新高考数学二轮复习圆锥曲线培优专题07 圆锥曲线中的定值问题（含解析）

专题7圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍(一)定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数,若要证明一个式子是定值,则意味着参数是不影响结果的,也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉,因此解决定值问题的关键是设参数：

(1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时,注意横坐标要满足圆锥曲线方程）

(2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）,

(3)也可能是斜率（这个是最常用的,但是既然设斜率了,就要考虑斜率是否存在的情况）

常用的参数就是以上三种,但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.

因此定值问题的解题思路是：

(1)设参数；

(2)用参数来表示要求定值的式子；

(3)消参数.

2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆SKIPIF1<0为右焦点，直线SKIPIF1<0与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0的中垂线交于点Q．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】（1）设SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点M坐标为SKIPIF1<0，联立得SKIPIF1<0消去y可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，代入直线SKIPIF1<0方程，求得SKIPIF1<0，因为Q为SKIPIF1<0三条中垂线的交点，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由椭圆SKIPIF1<0可得右焦点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，中点M坐标为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又Q为SKIPIF1<0的外心，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0而SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当t变化时，SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．【例2】（2023届河南省濮阳市高三上学期测试）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线被椭圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0所截得的弦长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0（不在坐标轴上）作SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）设椭圆SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线被椭圆SKIPIF1<0所截得的弦长分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；过SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0轴的直线被圆SKIPIF1<0所截得的弦长分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.①设过点SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相切的直线方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.②由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．(二)与线段长度有关的定值问题与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值【例3】（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别相交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，若坐标原点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）由题意，双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.（2）由题意知，直线的SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，不合题意；若SKIPIF1<0时，则直线方程为SKIPIF1<0，恒过定点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值，又由SKIPIF1<0为直角三角形，且SKIPIF1<0为斜边，所以当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(三)与面积有关的定值问题与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简.【例4】（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，上、下顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若椭圆上有三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，证明：四边形SKIPIF1<0的面积为定值．【解析】（1）依题意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）证明：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，SKIPIF1<0与左顶点或右顶点重合，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入椭圆方程整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，又原点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上可得，四边形SKIPIF1<0的面积为定值SKIPIF1<0.(四)与斜率有关的定值问题与斜率有关的定值问题常见类型是斜率之积商或斜率之和差为定值,求解时一般先利用斜率公式写出表达式,再利用题中条件或韦达定理化简.【例5】（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的上顶点和左焦点.点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0（与SKIPIF1<0轴不重合）交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，故可设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）因为椭圆方程为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0斜率为0时SKIPIF1<0或SKIPIF1<0重合，不满足题意，故可设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故定值为SKIPIF1<0(五)与向量有关的定值问题与向量有关的定值问题常见类型一是求数量积有关的定值问题，二是根据向量共线,写出向量系数的表达式,再通过计算得出与向量系数有关的定值结论.【例6】（2023届湖南省部分校高三上学期9月月考）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程.(2)设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，问在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为常数？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0.将点SKIPIF1<0的坐标代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得（1-SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由题可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设存在符合条件的定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为常数，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.此时该常数的值为SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0轴上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为常数，该常数为SKIPIF1<0.【例7】（2022届上海市金山区高三上学期一模）已知SKIPIF1<0为椭圆C：SKIPIF1<0内一定点,Q为直线l：SKIPIF1<0上一动点,直线PQ与椭圆C交于A､B两点（点B位于P､Q两点之间）,O为坐标原点.（1）当直线PQ的倾斜角为SKIPIF1<0时,求直线OQ的斜率；（2）当SKIPIF1<0AOB的面积为SKIPIF1<0时,求点Q的横坐标；（3）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,试问SKIPIF1<0是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】（1）因为直线PQ的倾斜角为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以直线PQ的方程为：SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以直线OQ的斜率是SKIPIF1<0；（2）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以直线PQ的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0；（3）易知直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(六)与代数式有关的定值问题与代数式有关的定值问题．一般是依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值【例8】在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的右准线为直线SKIPIF1<0，动直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0分别交椭圆及直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，如图，当SKIPIF1<0两点分别是椭圆SKIPIF1<0的右顶点及上顶点时，点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为椭圆的离心率），且SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)如果SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中项，那么SKIPIF1<0是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．【解析】（1）椭圆SKIPIF1<0的右准线为直线SKIPIF1<0，动直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0零点分别是椭圆SKIPIF1<0的有顶点和上顶点时，则SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0分别角椭圆及直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两点，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0三点共线，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）解：把SKIPIF1<0代入椭圆SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等比中项，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为常数SKIPIF1<0.(六)与定值有关的结论1.若点A,B是椭圆C：SKIPIF1<0上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则SKIPIF1<0；2.若点A,B是双曲线C：SKIPIF1<0上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则SKIPIF1<0.3.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若SKIPIF1<0,则直线AB斜率为定值；4.设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若SKIPIF1<0,直线AB斜率为定值；5.设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若SKIPIF1<0,直线AB斜率为定值.6.设SKIPIF1<0是椭圆上不同3点,B,C关于x轴对称,直线AC,BC与x轴分别交于点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.7.点A,B是椭圆C：SKIPIF1<0上动点,O为坐标原点,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（即点O到直线AB为定值）8.