八年级数学上学期第一次月考测试卷(北师大版测试范围-第一章、第二章)解析版

2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第一章、第二章（北师大版）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．在3.14、﹣、、π、2.01001000100001这五个数中，无理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：﹣＝﹣5，＝3，只有π是无理数，即无理数有1个，故选：A．2．下列计算正确的是（）A．＝±3 B．＝9 C．＝﹣3 D．4【答案】C【分析】根据二次根式的性质把给出的式子进行化简，即可得出答案．【解答】解：A、＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣）2＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；C、﹣＝﹣3，原计算正确，故此选项符合题意；D、＝＝，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C．3．判断下列各组数能作为直角三角形三边的是（）A．3，4，6 B．4，5，7 C．2，3， D．7，6，【答案】D【分析】先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可．【解答】解：A、∵32+42≠62，∴不能作为直角三角形三边；B、∵42+52≠72，∴不能作为直角三角形三边；C、∵22+（）2≠32，∴不能作为直角三角形三边；D、∵62+（）2＝72，∴能作为直角三角形三边．故选：D．4．把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的4倍，则其斜边（）A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的8倍 C．不变 D．扩大到原来的12倍【答案】A【分析】根据勾股定理分别表示出原直角三角形的斜边长和扩大后的直角三角形的斜边长，得到答案．【解答】解：设直角三角形两直角边分别为a、b，则扩大后的直角三角形的两直角边分别为4a、4b，由勾股定理得，原直角三角形的斜边长＝，扩大后的直角三角形的斜边长＝＝4，∴把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的4倍，则其斜边扩大到原来的4倍，故选：A．5．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝，不是最简二次根式；B、＝＝，不是最简二次根式；C、是最简二次根式；D、＝5，不是最简二次根式；故选：C．6．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2【答案】B【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：B．7．如图矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的点是﹣1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是（）A． B． C． D．1﹣【答案】B【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出点E表示的实数．【解答】解：如图所示：连接AC，由题意可得：AC＝，则点E表示的实数是：﹣1．故选：B．8．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（）A．13海里 B．16海里 C．20海里 D．26海里【答案】D【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了24，18．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），根据勾股定理得：＝26（海里）．答：离开港口2小时后两船相距26海里，故选：D．9．如图，一根长为2.5m的梯子AB斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为0.7m，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8m至D处则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC为（）A．0.4m B．0.5m C．0.8m D．0.7m【答案】A【分析】在Rt△ABE中求出AE，在Rt△CDE中求出CE，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．【解答】解：由题意得，AB＝CD＝2.5m，BE＝0.7m，DE＝1.5m，在Rt△ABE中，AE＝＝2.4m，在Rt△CDE中，CE＝＝2m，∴梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC＝2.4﹣2＝0.4m．故选：A．10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（）A．9 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．故选：C．第Ⅱ卷填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．a是9的算术平方根，而b的算术平方根是9，则a+b＝84．【答案】见试题解答内容【分析】先根据算术平方根的定义求出a、b的值，然后算出a+b即可．【解答】解：∵a是9的算术平方根，∴a＝3，又∵b的算术平方根是9，∴b＝81，∴a+b＝3+81＝84．故答案为：84．12．若最简根式与是可以合并的二次根式，则a的值是2．【答案】见试题解答内容【分析】利用题意可判断与为同类二次根式，则a+3＝11﹣3a，然后解关于a的方程即可．【解答】解：根据题意得a+3＝11﹣3a，解得a＝2．故答案为2．13．比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：＞．【答案】见试题解答内容【分析】两数相减后，根据正负情况，即可得到答案．【解答】解：﹣＝﹣＝，∵11＝，6＝，，∴＞0，∴＞，故答案为：＞．14．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为3．【答案】见试题解答内容【分析】求出AC的长度；证明EF＝EB（设为λ），得到CE＝8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，DC＝AB＝6；由勾股定理得：AC2＝AD2+DC2，∴AC＝10；由题意得：∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝6；EF＝EB（设为λ），∴CF＝10﹣6＝4，CE＝8﹣λ；由勾股定理得：（8﹣λ）2＝λ2+42，解得：λ＝3，∴EF＝3．故答案为：315．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么2a+b的值为3+．【答案】3+．【分析】直接利用的取值范围，得出a，b的值，进而求出答案．【解答】解：∵3＜＜4，且a是实数的整数部分，b是的小数部分，∴a＝3，b＝，∴2a+b＝2×3+﹣3＝3+．故答案为：3+．16．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要10cm．【答案】见试题解答内容【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接AB′，∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．故答案为：10．三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：（1）；（2）．