专项训练04 一次函数与面积、最小值（解析版）

一次函数与面积、最小值专项训练卷（2020春•浦北县期末）已知点，，，，若最短，则值是A． B．4 C． D．【分析】由题意知与直线垂直，当、、三点共线时，的值最小，根据此特征列出的方程便可得出结果．【解答】解：点，，，，若最短时，则、、在同一直线上，，，故选：．【点评】本题主要考查了两点之间线段最短，点的坐标特征，关键是确定取最小值时，点的位置．（2022春•五华区期末）如图，在平面直角坐标系中有两点，，点是轴上一点，使最小，则点的坐标为A． B． C． D．【分析】首先利用轴对称找到使最小的点，然后利用一次函数的图象与性质即可求解．【解答】解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴与，则点即满足使最小．，，，设直线的解析式为，，，，当时，，的坐标为．故选：．【点评】本题主要考查了轴对称相关的最短路径问题，同时也利用了一次函数的图象与坐标，有一定的综合性．（2022秋•东阳市期末）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】仿照例题，求出，即可求解；【解答】解：依题意如图，，，，，，，，，代数式的最小值是5．故选：．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．（2021春•射阳县校级期末）如图，等腰的底边长为4，腰的垂直平分线分别交，于点，，若为底边的中点，点为线段上一动点，的周长最小值为8，则的面积是A．10 B．12 C．14 D．16【分析】连接交于点，则的周长的最小值为，求得，，即可的面积．【解答】解：连接交于点，是的垂直平分线，，的周长，的周长的最小值为，是等腰三角形，底边是，为的中点，，，的周长最小值为8，，，，故选：．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、掌握等腰三角形的性质是解题的关键．（2019秋•秦淮区期末）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是A． B．4 C．5 D．【分析】作点关于的对称点，连接，则，利用点到直线垂直线段最短可得出当，点为与的交点时，取得最小值，最小值为，再利用面积法可求出的值，进而可得出的最小值．【解答】解：作点关于的对称点，连接，如图2所示平分，点在直线上，，，当，点为与的交点时，取得最小值，最小值为．在中，，，，，，即，，的最小值为．故选：．【点评】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短，找出当取得最小值时点，的位置是解题的关键．（2022秋•思明区校级期末）如图，等腰中，，，是边上的中线，是边上的动点，是边上动点，当取得最小值时，则的度数为．【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，当、、在同一直线上，且时，取最小值，进而求解．【解答】解：连接，，，，当、、在同一直线上，且时，取最小值．，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了最短路线问题、等腰三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点和的位置．（2022春•静安区期末）如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为或．【分析】由已知求出、的坐标，求出三角形的面积，再利用建立含的方程，把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．【解答】解：直线和轴、轴分别交于点、点，，，，，，，等腰中，，，当点在第二象限内时，连接，，，，即，解得．当点在第一象限内时，连接，，，，即，解得．的值为或．故答案为：或．【点评】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标就建立了联系；把表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键．（2020秋•槐荫区期末）已知两直线：的关系式为，的关系式为，事实上，如果，则有；如果，则有．应用：（1）已知直线、的关系式分别为，，①如果直线，则2；②如果直线，则．（2）有一直线经过原点，且与垂直，将直线向下平移2个单位后得到直线，求直线的关系式．【分析】（1）根据平行或垂直的条件，分别构建方程即可解决问题；（2）根据直线互相垂直，则，可得出直线为，然后根据“上加下减”原则得出直线的解析式即可．【解答】解：（1）直线、的关系式分别为，，①如果直线，则；②如果直线，则，，故答案为2，．（2）过原点直线与垂直，这条直线的解析式为，将直线向下平移2个单位后得到直线，则直线的解析式为．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个值的乘积为；也考查了一次函数图象与几何变换．（2020春•曲阜市校级期末）探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线上的三点、、，有，，发现，兴趣小组提出猜想：若直线上任意两点坐标，，，，则是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，是定值，并且是直线中的，叫做这条直线的斜率．（1）请你应用以上规律直接写出过、两点的直线的斜率．探究活动二（2）数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线与直线垂直于点，，，．请求出直线与直线的斜率之积．综合应用（3）如图3，平面直角坐标系中有两点，，，请结合探究活动二的结论，求出过点且垂直于直线的直线的解析式．【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）运用公式分别求出和的值，再计算；（3）先求直线的斜率，根据探究活动二的结论可得直线的斜率，待定系数法即可求得直线解析式．