广东省潮州市2023届高三二模数学试题

广东省潮州市2023届高三二模数学试题一、单选题1．已知全集U=R，A={x|−1≤x<2}，则∁UA．{x|x<−1} B．{x|x<−1或C．{x|x≥2} D．{x|x≤−1或2．|5+iA．13 B．11 C．7 D．53．若3sinα+2cosA．-3 B．3 C．-2 D．24．已知圆M：A．点(4，0)在圆B．若圆M与圆x2+C．直线x−3y=0与圆D．圆M关于4x+3y−2=0对称5．若f(x)=sin(2x+π6)在区间[−tA．[π6，π2] B．(0，6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的体积为（）A．5023π B．9π C．7π7．设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)A．6x±2y=0 B．2x±6y=0 C．2x±3y=08．已知函数f(x)=|sinx|，g(x)=kx(k>0)，若f(x)与g(x)图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x1，xA．若n=1，则k>1 B．若n=3，则2C．若n=4，则x1+x4>二、多选题9．设向量a=(1，−1)，A．|B．(C．(D．a在b上的投影向量为（1，0）10．根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（）A．平均数小于4B．平均数小于4且极差小于或等于3C．平均数小于4且标准差小于或等于4D．众数等于5且极差小于或等于411．对于一个事件E，用n(E)表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，D中，nA．A与D不互斥 B．A与B互为对立C．A与C相互独立 D．B与C相互独立12．在正方体ABCD−A1B1C1DA．当B1P//平面A1BD时，B．当λ=μ时，|DP|+|C．若B1P与平面CC1D．当λ=1时，正方体经过点A1､P､C的截面面积的取值范围为三、填空题13．(x−1x)10的展开式中14．已知函数f(x)=lnx+1x−1+m+1（其中e是自然对数的底数，e≈2.15．过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，点A，B16．将数列{aaa2，a4，a5，aa8，a9，a10，a11，a12，…已知各行的第一个数a1，a2，a4，a8，…构成数列{bn}，b2=3且{bn}的前n项和四、解答题17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3tan（1）求角B的大小；（2）求cosA+18．新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期不高于6天的患者，称“短潜伏者”，潜伏期高于6天的患者，称“长潜伏者”.（1）求这500名患者中“长潜伏者”的人数，并估计样本的80%分位数（精确到0（2）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望.19．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的直线CE与平面ACG所成角的正弦值.20．已知数列{an}满足a（1）证明数列{ln(a（2）若bn=1an+1an21．已知椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点Q(3，−12)和点A(x0，y0)(x0y0≠0)，（1）求|MN|的长度；（2）求四边形ABCD面积的最大值.22．已知函数f(x)=ex−a(（1）求实数a的取值范围；（2）若f(x)的两个零点分别为x1，x2，证明：

答案解析部分1．【答案】B【知识点】补集及其运算【解析】【解答】解：因为全集U=R，A={x|−1≤x<2}，所以∁UA={故答案为：B

【分析】根据补集的定义可得答案.2．【答案】A【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】解：5+i1−i所以|5+i故答案为：A

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简5+i1−i3．【答案】A【知识点】两角和与差的正切公式【解析】【解答】因为3sinα+2cos所以，tan(α+故答案为：A.

【分析】利用弦化切可求得tanα=2，再利用两角和的正切公式可求得tan4．【答案】B【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】圆M：x2+y2−4x+3=0对于A：因为(4−2)2+0对于B：若圆M与圆x2圆x2+y2−4x−6y+a=0半径为r2=13−a，a<13解得a=9，B符合题意；对于C：O1(2，0)与圆M相切，C不符合题意；对于D：显然圆心O1(2，0)对称，D不符合题意；故答案为：B

【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；由O1(25．【答案】D【知识点】正弦函数的单调性【解析】【解答】令−π所以−π3所以函数f(x)的单调增区间为[−π3又因为f(x)在[−t，则[−t，t]是[−π当k=0时，即[−π若[−t，t]是则t∈(0故答案为：D．

【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.6．【答案】D【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】设圆台上下底面的半径分别为r1，r2，由题意可知13×2π×6=2πr图中OD=r1=1过点D向AP作垂线，垂足为T，则AT=r所以圆台的高ℎ=A则上底面面积S1=π×1V=1故答案为：D.

【分析】将圆台的侧面展开图还原可得圆台，并根据圆弧所在圆的半径和圆心角计算出圆台的高和上底面面积，再根据圆台的体积公式可求出答案.7．【答案】A【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】设双曲线左焦点为F1，点A在双曲线右支，根据对称性知四边形A由已知可得|AF1|=|BF|=3|AF|，又由双曲线的定义知，|AF1又|AB|=2|OF|=|FF1|=2c，所以四边形A在Rt△FAF1中，有|AF|2所以a2=25c2，所以，双曲线的渐近线方程为y=±bax=±故答案为：A.

