多项式的带余除法及同余问题

多项式的带余除法及同余问题在高中数学学习中，我们学过了一元多项式的基本运算，如加减乘除、整式化简、配方法等。本文将介绍多项式的另外一种重要运算——带余除法及同余问题，同时也会涉及到一些相关的概念和定理。一、带余除法带余除法，又称长除法，是多项式除法的一种算法。通过带余除法，我们可以把一个多项式fx除以另一个多项式gx的商qx和余数带余除法的步骤如下：将fx和gx从高次项开始排列，得到fx=amxm将gx的首项系数bn与fx的首项系数am做除法，得到商式$c=\\frac{a_m}{b_n}$和中间多项式h比较hx的次数和gx的次数，如果hx的次数小于gx的次数，那么qx=c，rx=hx，即商为c，余数为hx。如果hx的次数大于等于gx最终得到$f(x)=q(x)\\cdotg(x)+r(x)$，其中qx是商式，rx是余数，满足接下来我们通过一个例子来具体说明。例1将多项式fx=3x3解：首先将fx和gx$$\\begin{aligned}f(x)&=3x^3+5x^2-x-2\\\\g(x)&=x^2+2\\end{aligned}$$将gx的首项系数1与fx的首项系数3做除法，得到商式c=3h因为hx的次数小于gx的次数，所以qx$$q(x)=3,\\r(x)=3x-1$$最终得到$f(x)=(x^2+2)\\cdot3+(3x-1)$。二、同余问题在多项式运算中，同余问题是很常见的问题。如果两个多项式在模gx的意义下相等，那么它们是同余的。具体来说，如果多项式fx和gx满足$f(x)\\equivg(x)\\pmod{m(x)}$，则称fx和gx对于同余问题，我们有以下定理：定理1设fx、gx、hx为多项式，同余关系具有传递性，即$f(x)\\equivg(x)\\pmod{m(x)},\\g(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}$则$f(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}$。同余关系具有加法和乘法运算，即$$\\begin{aligned}&f(x)+g(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}\\\\&f(x)\\cdotg(x)\\equivh(x)\\pmod{m(x)}\\end{aligned}$$同余关系具有指数运算，即$$f(x)^k\\equivg(x)^k\\pmod{m(x)}$$证明略。我们来看一个应用同余问题的例子。例2求多项式fx=3x3+解：由带余除法可知，$$\\begin{aligned}f(x)&=q(x)\\cdotg(x)+r(x)\\\\&=q(x)\\cdot(x+1)+r(x)\\end{aligned}$$因此，$$\\begin{aligned}r(x)&=f(x)-q(x)\\cdot(x+1)\\\\&=(3x^3+5x^2-x-2)-q(x)\\cdot(x+1)\\end{aligned}$$要求fx除以gx的余数，就等价于在模x+1的意义下，求出fx下面对fx进行模x+$$\\begin{aligned}f(x)&\\equiv3x^3+5x^2-x-2\\pmod{x+1}\\\\&\\equiv3\\cdot(-1)^3+5\\cdot(-1)^2-(-1)-2\\pmod{x+1}\\\\&\\equiv-5\\pmod{x+1}\\end{aligned}$$所以rx=−5，即fx除以g三、小结本文主要介绍了多项式