【解答】解：（1）、；故答案为：；（2），，．，，，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于．（3）设过点且垂直于直线的直线为，解析式为，，，，，直线经过点，，解得直线的解析式为．【点评】本题主要考查了圆的切线性质，待定系数法求一次函数解析式，新定义：直线斜率；是一道创新题，引入新定义：直线斜率，理解和掌握直线斜率的概念是解题的关键．（2018•沙坪坝区校级期末）如图，直线分别与直线、直线交于、两点，直线交轴于点，直线与轴和轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为，的横坐标为1，，，连．（1）求直线的解析式；（2）求的面积．【分析】（1）利用，求得点的坐标，再根据点的坐标，即可得出直线的解析式，依据，以及点的坐标，即可得出直线的解析式；（2）在中，令，则，即可得到，依据与的面积之和等于的面积，即可得到结果．【解答】解：（1）在中，令，则，，，，，把点，的坐标代入，可得，解得，，在中，令，则，，，，把代入可得，，，直线的解析式为；（2）在中，令，则，，，．【点评】本题考查了一次函数的相关知识，特别是求一次函数与两直线的交点坐标，解题时注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．（2022春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动．（1）求直线的解析式；（2）直线交轴于点，求的面积；（3）当的面积是面积的3倍时，求出这时点的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求得的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解；（3）当的面积是面积的3倍时，根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标．【解答】解：（1）设直线的解析式是，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是：；（2）在中，令，解得：，；（3）当在线段时，设的解析式是，把代入得：，解得：，则直线的解析式是：，的面积是面积的3倍时，当的横坐标是，在中，当时，，则的坐标是；当在射线上时在中，时，则，则的坐标是；当的横坐标是时，在中，当时，，则的坐标是；综上所述：的坐标是：或或．【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用点横坐标为分别求出其纵坐标是解题关键．（2021秋•莲都区期末）已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，点的坐标为．（1）求点，点的坐标；（2）过点作直线，与交于点，且，求点的坐标；（3）连接，将沿轴向左平移得到△，再将以，，，为顶点的四边形沿剪开得到两个图形．若用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，求平移的距离．【分析】（1）根据点与图象的关系求解；（2）根据三角形的面积公式列方程求解；（3）根据图形分类讨论求解．【解答】解：（1）当时，，当时，，解得：，，；（2）设，则，，，解得：，，解得：，或，，或，；（3）①如下图：由题意得：△△，，，平移的距离为：12；①如下图：由题意得：与重合，平移的距离为：8；③如下图：由题意得：△△，，平移的距离为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上的坐标特征，数形结合思想是解题的关键．（2021秋•雅安期末）已知如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点．①求点和点的坐标；②请判断的形状并说明理由；③在直线上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】①令，求得点的坐标，联立①②并求得点的坐标；②证明，即可求解；③分、、三种情况，列出等式，进而求解．【解答】解：①对于①和②，令，解得：，即点，联立①②并解得：，即点；②为直角三角形，理由：由①知，点、、的坐标分别为、、，由勾股定理得：，同理可得：，，则，为直角三角形；③存在，理由：设点，则，，，当时，即，解得：，即点的坐标为，或，；当时，则，解得：，即点的坐标为，；当时，则，解得：，即点；综上，点的坐标为，或，或，或．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，两点间的距离公式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握两点间的距离公式表示各线段的长是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．（2021秋•沈河区校级期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点为直线上一动点（点不与点重合），连结．（1）当点中时，的面积为2；（2）在点的运动过程中，请直接写出的面积与之间的函数关系式及相应自变量的取值范围；（3）当点运动到什么位置时，的面积为5？请直接写出此时点的坐标．【分析】（1）先求出点坐标，根据三角形面积公式求解．（2）先求出点坐标为2，分类讨论与两种情况，根据三角形面积公式求解．（3）将代入与的关系式中，进而求解．【解答】解：（1）把代入得，点坐标为，．故答案为：2．把代入得，点坐标为，当时，，当时，，．（3）把代入得，解得，把代入得，．把代入得，解得，把代入得，，故答案为：或．【点评】本题考查一次函数与三角形的结合，解题关键是掌握一次函数的性质，掌握求三角形的面积公式．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，过点作直线的垂线，交轴于点．