固体物理学复习总结

第一章晶体结构1.晶体：组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性结构；eg：单晶硅。晶体具有的典型物理性质：均匀性、各向异性、自发的形成多面体外形、有明显确定的熔点、有特定的对称性、使X射线产生衍射。非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程周期性；eg：非晶硅、玻璃准晶：有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性，不具备晶体的平移对称性；eg：快速冷却的铝锰合金2.三维晶体中存在7种晶系14种布拉菲格子；对于简单格子晶胞里有几个原子就有几个原胞，复式格子中包含两个或更多的格子。3.典型格子特点：scbccfcchcpDiamond晶胞体积每晶胞包含的格点数12468原胞体积最近邻数（配位数）6812124填充因子0.5240.680.740.740.34典型晶体NaClCaOLiKCuAuZnMgSiGe4.sc正格子基矢：；sc倒格子基矢：；fcc正格子基矢：；fcc倒格子基矢：；bcc正格子基矢：；bcc倒格子基矢：；倒格子原胞基，，正格子和倒格子的基矢关系为；设正格子原胞体积为V,倒格子原胞体积为Vc，则。W-S原胞体积和倒格子原胞体积大小相等。5.晶向指数：晶列是连接任意两个格点所形成的直线，而晶列的取向称为晶向，如果从一个原子到最近的原子的位移矢量为，则晶向就用来表示，记作,标志晶向的这组数称为晶向指数，如涉及负的指数按惯例在头上加一横线来表示。密勒指数：找出该晶面在晶轴上的以晶轴长度量度的截距，取这些截距的倒数，化为具有相同比例的三个最小整数，扩在圆括号里即为密勒指数，用来标志晶面系。晶面簇的晶面间距d=,其中为倒格失的长度。第二章固体的结合1.晶体四种结合的特点：离子结合：正负离子间的库仑作用，离子晶体硬度大、固态下不导电、熔点高、可见光透明、溶于极性液体；金属结合：金属离子实和游离电子的相互作用，无方向性，无饱和性，金属晶体硬度大、导电导热性好，强反射本领不透明、表面具有光泽；共价结合：原子间电子云重叠作用，具有饱和性和方向性，由于结合强度不同形成的晶体物理性质有较大差别；VanderWaals结合：分子间的电偶极矩作用，极性分子可以具有固有极矩，非极性分子可以产生瞬时偶极矩作用，结合强度低，晶体熔点低。两原子间的相互作用势，其中第一项为吸引能W，第二项为排斥能E；若要两粒子稳定的结合到一起，需要W>E，即m<n。晶体的结合能，其中为求解的一阶微分为零时的r值为平衡状态下的相互作用势。体积弹性模量；Evjen晶胞（该晶胞内所有离子的代数和为零）中马德龙常数（第二章ppt31~34页例1和例2）。电离度用来描述共价结合中离子性的成分，电离度越大，离子性越强；电离能：原子失去最外层一个电子所需能量；亲和能：中性原子获得一个电子成为负离子释放的能量。电负性：元素的原子在化合物中把电子吸引向自己的本领叫做元素的电负性，随着原子序号的递增，元素的电负性呈现周期性变化，同一周期，从左到右元素电负性递增，同一主族，自上而下元素电负性递减。VanderWaals结合中原子间的Lennard－Jones势。金属中原子间的结合采取密堆积的方式。晶体振动与晶体的热学性质振动模：一个简正振动是整个晶体所有原子都参与的振动，而且其振动频率相同，称为一个振动模；格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。一个格波就是一种振动模，称为一种声子，若声子的频率为，波矢为q，则声子的能量为（），准动量为（）。一维单原子链的色散关系，大致图像如右：设m（m为1或2或3）维晶体内有N个原胞，原胞内原子个数为n，则晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N；格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn；独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。对于三维晶体，有3Nn种声子，其中3N种声学声子，(3n-3)N种光学声子。根据能量守恒和准动量守恒确定晶格振动谱的实验方法有：中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射；准动量守恒：；能量守恒：；其中“+”和“-”分别表示吸收和发射声子的过程。中子的非弹性散射：中子的能量和声子的能量具有相同的数量级，中子的德布罗意波长正好是晶格常数的数量级，因此可以较易测定被声子散射前后中子能量和动量的变化，较易获得声子能量（频率）和动量（波矢）的信息，即能方便地获得声子谱；局限：如固态氦-Ⅲ的原子核对中子有很大的俘获截面，形成氦-Ⅳ，从而无法获得氦-Ⅲ的中子散射谱；光子散射：由于一般可见光范围的波失k只有的数量级，因此相互作用的声子波失q也是在的数量级，从而用可见光只能测量布里渊区中心（即q~0）附近很小一部分区域的色散关系，无法测量整个布里渊区的色散关系。X射线散射：X射线的波数矢量与晶体倒格子矢量同数量级，因此测量范围可以遍及整个布里渊区，但X射线的能量远大于声子的能量，导致实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差，确定声子的能量是很困难的。晶体比热的实验规律：高温时，晶体的比热为；低温时，晶体的比热按趋于零。频率为的平均声子数；在Debye模型下声子总数；晶体的平均内能。