中学数学5-4反常积分课件

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二、无界函数的反常积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分反常积分()§5-4反常积分中学数学5-4反常积分一、无穷限的反常积分引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为中学数学5-4反常积分定义1.设若存在,则称此极限为

f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛

;如果上述极限不存在,就称反常积分发散

.类似地,若则定义中学数学5-4反常积分则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明:

上述定义中若出现它表明该反常积分发散.中学数学5-4反常积分引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:中学数学5-4反常积分例1.计算反常积分解:思考:分析:原积分发散!注意:

对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.中学数学5-4反常积分例2.证明第一类p积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1时发散.因此,当p>1

时,反常积分收敛,其值为当p≤1

时,反常积分发散.中学数学5-4反常积分例3.计算反常积分解:中学数学5-4反常积分二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与

x轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为中学数学5-4反常积分定义2.设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b

的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,则定义则称此极限为函记作中学数学5-4反常积分若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点

的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义中学数学5-4反常积分注意:若瑕点计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若

为瑕点,则若a

为瑕点,则若a,b

都为瑕点,则则可相消吗?中学数学5-4反常积分下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.计算反常积分解:显然瑕点为

a,所以原式例5.讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.中学数学5-4反常积分例6.证明反常积分证:当

q=1时,当

q<1时收敛;q≥1时发散.当

q≠1时所以当

q<1

时,该广义积分收敛,其值为当

q≥1

时,该广义积分发散.中学数学5-4反常积分内容小结

1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限

2.两个重要的反常积分中学数学5-4反常积分说明:(1)

有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.中学数学5-4反常积分P2601(4),(5),(6),(9),(10);2;3提示:P260题2求其最大值.作业中学数学5-

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