时，延长QN交AB于点G；②当N在AC上，N',N重合，此时A【详解】（1）解：当点Q在BC上时，即t≤1时，如图：根据题意得：BP=t，∵PQ=2BP，∴PQ=2t，∴CQ=BC-BP-PQ=3-3t；当点Q在BC的延长线上时，即t<t≤3，如图：∵BP=t,PQ=2t，∴CQ=BP+PQ-BC=3t-3，∴CQ=3-3t(0<t≤1)（2）当点N落在AC上时，如图：由（1）得，点Q在BC的延长线上，∴CQ=3t-3，∵PN∥∴∠QPN=∠B=90°-∠A=30°，∠CNP=∠A=60°，∵∠PNQ=90°，∴∠QNC=∠PNQ-∠CNP=30°，∵∠QCN=∠ACB=90°，∴QN=2CQ=6t-6，在Rt△PQN中，PQ=2QN∴2t=2(6t-6)，解得：t=6∴当点N落在AC上时，t=6（3）①设QN与AC交于点K，当S△QCK∴S△QCK∵∠Q=∠Q,∠N=∠QCK=90°，∴△QCK∽∴(CQNQ)∵CQ=3t-3,NQ=1∴3t-3t解得：t=9②当PN与AC交于点T，当S△PCT∴S△PCT∵∠CPT=∠NPQ，∠PCT=∠PNQ=90°，∴△CPT∽∴(CPPN)∴CP=1∵CP=BC-BP=3-t，PN=PQ⋅cos∴3-t=1解得：t=9-3综上所述：当△PQN被△ACB的边分成的两部分面积比为1:8时，t的值为98或9-3（4）①当AN'⊥AB时，延长QN交AB在Rt△QPN中，QN=∴QN=1在Rt△QNG中，QG=12BQ∴QG=12×3t=∴NG=QG-QN=3在Rt△ABC中，AB=∴AG=AB-BG=23∵AN∴∠N∵N',N关于∴∠NAC=30°，∴∠NAG=90°-30°-30°=30°，∴Rt△ANG中，AG=∴23解得：t=1；②当N在AC上，N',N重合，此时由（2）知t=6③当AN∴∠N∴N',A,N共线，∵PN∥∴四边形PNAB是平行四边形，∴PN=AB，而PN=32PQ=∴3t=2∴t=2；综上所述：当直线AN'与△ACB的一边垂直时，t的值为1或65【点睛】本题考查了几何变换综合应用，设计含30°角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用．27．（2022·上海浦东新区民办远翔实验学校九年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，sinB=45，点P是边BC上一动点，点Q在射线AD上，满足∠APQ=∠ADC，直线PQ与直线CD交于点E，射线AP(1)求证：△ABP∽(2)当点Q在线段AD上时，设BP=x，AQ=y，求y关于(3)若CE=5PC，求BP的长．【答案】(1)证明见解析(2)y=(3)BP=【分析】（1）先由平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B=∠ADC，则∠AQP=∠CPQ，再分别证明∠APQ=∠B，∠BAP=∠PQA，即可证明（2）如图所示，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形ABH求出AH，BH，进而求出AP（3）如图3-1所示，当点Q在线段AD（不包括D）上时，求出，DQ=-x2+13x-25x，CP=7-x，CE=35-5x，DE=30-5x，证明△EQD∽△EPC，得到-x2+13x-25x7-x=30-5x35-5x，解得x=257；当点Q恰好经过点D时，此时点E与点D重合，可得x=6，由（2）得，当Q与D重合时，x=13-692，则此种情形不成立；如图3-2所示，当点【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AQP=∠CPQ，∵∠APQ=∠ADC，∴∠APQ=∠B，∴∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，∴∠BAP=∠CPQ，∴∠BAP=∠PQA，∴△ABP∽（2）解：如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，AB=5∴AH=AB⋅sin∴BH=A∴HP=BP-BH在Rt△AHP中，由勾股定理得A∵△ABP∽∴AQAP