经过椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线,与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2,则SKIPIF1<0.9.过椭圆SKIPIF1<0（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则SKIPIF1<0.10.点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,过SKIPIF1<0引SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的平行线,交SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0,交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,则：SKIPIF1<0.【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的动点．（1）若点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的焦点坐标；（2）设SKIPIF1<0,若定点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值与最小值；（3）设SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0上的另一动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）,求证：SKIPIF1<0到直线PQ的距离是定值．【解析】（1）∵椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,由题知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取得最大值为25；当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0的最大值为5,最小值为SKIPIF1<0.（3）当SKIPIF1<0时,椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,当直线PQ斜率存在时设其方程为SKIPIF1<0,则由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0到直线PQ的距离为SKIPIF1<0为定值；当直线PQ斜率不存在时,SKIPIF1<0,可得直线方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0到直线PQ的距离为SKIPIF1<0.综上,SKIPIF1<0到直线PQ的距离是定值．三、跟踪检测1．（2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，短轴长为2.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率不为0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0自左向右依次交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，记直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）由椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，短轴长为2，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）证明：由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率一定存在，故设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为定值.2．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有相同的渐近线，且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上不同于SKIPIF1<0的两点，且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，证明：存在定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值.【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0代入点SKIPIF1<0坐标，解得SKIPIF1<0所以双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0（2）（i）当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且均满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线过定点SKIPIF1<0，与已知矛盾，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0（ii）当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0方程联立解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0也过点SKIPIF1<0，综上，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，SKIPIF1<0为该圆圆心，SKIPIF1<0为该圆半径，所以存在定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.3．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，过点P(0，2)的动直线l与抛物线相交于A，B两点．当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点．(1)求p的值；(2)是否存在定点T，使得SKIPIF1<0为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，且点A恰好为线段PF中点，所以SKIPIF1<0，又因为A在抛物线上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，可知直线l斜率存在；设l：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立方程得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解之得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<04．（2023届重庆市2023届高三上学期质量检测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，斜率不为0的直线l与抛物线C相切，切点为A，当l的斜率为2时，SKIPIF1<0.(1)求p的值；(2)平行于l的直线交抛物线C于B，D两点，且SKIPIF1<0，点F到直线BD与到直线l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，所以其纵坐标也为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以点F到直线BD与到直线l的距离之比是定值，为定值3.5．（2023届江苏省百校联考高三上学期考试）设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴不重合的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；(2)在SKIPIF1<0轴上是否存在异于SKIPIF1<0的定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率）？若存在，求出SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）假设在SKIPIF1<0轴上存在异于点SKIPIF1<0的定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.要使SKIPIF1<0为定值，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此时SKIPIF1<0.故在SKIPIF1<0轴上存在异于SKIPIF1<0的定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.6．（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点与椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0重合，椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，请问是否存在实常数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为定值？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与椭圆SKIPIF1<0的方程联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，与抛物线G的方程联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0为常数，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．7．（2023届江苏省南京市高三上学期数学大练）已知点B是圆C:SKIPIF1<0上的任意一点，点F（SKIPIF1<0，0），线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点Р的轨迹E的方程;(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1，A2，Q为直线x=4上的动点，且Q不在x轴上，QA1与E的另一个交点为M，QA2与E的另一个交点为N，证明:△FMN的周长为定值.【解析】（1）因为点P在BF垂直平分线上，所以有SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，即PF+PC为定值4SKIPIF1<0，所以轨迹E为椭圆，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以轨迹E的方程为：SKIPIF1<0.（2）由题知：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以QA1方程为：SKIPIF1<0，QA2方程为：SKIPIF1<0，联立方程：SKIPIF1<0，可以得出M：SKIPIF1<0同理可以计算出点N坐标：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0存在，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以直线MN的方程为：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，所以直线过定点SKIPIF1<0，即过椭圆的右焦点SKIPIF1<0，所以△FMN的周长为4a=8.当SKIPIF1<0不存在，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，可以计算出SKIPIF1<0，周长也等于8.所以△FMN的周长为定值8.8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且左焦点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆上的一个动点，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）因为左焦点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在上､下顶点时，SKIPIF1<0最大，又SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0；（2）当直线SKIPIF1<0的斜率为0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0没有交点，与条件矛盾，故可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程可得，SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由已知方程SKIPIF1<0的判别式SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0方法二：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由椭圆SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.联立直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.9．（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴的两个端点分别为SKIPIF1<0离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线SKIPIF1<0垂直的直线记为l，直线SKIPIF1<0交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：SKIPIF1<0为定值．【解析】（1）由已知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，椭圆标准方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<010．（2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考）已知SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0，记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程;(2)直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，若直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1