【答案】（1）5．（2）3．【分析】（1）根据二次根式的乘法运算以及零指数幂的意义即可求出答案．（2）根据二次根式的乘除运算法则以及加减运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝+1＝4+1＝5．（2）原式＝+2﹣＝2+2﹣＝3．18．（6分）解方程：①（4x+1）2＝．②8x3+125＝0．【答案】（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x＝﹣．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）先把方程变形为x3＝﹣，然后利用直接开立方法解方程．【解答】解：①∵（4x+1）2＝，∴4x+1＝±，解得：x1＝，x2＝﹣；②∵8x3+125＝0，∴x3＝﹣，∴x＝﹣．19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据勾股定理计算；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25；（2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150；（3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150则CD＝＝12．20．（6分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的小数部分为c．（1）分别求出a，b，c的值；（2）求c2+ac+bc+1的平方根．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出2a+4＝8，3a+b﹣1＝9，c＝﹣3，求出a、b即可；（2）求出c2+ac+bc+1的值，再求出平方根即可．【解答】解：（1）∵2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的小数部分为c，∴2a+4＝8，3a+b﹣1＝9，c＝﹣3，解得：a＝2，b＝4，c＝﹣3；（2）c2+ac+bc+1＝（﹣3）2+2（﹣3）+4（﹣3）+1＝5，即c2+ac+bc+1的平方根为．21．（8分）某公司的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB＝2.3m，BC＝2m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.5m，宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由．【答案】能通过，理由见解析．【分析】因为上部是以AD为直径的半圆，O为AD中点，同时也为半圆的圆心，OG为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出GF的长度．EF的长度等于DC的长度．如果EG的长度大于2.5m货车可以通过，否则不能通过．【解答】解：能通过，理由如下：设点O为半圆的圆心，则O为AD的中点，OG为半圆的半径，如图，∵直径AD＝2m，∴半径OG＝1m，OF＝1.6÷2＝0.8（m），在Rt△OFG中，FG2＝OG2﹣OF2＝12﹣0.82＝0.36（m）；∴FG＝0.6m，∴EG＝0.6+2.3＝2.9m＞2.5m．∴能通过．22．（8分）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图中四边形ABCD为正方形，求出此正方形的面积及其边长；（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，点E与1重合，点F与点D关于E点对称，那么点D在数轴上表示的数为﹣1﹣2；点F在数轴上表示的数为3+2．【答案】（1）4；（2）8，2；（3）﹣1﹣2，3+2．【分析】（1）根据立方根的定义即可解答；（2）求出每个小立方体的棱长，根据勾股定理即可求出正方形ABCD的边长，从而得到面积；（3）﹣1减去正方形的边长即可得到点D表示的数，设点F在数轴上表示的数为a，根据点F与点D关于E点对称，即可求出点F表示的数．【解答】解：（1）＝4，答：这个魔方的棱长为4；（2）∵魔方是由8个同样大小的立方体组成，魔方的棱长为4，∴每个小立方体的棱长为2，∴正方形ABCD的边长为＝2，正方形ABCD的面积为（2）2＝8；（3）∵正方形ABCD的边长为2，∴点D表示的数为﹣1﹣2，设点F在数轴上表示的数为a，∵点F与点D关于E点对称，∴﹣1﹣2+a＝1×2，∴a＝3+2，∴点F表示的数为3+2，故答案为：﹣1﹣2，3+2．23．（10分）如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB＝4，BC＝8．（1）求DF的长；（2）求△DBF和△DEF的面积；（3）求△DBF中F点到BD边上的距离．【答案】见试题解答内容【分析】（1）易证BF＝FD，在直角△ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长；（2）由折叠的性质得BE＝BC＝8，DE＝CD＝4，∠E＝90°，EF＝BE﹣BF＝3，由S△DEF＝EF•DE，S△DBF＝S△BDE﹣S△DEF即可得出结果；（3）由勾股定理得出BD＝＝4，设F到BD边上的距离为h，则S△DBF＝BD•h，即可得出结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，∠A＝90°，AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB，由折叠性质得：∠DBC＝∠DBE，∴∠FDB＝∠FBD，∴BF＝FD，设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+AF2＝BF2，即：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴DF＝8﹣3＝5；（2）由折叠的性质得：BE＝BC＝8，DE＝CD＝4，∠E＝90°，EF＝BE﹣BF＝8﹣5＝3，∴S△DEF＝EF•DE＝×3×4＝6，S△DBF＝S△BDE﹣S△DEF＝BE•DE﹣6＝×8×4﹣6＝10；（3）BD＝＝＝4，设F到BD边上的距离为h，则S△DBF＝BD•h，即：10＝×4h，解得：h＝，∴F到BD边上的距离为．24．（10分）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为（a+b）2，又可表示为c2+4×ab，所以（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2+2ab＝c2+2ab，所以a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．【答案】见试题解答内容【分析】②梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；③连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a根据S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC，S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB列出关系式，化简即可得证；④根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【解答】解：②梯形的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也可利用表示为ab+c2+ab，∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，即a2+b2＝c2②连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a∵S四边形ADCB＝S△ACD+S