∴AQ=A∴y=x当点Q与点D重合时，即y=7时，x2解得x=13-∵点P从点B向C运动时，点Q在AD延长线先向点Q运动，刚好在x=13-692时，运动到Q点，而后在点P继续运动的时候，点Q∴y=x（3）解：如图3-1所示，当点Q在线段AD（不包括D）上时，由（2）得AQ=x∴DQ=AD-AQ=-∵BP=x，且P点不能与C点重合，∴CP=7-x，∴CE=5CP=35-5x，∴DE=CE-CD=30-5x，∵AD∥BC，∴△EQD∽△EPC，∴QDPC=DE∴解得x=25当点Q恰好经过点D时，此时点E与点D重合，∴CE=5CP=CD=5，∴CP=1，∴x=6，由（2）得，当Q与D重合时，x=13-∴此种情形不成立；如图3-2所示，当点Q在AD延长线上时，∴DQ=AQ-AD=x2-13x+25x，∴CE=5CP=35-5x，∴DE=CD-CE=5x-30，同理可证△EQD∽△EPC∴QDPC=DE解得x=25综上所述，BP=x=25【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等，熟知相似三角形的性质与判定条件并灵活运用所学知识是解题的关键．28．（2022·吉林·长春市赫行实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°．sinA=55，AB=10.点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．点N为边AC的中点，连结PN，以PN和PB为边作▱PBMN(1)用含t的代数式表示线段PB的长；(2)当点M落在边BC上时，求t的值及此时▱PBMN与△ABC重叠部分图形的面积．(3)当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，求t的值．(4)作点A关于直线PN的对称点A'，当点A'落在▱PBMN内部时，直接写出【答案】(1)PB=10-5t(0≤t≤2)(2)10(3)t=(4)4【分析】1根据点P的速度即可求解；2作△ABC的高CH交MN于点D，当点M落在边BC上时，根据平行四边形的性质得PB∥MN，PB=MN，得到三角形相似，进而得到MN=12AB=5，利用面积法求出CH=43当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，重叠部分为等腰梯形，画出图形，过点N作NE⊥AB于E，解直角三角形即可得出答案求t的值；4设MN交BC于Q，分别求出当点A'落在线段AB上时，点A'落在线段NQ上时，t的值，即可得【详解】（1）∵点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．∴AP=5t，∵AB=10，∴PB=AB-AP=10-5t0≤t≤2（2）当点M落在边BC上时，如图：作△ABC的高CH交MN于点D，∵四边形PBMN是平行四边形，∴PB∥MN，PB=MN，∴△MCN∽△BCA∴MNAB∵点N为边AC的中点，∴MNAB∴PB=MN=1∵sinA=BC∴BC=25∴AC=A∴CH=AC⋅BC∴DH=1∴▱PBMN与△ABC重叠部分图形的面积为PB⋅DH=5×2=10；（3）当▱PBMN与△ABC重叠部分图形为轴对称图形时，重叠部分为等腰梯形，如图，作△ABC的高CH交MN于点D，过点N作NE⊥AB于E，∴∠NPB=∠CBA，PN=BQ=1由2知CH=4，NE=DH=2，∴PE=P∵CH⊥AB，NE⊥AB，∴NE∥CH，∵点N为边AC的中点，∴AN=1∴AE=A∴AP=AE-PE=3=5t，∴t=3（4）设MN交BC于Q，当点A'落在线段AB∵点A、点A'关于直线PN∴NP⊥AB，由3知AP=4，∴5t=4，∴t=4点A'落在线段NQ上时，连接A∵点A、点A'关于直线PN∴∠ANP=∠A'∵MN∥AB，∴∠A∴AP=AN=25∴5t=25∴t=2∴t的取值范围为45【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．29．（2022·辽宁省鞍山华育外国语实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），