九年级培优平行四边形辅导专题训练附答案

如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②);再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到ΔAEF（如图③).小明认为ΔAEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④),求人MNF的大小.【答案】（1）125°;（2）同意；（3）60°【解析】试题分析1）根据直角三角形的两个锐角互余求得人AEB=70°,根据折叠重合的角相等，得人BEF=人DEF=55°,根据平行线的性质得到人EFC=125°,再根据折叠的性质得到所以AE=AF，即ΔAEF为等腰三角形.（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0<θ＜90°),过点B作的数量关系？请说明理由.②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明.③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、【答案】（1）AB=2OE2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE证明见解析;③BF【解析】试题分析1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明ΔAOE和ΔOBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明ΔAOE和ΔOBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；③同②的方法可证.12∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE：四边形ABCD为正方形：AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE.②AF﹣BF=2OE：四边形ABCD是正方形：AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，∴∠AOE+∠AOG=90°.∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GFAE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°,若存在，请给与（3）如图3，当b＜2a时2）中的结（2）存在，理由见解析;（3）不成立．理由如下见解析.【解析】是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°,则可求得∠BMC=90°;（2）由∠BMC=90°,易证得ΔABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定Δ>0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a案.：（）：：AB=AM=MD=DC=a，：AMAB2﹣bx+a2=0，:Δ=b2﹣4a2＞0，：方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，（3）不成立.﹣bx+a2=0，:Δ=b2﹣4a2＜0，：当b＜2a时，不存在人BMC=90°,即（2）中的结论不成立.作平行四边形ABFD，连接AF.(2)①将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②,连接AE，请判断程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度.；（【解析】【分析】EKF≌EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；②分两种情形a、如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当AD=AC时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.【详解】:AB=DF，AB=AC，:AC=DF，:AE=EF，::AF=2AE.故答案为AF=2AE.::ZDKE=ZABC=45，:ZEKF=180-ZDKE=135，EK=ED，:ZEKF=ZADE，ZDKC=ZC，:DK=DC，DF=AB=AC，:KF=AD，在EKF和EDA中，|lKF=AD:EKF≌EDA，:EF=EA，ZKEF=ZAED，:ZFEA=ZBED=90，::AF=2AE.②如图③中，当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知如图④中当AD=AC时，四边形ABFD是菱形，易知【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型.AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFED为菱形，理由见解析.【解析】：（（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案.：（）：在ΔEOD和ΔFOB中,：：，：，：，：考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.（3）当ΔACE为直角三角形时，求边BC的长.2--x2)2）人AEC=105°;（3）边BC的长为【解析】试题分析1）过A作AH工BC于H，得到四边形ADCH为矩形．在ΔBAH中，由勾股定理即可得出结论.则则可得到结论.解ΔABH即可得到结论.②当人CAE=90°时，易知ΔCDA…ΔBCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解1）过A作AH工BC于H．由人D=人BCD=90°,得四边形ADCH为矩形.2，：人AEC=70°+35°=105°.22点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.7．(1)如图①,在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF工BD，交(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②,点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③,当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量【解析】【分析】（2）IH＝3FH．只要证明ΔIJF是等边三角形即可.2＝AG2+CE2．如图3中，将ΔADG绕点D逆时针旋转90°得到ΔDCM，先证【详解】在ΔDOE和ΔBOF中，|〈OD＝OB，：四边形EBFD是菱形.在ΔDHJ和ΔGHF中，〈DH＝GH，:ΔMEJ是等边三角形，在ΔBIF和ΔMJI中，|：IH工JF，:ΔJIF是等边三角形，，：2＝AG2+CE2.理由：如图3中，将ΔADG绕点D逆时针旋转90°得到ΔDCM，在ΔDEM和ΔDEG中，〈经EDG＝经EDM，|lDG＝DM【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.8．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】（2）根据勾股定理画出图形即可.（2）等腰直角三角形MON面积是5，因此正方形面积是20，如图2所示；于是根据勾股（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数.【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由；（【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】：AD工BD，：AD工BD，AEPDBEBP【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，如图（3）在（2）的条件下，正方形OE′F′G′的边OG′与正方形ABCD的边相交于点N，如图3，设旋转角为α（0°<α＜180°),若ΔAON是等腰三角形，请直接写出α的值.【答案】（1）证明见解析2）证明见解析3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°【解析】【分析】1（1）由四边形OEFG是正方形，得到ME=-GE，根据三角形的中位线的性质得到212人AOD=人COD=90°,由四边形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，人E′OG′=90°,由旋转的性质（3）分类讨论，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】：：112：CD=GE，：将正方形OEFG绕点O逆时针旋转，得到正方形OE′F′G′，在ΔAG′O与ΔODE′中，：AG′工DE′；∴α=90°-45°=45°;∴∠ANO=∠AON=67.5°,∴α=∠ANO+90°=112.5°;∴α=90°+45°=135°,Ⅲ、当AN=AO时，旋转角a=∠ANO+90°=67.5+90=157【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当ΔAON是等腰三角形时，求α的度数是本题的难点.），（2）当点P运动到如图2所示位置时，请有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明.【答案】（1）OE＝OF．理由见解析2）补全图形如图所示见解析，OE＝OF仍然成【解析】【分析】12（3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可.【详解】|||2（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE.②如图3，当点P在线段OA延长线上时.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决.CGCE接写出x的取值范围.【答案】（15，-2）ΔEBG是直角三角形，理由详见解析3）-4）S=-x2﹣—x+48（0≤x≤—).【解析】【分析】（1）①利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜边中线（2）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断；（4）利用相似多边形的性质构建函数关系式即可；【详解】ADAD2+AB2ΔBCD212=-.：DE=BE，12CMENCEEF4，：：BH=FH=CH，：EH=HG=HF=HC，：BH=EH=HG，:ΔEBG是直角三角形.，：CGBC63.CEDC84CGCD3-CECB4SCECE2：矩形CEFG=2=─矩形ABCD矩形ABCD：CE2=（--x）2+）2矩形ABCD：S矩形CEFG=--42+2].：矩形CEFG的面积S=-x2--x+48（【点睛】本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题，属于中考压轴题.），（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；能，试说明理由.2【解析】求出BO的长即可.（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立.出符合要求的AP的长.：PB=PE.：BO=PF.2，：222（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示.22若ΔPEC为等腰三角形，则EP=EC.∴∠PEC=90°,与∠PEC＞90°矛盾，∴∠CPE=∠CEP=22.5°.∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°.∴∠ABP=67.5°,∴∠ABP=∠APB.∴AP=AB=1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.14．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD.若变化，说明变化的规律.【答案】（1）120°;（2）①25；②25【解析】：（解1AE=AB，AD=AC，AC=AD（2）①如图2，以AB为边在ΔABC外作正三角形ABE，连接CE.：EC=BD.：EC=BD=6，：EC2=EB2+B