新高考数学二轮复习培优讲义14 数列的通项公式常考求法 含解析

解密14数列的通项公式常考求法【考点解密】1．Sn和an关系法求数列通项（作差法）：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))转化为关于an的关系式，再求通项公式．(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．2．累加法当出现an＋1＝an＋f(n)时，用累加法求解．3．累乘法当出现eq\f(an＋1,an)＝f(n)时，用累乘法求解．4．构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列SKIPIF1<01、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；2、SKIPIF1<0直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；3、构造等比数列SKIPIF1<0类型2：用“同除法”构造等差数列SKIPIF1<01、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式；2、两边同除SKIPIF1<0；3、构造数列SKIPIF1<0为等差数列类型3：用两边同时取倒数构造等差数列（1）1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；2、两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型；3、构造数列SKIPIF1<0为等差数列.类型3：用“同除法”构造等差数列（2）SKIPIF1<01、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；2、两边同除SKIPIF1<0；3、构造出新的等差数列SKIPIF1<0类型4：用“待定系数法”构造等比数列an＋1＝pan＋qan－11、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；2、可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根；3、若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．【方法技巧】【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【核心题型】题型一：累加法求通项公式1．（2022·上海虹口·统考一模）已知函数SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数）．则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将SKIPIF1<0进行整理，可以求出其通项公式，再代入SKIPIF1<0可得答案.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：C2．（2022·全国·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0满足上式，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（

）A．196 B．197 C．198 D．199【答案】C【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列SKIPIF1<0的通项公式，再利用累加法计算即可得SKIPIF1<0.【详解】设该数列为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；由二阶等差数列的定义可知，SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差SKIPIF1<0的等差数列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0将所有上式累加可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；即该数列的第15项为SKIPIF1<0.故选：C题型二：累乘法求通项公式4．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依题意可得SKIPIF1<0，再利用累乘法计算可得；【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故选：D．5．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则它的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用累乘法求出数列SKIPIF1<0的通项公式，然后利用裂项相消法可求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题干中的递推公式，利用累乘法求解数列SKIPIF1<0的通项公式，利用错位相减法求解SKIPIF1<0，分离参数，利用函数的单调性求解参数的取值范围.【详解】解:由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．易知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A．题型三：Sn和an关系法求数列通项7．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0为单调递增数列，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据给定条件求出数列SKIPIF1<0通项，再由数列SKIPIF1<0为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因数列SKIPIF1<0为单调递增数列，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的最大项，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故选：A8．（2022秋·甘肃武威·高三校考阶段练习）已知数列满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前2023项和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意得到SKIPIF1<0，再利用裂项法求和即可.【详解】由题知：数列满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，检验：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合.所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0中的最大项为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，可得到SKIPIF1<0.进而求出SKIPIF1<0，通过求解SKIPIF1<0，解出正整数SKIPIF1<0，即可求得数列中的最大为SKIPIF1<0.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足.所以，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设数列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0项最大，则应满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.所以，数列SKIPIF1<0中的最大项为SKIPIF1<0.故选：C.题型四：构造法求通项公式10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】将递推式两边同时倒下，然后构造等差数列求出数列SKIPIF1<0的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0．故选:C．11．（2022·全国·高三专题练习）若数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】依题意可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，即可求出SKIPIF1<0的通项公式，再根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的通项公式，最后代入即可；【详解】解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；故选：C12．（2022·江西萍乡·统考一模）数列SKIPIF1<0各项均是正数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线过点SKIPIF1<0，则下列命题正确的个数是（

）．①SKIPIF1<0；②数列SKIPIF1<0是等比数列；③数列SKIPIF1<0是等比数列；④SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，利用构造法求出数列的通项，即可判断；【详解】解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（*），①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，正确；②由（*）知SKIPIF1<0，∴首项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等比数列，正确；③SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0，不符合等比数列的定义，错误；④由②对可知：SKIPIF1<0，两边同除SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是恒为0的常数列．∴SKIPIF1<0，故错误．故选：B．题型五：观察法求通项公式13．（2022·全国·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前10项依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，现将大衍数列各数按照如图排列形成一个数表，则该数表中第8行第3个数是（

）A．152 B．480 C．512 D．840【答案】B【分析】首先求得大衍数列的通项公式，再根据数表的形式，求得第8行第3个数的序号，代入通项公式，即可求解.【详解】由已知条件将大衍数列前10项按奇数项排列前5个数依次为0，4，12，24，40，按偶数项排列前5个数依次为2，8，18，32，50，可得大衍数列通项为SKIPIF1<0数表前7行共有SKIPIF1<0个数，第8行第3个数字是大衍数列中第31项，该数为SKIPIF1<0.故选：B.14．（2021·广东珠海·统考一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的数记为SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（

