n元格蕴涵代数不等式及其性质

n元格蕴涵代数不等式及其性质

为了为不确定性信息理论提供可靠的逻辑基础，徐扬将网格与隐藏代相结合，提出了网格嵌入代的概念，然后研究了性质、格值逻辑系统以及基于不确定性信息的不确定性思维和自动思维。胡长河研究了剩余网格的性质，白丽军重点研究了基于网格的算法。作为一门参考植物，明代的格思迭代具有重要的理论和实践应用价值。近年来，它引起了人们的广泛兴趣。因此，这项工作的作者在n元格的不均匀方程的解及其解集中获得了这种分解的充要条件和解集的几个性质。此外，在b是l的情况下，确定n元格中包含的所有极小解，并给出具体的解集。1l,,,,,o,定义1.1设(L,∧,∨,′)是一有泛界0,I的有余格,≤是L上的偏序关系,若映射→:L×L→L满足,对任意的x,y,z∈L(1)x→(y→z)=y→(x→z);(2)x→x=I;(3)若x→y=y→x=I,则x=y;(4)x→y=y′→x′;(5)(x→y)→y=(y→x)→x;则称(L,∧,∨,′,→O,I)是一个拟格蕴涵代数.若它还满足:(6)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z);(7)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z).则(L,∧,∨,′,→)称为格蕴涵代数.若对所有的x,y,z∈L还满足x∨y∨[(x∧y)→z]=I,则(L,∧,∨,′,→)称为格H蕴涵代数.定义1.2设L是一个格,对任意的x,y∈L,如果b=x∨y蕴涵着x=b或y=b,则称b为格L的并既约元.注:在下文中,对任意的自然数n,n均表示集合{1,2,…,n}.定理1.3设(L,∧,∨,′,→0,I)是一个格蕴涵代数,则(L,∧,∨)是一个分配格.引理1.4设p是分配格L的交既约元,则p≤∨kj=1kj=1xj蕴涵着存在j∈k使得p≤xj.2又药物型的2.定义2.1在格蕴涵代数L中,称含有未知量并且运算是由(∨,∧,′,→)中的一些运算符号所组成的不等式为格蕴涵代数不等式.下文中若无特殊说明L均表示格蕴涵代数.已知ai,b∈L,i=1,2,…,n需确定使得:∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b.记S={(x1,x2,…xn)|∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b}当b=0时,S≠∅恒成立,且,下面设b≠0.定理2.2对任意的b∈L,S≠∅⇔∨ni=1ni=1ai≥b.证明必要性若S≠∅,则存在X=(x1,x2,…,xn)∈S,使得∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b,而对任意的i∈n,ai∧xi≤ai,所以b≤∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥∨ni=1ni=1ai;充分性因为∨ni=1ni=1ai≥b,故b≤b(∨ni=1ni=1ai∧b-∨ni=1ni=1ai∧→b)所以(b,b,…,b)∈S,即S≠∅.定理2.3设X=(x1,x2,…,xn)∈S,则∨ni=1ni=1xi≥b,而且S形成一个并半格.证明设X=(x1,x2,…,xn)∈S,则∨ni=1ni=1xi≥∨ni=1ni=1(ai∧xi)≥b;若X1,X2∈S,设X1=(x1111,x1212,…,x1n1n),X2=(x21,x22,…,x2n),则即X1∨X2∈S,所以S形成一个并半格.定理2.4如果S≠∅,则对任意的X∈S,若X1≥X,则X1∈S.证明设X1=(x11,x12,…,x1n),X=(x1,x2,…,xn)如果X1≥X而且X∈S,∨ni=1(ai∧x1i)≥∨ni=1(ai∧xi)≥b,所以X1∈S.定理2.5如果S≠∅,则I=(I,I,…,I)∈S.证明因为S≠∅,由定理2.2知,∨ni=1ai≥b,故∨ni=1(ai∧I)=∨ni=1ai≥b,所以I=(I,I,…,I)∈S.由定理2.5知,若S≠∅,则S恒I解,如果能找出S的最小解或极小解,由定理2.4和2.5知,则可以得到∨ni=1(ai∧xi)≥b的所有解.下面将从b是L的并既约元的情况下,去找出该出方程的最小解或是极小解,进而得到其具体解集.定理2.6如果b是L的交既约元,则S≠∅⇔∃i∈n,使得ai≥b.证明由定理2.2知,S≠∅⇔∨ni=1ai≥b又因为b是L的交既约元,故由定理1.4和引理1.5知,∨ni=1ai≥b⇔∃i∈n使得ai≥b.定理2.7如果S≠∅且b是L的并既约元,若j∈n且aj≥b,则X*j=(x*1,x*2,…,x*n)=(0,…0,b,0,…,0)是S的一个极小元.证明若j∈n且aj≥b,由于(a1∧0)∨…∨(aj-1∧0)∨(aj∧b)∨(aj+1∧0)∨…∨(an∧0)=(aj∧b)=b≥b,所以X*j∈S.以下证明X*j是M的极小元,设X=(x1,x2,…,xn)∈S,使得X≥X*j,则当i≠j时,xi=x*i=0;当i=j时,由X≤X*j可得xj≤b;b≤∨ni=1(aj∧xi)=aj∧xj,故xj≥b,因此xj=b,故X=X*,所以X*j是S的一个极小元.定理2.8如果S≠∅且b是L的并约元,则对每个X∈S,存在S中的一个极小元X*j,使得X≥X*j.证明如果S≠∅,则存在X=(x1,x2,…,xn)∈S,使得b≤∨ni=1(ai∧xi),又因为b是L的交并既约元,由引理1.5知,存在j∈n,使得b≤aj∧xj,故xj≥b;设则X≥X*j,由定理2.7知,X*j是S的一个极小元.定理2.9如果S≠∅且b是L的并既约元,则S是每个极小元都具有形式,且S有|G(b)|个极小元,其中证明如果S≠∅且b是L的并既约元,由定理2.8知,S存在极小元,设X=(x1,x2,…,xn)是S的极小元,即b≤∨ni=1(ai∧xi)而b是L的并既约元,则存在j∈n,使得b≤aj∧xj,故b≤xj;设X*j=,显然X*j≤X,b≤aj;由定理2.7知,X*j∈S,由于X是S的极小元,故X*j=X;所以S的每个极大元都具有形式,并且对于极小元必然有:(a1∧0)∨…∨(aj-1∧1