其中三维情况下模式密度，即；二维；一维。晶体比热的Einstein模型：晶体中原子的振动是相互独立的，所有原子都具有同一频率；高温时与实验相吻合，低温时以比更快的速度趋于零。Debye模型：晶体视为连续介质,格波视为弹性波，有一支纵波两支横波，且二者波速相等，晶格振动频率在之间(为德拜频率)；高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。能带理论绝热近似：电子运动速度远高于离子运动速度，可以将离子的运动与电子的运动分离，这样就将复杂的多体问题简化为多电子问题；平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场，通过分离变量求解，将多电子系统化为单电子系统，获得N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程；周期场：在一般情况下，晶格振动幅度不大，对晶格周期性势场的偏离较小，可近似认为所有的原子核处于平衡位置，即为周期场近似，单电子薛定谔方程，其中；通过上述三个近似，将复杂多体问题简化为周期势场下的单电子问题。能带中电子的排布原则：服从泡里不相容原理（费米子）、服从能量最小原理和洪特定则；Bloch定理：对于周期性势场，即，其中取布拉维格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即且；布洛赫定理也可以表述为对上述定理中薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢，使得，对属于布拉维格子的所有格矢成立，具有此形式的波函数称为Bloch波函数；晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合自由电子：，孤立原子：；给定一个波函数，证明它是一个Bloch波，即证。4.近自由电子模型：假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自由电子，零级近似下的解为自由电子，微扰取为周期场，这种模型得到的结果可以作为简单金属（Na,K,Al等）价带的粗略近似。紧束缚模型：假定原子势很强，晶体电子基本上是围绕着一个固定原子运动，零级近似下的解为孤立原子，微扰取为其它原子的作用，因而较适合于原子内层电子的情况，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，如过渡金属的3d能带。5.定性的说明孤立原子分立能级组成晶体的能带:孤立的原子中，电子具有分离的能级如1s,2s,2p等，如果晶体内含有N个相同的原子，那么原先每个原子中具有相同能量的所有价电子，现在处于共有化状态。这些被共有化的外层电子，由于泡利不相容原理的限制，不能再处于相同的能级上，这就使得原来相同的能级分裂成N个和原能级相近的新能级，与此相对应的能级即扩展形成能带。6.能隙，一维，二维其中，。用能带论解释绝缘体、半导体和金属的导电性：绝缘体：原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好填满了许可的能带，形成满带，导带和价带之间存在一个很宽的禁带，一般情况下，价带之上的能带没有电子，在电场的作用下没有电流产生；导体：在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还有部分被电子填充的能带—导带，后者起着导电作用；半导体：禁带宽度较窄，约2eV以下，依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因而具有导电能力，热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化，半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大。金属—半导体—绝缘体的能带图简略如下：N个原胞构成的晶体，每一条能带能容纳的电子数为2N，为原胞数目的二倍；二价金属：Be(4)、Mg(12)、Zn(30)，原胞中有2个价电子它们却是导体，因为存在能带交叠。满带是不导电的，不满带参与导电，金刚石是典型的绝缘体。课后习题：1.1的六方密排，1.3,1.4，1.5,1.6，2.3,2.6，3.2,3.3，3.8,4.1,4.3，4.4,4.8,4.9，4.12的详细解答见《固体物理学习题解答》。补充习题：在sc结构中，求面（hkl）的法向与晶向[uvw]的夹角。解：面（hkl）的法向矢量晶向[uvw]的矢量表示为设面（hkl）的法向与晶向[uvw]的夹角为θ，则一个二维晶格的原胞为边长AB=4，AC=3，夹角的平行四边形，求倒格子的基矢量。解：以A点为坐标原点，建立如右图平面直角坐标系，则原胞基矢，，将二维晶格补为三维晶格，取原胞基矢，则三维晶格原胞体积设所求的倒格子原胞基矢分别为，则五度轴不存在的证明证明：设AB为晶体中某一晶面上的一条晶列，其中可由B点绕A点旋转θ角得到，其中可由A点绕B点旋转-θ角得到，由图可知//AB，由同族晶列格点的周期性相等得（n为整数）由几何关系知故，即n只能取-1、0、1、2、3五个值，对应的，0，m只能取2,3,4,6结合晶格满足平移对称性和周期性，得证5度轴不存在4.设离子晶体总的相互作用能为：，其中，λ、ρ、z均为常数，求：当离子晶体分别为SC、FCC、BCC结构时的体积弹性模量K.解：设离子晶体原子间距离为r，则晶体的体积，对U(r)求一阶倒数，并令，可求得离子晶体平衡时原子间距满足又故体积弹