）A．54 B．18 C．9 D．6【答案】A【分析】根据题意第SKIPIF1<0行有SKIPIF1<0个数，第SKIPIF1<0行末为第SKIPIF1<0个数，数表由奇数构成，由SKIPIF1<0可得2021是数阵中的第1011个数，带入SKIPIF1<0进行估算，第45行末为第1035个数，即可得解.【详解】奇数构成的数阵，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故2021是数阵中的第1011个数，第1行到第SKIPIF1<0行一共有SKIPIF1<0个奇数，则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，所以2021位于第45行，从左到右第21列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.15．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0).此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列SKIPIF1<0，又记数列SKIPIF1<0满SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【分析】利用“兔子数列”的前几项除以4的余数得数列SKIPIF1<0的前几项（稍微多求几项），归纳出SKIPIF1<0的周期性，再根据SKIPIF1<0的定义得出SKIPIF1<0的前几项，归纳出SKIPIF1<0的性质，然后由这个规律可得SKIPIF1<0．【详解】解：记“兔子数列”为SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0每个数被4整除后的余数构成一个新的数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0构成一周期为6的数列，由题意得数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，观察数列SKIPIF1<0可知从该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性，解题时在数列通项公式不易求出时可利用归纳推理的方法得出结论．题型六：递推公式写通项公式16．（2021·甘肃武威·武威第六中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意求出数列SKIPIF1<0的通项公式，再求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和即可.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，经验证SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0.故选：A.17．（2022·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前n项的和为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．数列SKIPIF1<0不具有单调性【答案】C【分析】根据题意求得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号，结合作差法比较法，可判定B、D错误；由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用叠加法，可判定A错误；化简得到SKIPIF1<0，利用裂项法求和，可判定C正确.【详解】由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同号．又由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0单调递增，故B、D错误；又因为SKIPIF1<0，由数列SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A错误；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确．故选：C．18．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且对任意的实数x，SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0成立，若数列{SKIPIF1<0）满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，根据函数单调性的定义推断出函数为减函数．根据SKIPIF1<0和SKIPIF1<0整理求得SKIPIF1<0，进而可判断出SKIPIF1<0是以1为首项，2为公差的等差数列．进而根据等差数列通项公式求得SKIPIF1<0．由此能求出结果．【详解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，2为公差的等差数列．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A【高考必刷】一、单选题19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意结合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系分析可得数列SKIPIF1<0为等比数列，再利用等比数列的通项公式和求和公式运算求解.【详解】当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0是以6为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：A．20．（2023·全国·校联考模拟预测）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．若等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0也是等比数列，利用等比数列求和公式可求出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以等比数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0．故选：D．21．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，从而得到SKIPIF1<0，再利用累加法得到SKIPIF1<0，结合等比数列求和公式求出SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C．22．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用二阶等差数列的定义，结合累加法求得SKIPIF1<0，利用裂项求和法求得SKIPIF1<0.【详解】由题可知，数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.故选：D23．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则下列结论正确的是（

）A．数列SKIPIF1<0为等比数列 B．数列SKIPIF1<0为等比数列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】A选项，计算出SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是等比数列，A错误；B选项，计算出SKIPIF1<0的前三项，得到SKIPIF1<0，B错误；C选项，由题干条件得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等比数列，得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，相加即可求出SKIPIF1<0，C错误；D选项，在SKIPIF1<0的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出SKIPIF1<0.【详解】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不是等比数列，A错误；则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0不为等比数列，B错误；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等比数列，首项为2，公比为3，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上20个式子相加得：SKIPIF1<0，C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符和该式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符号该式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0，D正确.故选：D【点睛】当遇到SKIPIF1<0时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，用累加法进行求解.24．（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则（

）A．SKIPIF1<0是等比数列 B．SKIPIF1<0是等比数列C．SKIPIF1<0是等比数列 D．SKIPIF1<0是等比数列【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0变形整理为SKIPIF1<0,再求出SKIPIF1<0,根据等比数列的定义即可选出选项.【详解】解:由题知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是等比数列,且首项为4,公比为2.故选:B25．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若对任意的正整数SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，则满足等式SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0为（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，求出SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，②－①×3得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，研究SKIPIF1<0的单调性，求出SKIPIF1<0的解即可．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，相减可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为1，公比为3的等比数列，所以SKIPIF1<0．对任意正整数n，都有SKIPIF1<0成立，得SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，②－①×3得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，以下证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，综上可得，满足等式SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0的取值为1或3．故选：A．【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题.26．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:SKIPIF1<0.若正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0,且满足SKIPIF1<0,数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0,则根据三角垛公式,可得数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0（

）A．440 B．480 C．540 D．580【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0,进而求出SKIPIF1<0,写出SKIPIF1<0,观察三角垛公式,发现其每一项是等差数列的前SKIPIF1<0项和的形式,代入前SKIPIF1<0项和公式,即可得与SKIPIF1<0之间的联系,代入公式即可得出结果.【详解】解:由题知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,满足上式,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由三角垛公式:SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故选:A27．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，进而分奇偶性讨论得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正偶数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正奇数，再求和即可.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正奇数；当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正偶数；所以SKIPIF1<0，故选：A28．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智SKIPIF1<0如南宋数学家杨辉在《详解九章算法SKIPIF1<0商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关SKIPIF1<0如图是一个三角垛，最顶层有SKIPIF1<0个小球，第二层有SKIPIF1<0个，第三层有SKIPIF1<0个，第四层有SKIPIF1<0个，则第SKIPIF1<0层小球的个数为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】记第SKIPIF1<0层有SKIPIF1<0个球，则根据题意可得SKIPIF1<0，再根据累加法求解即可.【详解】记第SKIPIF1<0层有SKIPIF1<0个球，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合高阶等差数列的概念知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则第SKIPIF1<0层的小球个数SKIPIF1<0．故选：B29．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0，对于任意正整数SKIPIF1<0，都满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由递推关系可得SKIPIF1<0，利用累加求数列SKIPIF1<0的通项公式，再由裂项相消法求SKIPIF1<0的值.【详解】因为对于任意正整数SKIPIF1<0，都满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也满足此关系，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C.30．（2022秋·云南·高三云南师大附中校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得解.【详解】解：由题设知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首项为4，公差为2的等差数列，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D．二、多选题31．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知递增的正整数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．以下条件能得出SKIPIF1<0为等差数列的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，计算判断A和B；按SKIPIF1<0的奇偶求出SKIPIF1<0，再结合递增的正整数列推出SKIPIF1<0判断C；按给定条件求出数列SKIPIF1<0的通项，再结合递增的正整数列求出SKIPIF1<0判断D作答.【详解】对于A，SKIPIF1<