（1）求直线的函数关系式；（2）连接，求的面积；（3）点是轴上一点，是否存在这样的点，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求解析式；（2）设直线的解析式，利用待定系数法确定函数关系式，再根据三角形面积公式解答即可；（3）分、、三种情况，利用等腰三角形边相等，分别求解即可．【解答】解：（1），，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为；（2）将直线绕着点顺时针旋转后，分别与轴、轴交于点、，设直线的解析式为：，，，直线的解析式为：，令，可得：，，的面积；（3）存在，设点，由、、的坐标得：，，，当时，即，解得或6（舍去）；当时，同理可得：；当时，同理可得：；综上，点的坐标为或，或，或，．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．（2021春•本溪期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．（1）求的面积；（2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标；（3）点，在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．【分析】（1）根据，求得，；（2）设代入得出的坐标；（3）分为和，求出与轴，轴的交点坐标．【解答】解：（1）当时，，，当时，，解得：，，．，的面积是6．（2），设，，，，．当在第二象限时，同法可得坐标为，，，，综上所述，满足条件的点的坐标为，或，．（3）当，与轴交于，设的函数关系式是：，，，，在中，由勾股定理得，，，，的函数关系式是：，，，当，与轴交于，与轴交于，设的函数关系式，又直线过点，，，，当时，，，，，，综上所述，当是以为直角边的直角三角形时，坐标轴上存在点坐标是，，，，．【点评】本题考查的是一次函数图象与坐标轴之间的关系．解决问题的关键是根据线段关系设点的坐标，以及利用勾股定理列方程求一次函数中的“”．（2021秋•高陵区期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线，交于点．（1）求直线的函数表达式．（2）试说明．（3）若为直线上一点，当时，求点的坐标．【分析】（1）将．代入即可得出和的值；（2）首先求出点的坐标，过点作轴于，利用证明即可；（3）当点在点上方时，则，得直线的函数解析式为，可求出交点的坐标，当点在点的下方时，设点关于轴的对称点为，连接交为点，同理求出直线的函数解析式，从而解决问题．【解答】解：（1）将．代入得，，解得，直线的函数解析式为；（2）当时，，，过点作轴于，，，，，；（3），点在上有两个位置，当点在点上方时，如图，，直线的函数解析式为，，，当时，，，，当点在点的下方时，设点关于轴的对称点为，连接交为点，，则直线的函数解析式为，直线与的交点为，综上所述：，或．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数图象交点问题，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式等知识，明确两直线平行则值相等是解题的关键．（2021春•青羊区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点、，连接．在直线上有一动点．（1）求直线的解析式；（2）若，求满足条件的点坐标；（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当点在直线的上方时，过点作直线交轴于点，作直线交轴于点，，则直线与直线之间的距离和直线与直线之间的距离为，则，即可求解；当点在直线的下方时，同理可解；（3）分、、三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）直线过点，则设直线的表达式为，将点的坐标代入上式得：，解得，故直线的表达式为①；（2）对于，令，解得，故点，对于，令，则，故点，①当点在直线的上方时，过点作直线交轴于点，作直线交轴于点，，则直线与直线之间的距离和直线与直线之间的距离为，则，直线，设直线的表达式为，将点的坐标代入上式得：，解得，故点，，故点的坐标为，同理可得，直线的表达式为②，联立①②并解得，故点；②当点在直线的下方时，同理可得，点；综上，点的坐标为或；（3）存在，理由：设点，由点、、的坐标得：，，，当时，即，解得（舍去）；当时，同理可得：；当时，同理可得：；综上，点的坐标为，或，或，或．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏．（2020秋•丘北县期末）如图，在中，以为原点构建直角坐标系，点在轴上，与轴交于点，已知，．（1）求直线的解析式；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点，则，解得：，进而求解；（3）由题意可得是直角三角形需分两种情况讨论：①，此时点的坐标为；②，由即可求解．【解答】解：（1）由条件可得：，，设直线的解析式为：，则，解得：，直线的解析式为：；（2）设点，则，解得：，点的坐标为；（3）存在，理由如下：设点为，，，，由题意可得是直角三角形需分两种情况讨论：①，此时点的坐标为；②，，即，解得：，此时点的坐标为；综上所述，存在满足条件的点的坐标为或．【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．（2022秋•中原区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．（1）求和的值；（2）直线与轴交于点，动点在轴上．①若的面积为8，求点坐标；②是否存在点使为等腰三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）分别将点代入，中，即可求、的值；（2）①求出点坐标，由，求出的长，即可求点坐标；②设，分别求出，，，再由等腰三角形边的关系，分三种情况分别求点坐标即可．