【分析】设双曲线左焦点为F1，点A在双曲线右支，根据对称性知四边形AF1BF是平行四边形，由已知可得|AF1|=|BF|=3|AF|，根据双曲线的定义可推得|AF|=a，|A8．【答案】B【知识点】函数的周期性；正弦函数的定义域和值域；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】对于A：当k=1时，令y=sinx−x，则y′又当x=0时y=0，所以函数y=sin同理易知函数y=−sinx−x有且仅有一个零点为0，即f(x)与对于B：当n=3时，如下图：易知在x=x3，且x3∈(π，由当x∈(π，2π)时，f(x)=−sinx，则故k=−cosx3所以1x对于C：当n=4时，如下图：则x1=0，π<x4<2π，所以x结合图象有x3−π>π−x对于D：当k=22023π时，由f(x)与g(x)的图象在y轴右侧的前故答案为：B.

【分析】对于A，根据函数与方程的关系，两函数作差构造新函数，利用导数研究其零点个数，可得答案；对于B，由题意，作图，可得函数在x=x9．【答案】A,C,D【知识点】平面向量数量积的运算；向量的投影【解析】【解答】a−b=(−1，−1)，|(a向量a=(1，−1)在向量b=(2，0)上的投影为：|a故答案为：ACD.

【分析】根据平面向量数量积的运算性质逐一进行判断即可。10．【答案】B,D【知识点】收集数据的方法；众数、中位数、平均数【解析】【解答】对于A，举反例：0，0，0，0，15平均数为3小于4，但不符合入冬标准，A不符合题意；对于B，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值为大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，B项正确；对于C，举反例：1，1，1，1，11平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，C不符合题意；对于D，众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，D项正确；故答案为：BD.

【分析】分析每个选项数据是否有可能大于10，选出符合题意选项.11．【答案】B,C,D【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】对于A：∵n(A)=60，n(D)=10，n∴n(∴A与D互斥，A不符合题意；对于B：∵n∴A与B互为对立，B符合题意；对于C：∵P(A)=n(A)n(Ω)=P(A∩C)=n(A∩C)∴P(A∩C)=P(A)P(C)=3∴A与C相互独立，C符合题意；对于D：∵nn(∴n(B∩C)=8，∴P(B∩C)=n(B∩C)又∵P(B)=n(B)n(Ω)=∴P(B∩C)=P(B)P(C)=2∴B与C相互独立，D符合题意；故答案为：BCD.

【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件概率计算公式即可求解.12．【答案】A,C【知识点】直线与平面所成的角；余弦定理【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，则A(0，所以CD则BA1=(−1，0所以BA令x=1，则y=z=1，即平面A1BD的一个法向量为若B1P//平面A1BD故λ=μ，故B1P=(−λ令|cos解得：λ=0或1，故B1P与CDB选项，因为λ=μ，故P点在棱CD如图，将平面CDD1与平面A1线段A1D即为利用余弦定理可得：A1所以A1C选项，因为B1C1⊥平面CC1D1D，连接若B1P与平面CC1D1D即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的1于是点P的轨迹长度为14D选项，当λ=1时，P点在DD1上，过点A1作A1H//CP则CH//A1P，所以平行四边形设P(0，所以PC=(1，0，−t)所以点P到直线A1C的距离为于是当t=12时，dmin=2当t=0或1时，dmax=63，故截面面积的取值范围为[6故答案为：AC

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，得到CD1→=(−1，0，1)，B1P→=(−λ，1，μ−1)，求出平面A1BD的一个法向量，由n⋅B1P=0，求出λ=μ，再根据|cos⟨B1P→，CD1→⟩|=12，求出λ=0或1，得到A正确；

B选项，先根据λ=μ，得到点P在棱CD1上，将平面CDD1与平面A1BC13．【答案】210【知识点】二项式定理【解析】【解答】(x−1x)令10−32r=1⇒r=6，所以展开式中x故答案为：210

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.14．【答案】-1【知识点】奇函数【解析】【解答】对于函数f(x)=lnx+1x−1+m+1，x+1x−1所以，函数f(x)的定义域为(−∞，因为函数f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，即f(−x)+f(x)=0，即ln−x+1−x−1+故答案为：-1.

【分析】利用奇函数的性质可得出f(−x)+f(x)=0，结合对数运算可得出m=−1.15．【答案】5【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】如图，连PF，PB，由抛物线的定义可知，|AF|=|AA1|，又∠PA所以△PAA1≅△PAF，所以|PA所以|PF因为|BF|=|B所以△PFB≅△PB1B所以|PA1|=故点P到直线l的距离为5.故答案为：5

【分析】连PF，PB，根据抛物线的定义以及∠PAA1=∠PAF，证明△PAA1≅△PAF，从而推出|PA1|=|PF16．【答案】1344【知识点】数列的应用【解析】【解答】解：∵Sn+1+Sn−1=2∴Sn+1−S∴数列{bn}的通项公式为bn=3+2（n−2）=2n−1观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列{an}∵27−1=127，∵b8=a128=2×8−1=15，且a∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为11×32+故答案为：1344．

【分析】根据Sn所满足的条件，求出数列bn=2n−1，由a130在表中的位置，得17．【答案】（1）解：tan(A+C)=又A+C=π−B，所以tan(A+C)=由于B为三角形的内角，所以B=π（2）解：由于B=π3，所以故cosA+由于△ABC为锐角三角形，所以A=2π3−C∈(0，π则C−π3∈(−故cosA+cos【知识点】两角和与差的正切公式；余弦函数的定义域和值域【解析】【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，

（2）根据三角函数的性质即可求解.18．【答案】（1）解：这500名患者中“长潜伏者”的频率为(0.所以，“长潜伏者”的人数为500×0.由频率分布直方图可知，潜伏期不高于6天的患者所占的比例为1−0.潜伏期不高于8天的患者所占的比例为0.因此，80%分位数一定位于[6由6+2×0.8−0.5（2）解：X所有可能的取值为1000、1500、2000，P(X=1000)=A22P(X=2000)=C所以，随机变量X的分布列如下表所示：X100015002000P133所以，E(X)=1000×1【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可计算出“长潜伏者”的人数，然后利用百分位数的概率可求得样本的80%分位数；

（2）分析可知X所有可能的取值为1000、1500、2000，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E(X)=175019．【答案】（1）证明：在图2中，由题意得AD∥BE，所以AD∥CG，所以图2中的A，C，G，D四点共面，由已知得AB⊥BE，又BE∩BC=B，BE，所以AB⊥平面BCGE，又因AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE；（2）解：连接EC，在菱形BEGC中，∠EBC=60°，则△EBC为等边三角形，取BC的中点H，连接EH，则EH⊥BC，因为平面ABC⊥平面BCGE，平面ABC∩平面BCGE=BC，EH⊂平面BCGE，所以EH⊥平面ABC，如图，以点H为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(−1，则CG=(1设平面ACG的法向量n=(x则有n⋅CG=x+则cos⟨所以直线CE与平面ACG所成角的正弦值为34【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）证明AD∥CG即可证得A，C，G，D四点共面，根据AB⊥BE，AB⊥BC，证明AB⊥平面BCGE，再根据面面垂直的判定定理即可得证；

（2）连接EC，取BC的中点H，连接EH，则EH⊥BC，根据面面垂直的性质证明EH⊥平面ABC，以点H为坐标原点建立空间直角坐标系，CE→=(−1，20．【答案】（1）证明：因为an+1=a则ln(又ln(所以数列{ln(an−1)}则ln(所以an（2）证明：由an+1=a则1a所以1a所以bn所以S=(=2因为222n所以Sn【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【分析】（1）根据递推公式证明ln(an+1−1)=2ln(an−1)，即可证明数列{ln(an−1)}是以ln2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；

21．【答案】（1）解：T的上顶点(0，b)到直线3x+y+3=0的距离|b+3|又椭圆T：x2则3a2+所以椭圆方程为x2因为点A(x0，由题意直线l的斜率存在，设过点A的直线l方程为y−y令x=0，则y=y0−kx0即M(x由AN=2MA，得所以−x0=所以|MN|==9（2）解：由（1）得直线MN的斜率k=−2因为BD=λNM，所以所以直线BD的方程为y=−2y0联立y=−2y0x0所以|BD|=1+点A到直线BD的距离d=|2又因x024由椭圆的对称性可得四边形S△ABD所以四边形ABCD面积S=2S1y当且仅当x024则1y02+16即四边形ABCD面积的最大值为4.【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）先根据点到直线的距离求出b=1，再根据椭圆所过的点求出a2=4，即可求出椭圆方程为x24+y2=1，根据点A(x0，y0)(x0y0≠0)在椭圆上，所以x024+y02=1，设过点A的直线l22．【答案】（1）解：f(x)=e等价于ℎ(x)=xe令t=xex，则t′=(x+1)ex>0，在x>0所以ℎ(x)=xex−a因为g′①当a≤0时，g′(t②当a>0时，令g′(t)>0，得t>a，g(t所以g(若g(a)>0，得0<a<e，此时g(若g(a)=0，得a=e，此时g(t)有一个零点；若g(a)<0，得a>e，因为g(1)=1>0，g(e)=e−a<0，g(所以g(t)在(1综上，a的取值范围为(e，+∞（2）证明：要证x1x2>e由（1）知t1=x1因为alnt1=t1，所以lnt2+设0<t1<t2，令t=t2令ℎ(t)=lnt+4即当t>1时，lnt+所以lnt1+lnt【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】（1）f(x)=ex−a(lnx+xx)=xex−a(lnx+x)x有两个零点，等价于ℎ(x)=xex−a(lnx+x)=xex−aln

试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：40分分值分布客观题（占比）28.0(70.0%)主观题（占比）12.0(30.0%)题量分布客观题（占比）16(72.7%)主观题（占比）6(27.3%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)4.0(10.0%)解答题6(27.3%)12.0(30.0%)多选题4(18.2%)8.0(20.0%)单选题8(36.4%)16.0(40.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(6