【解答】解：（1）将点代入，，解得，将点代入，，解得；（2）①中，令，则，，中，令，则，，，，，或；②存在点使为等腰三角形，理由如下：设，，，，当时，，解得，；当时，，解得或，，或，；当时，，解得或（舍去），；综上所述：点坐标为，或，或或．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．（2021秋•历城区期末）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，两直线交于点，解答下列问题：（1）求，的值和点的坐标；（2）若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标；（3）若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点的坐标．【分析】（1）用代入法求、的值，联立方程组，求点坐标；（2）设，分别求出，，，分三种情况：①当为斜边时；②当为斜边时；③当为斜边时；结合勾股定理求解即可；（3）设，分别求出，，，分两种情况：①当时；②当时；列出方程求解即可．【解答】解：（1）将点代入，，，将点代入，，解得，，联立方程组，解得，；（2）设，令，则，解得，，，，，①当为斜边时，，解得或（舍，；②当为斜边时，，解得，；③当为斜边时，，解得（舍；综上所述：点坐标为或；（3）设，，，，①当，，解得或，或；②当，，解得或，或；综上所述：点坐标为或或或．【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．（2021秋•双流区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线于点．已知位于第三象限的点在直线上，且．（1）求点的坐标；（2）已知点，在轴负半轴上，点是上一点，连接，，则的值最小，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，若轴上有一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标．【分析】（1）求出点、点的坐标，过点作轴于点，证明，由边的对应关系可求点的坐标为；（2）求出直线的解析式为，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结，此时的值最小，先求出的坐标为，再求直线的解析式为，则直线与直线的交点即为点；（3）设，求出，，，分三种情况讨论：①当时，点坐标为，；②当时，点坐标，或，；③当时，，．【解答】解：（1）令，则，的坐标为，令，则，的坐标为，，，如图1，过点作轴于点，，直线，，，，，，，点的坐标为；（2）点和点直线上，设直线的解析式为，，，，如图2，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结，由对称性可知，，，此时的值最小，，是与的中点，设，，，的坐标为，直线过和，，设直线的解析式为，，，直线的表达式为，由题意，直线与直线的交点即为点，联立方程组，解得，点坐标为，；（3）设，，，，①当时，，解得，点坐标为，；②当时，，解得或，点坐标，或，；③当时，，解得，，；综上所述：点坐标为，或，或，或，．【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．（2021秋•天府新区期末）已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于，两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．（1）求直线的表达式和点的坐标；（2）点是轴上的一动点，当时，求点坐标；（3）如图2，点坐标为，连接，点为直线上一点，且，求点坐标．【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可；（2）由题意可得，设，则，即可求的坐标；（3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标为，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求，；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得，，求出直线的解析式为，联立方程组，则可求，．【解答】解：（1）设直线的解析式为，，，则有，，，，；（2），，，设，，或，或；（3）①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，，，过作轴垂线，分别过，作，，，，，，，，，，即点坐标为，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，联立，解得，，；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，，，，，，，，，，，，，，，，设直线的解析式为，，，，联立方程组，解得，，，综合上所述，点坐标为，或，．【点评】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．（2021秋•济南期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．（1）求直线的表达式与点的坐标；（2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点．试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）试探究轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）分别求出，，再确定函数解析式即可；（2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标；（3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解．【解答】解：（1）令，则，，，令，则，，一次函数的图象经过点，，，令，则，；（2）存在，理由如下：设，则，，，，