2023-2024学年安徽省部分学校高二上学期阶段性测试（一）数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat19页2023-2024学年安徽省部分学校高二上学期阶段性测试（一）数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先化简集合A，再求出，最后根据交集的概念求出结果.【详解】由可得，即，或，所以或．故选：D2．在空间直角坐标系中，点与点（

）A．关于平面对称 B．关于轴对称C．关于平面对称 D．关于轴对称【答案】B【分析】由空间点关于轴或面对称的性质，判断已知点的对称轴或对称平面.【详解】由点和点的纵坐标相同，其他坐标互为相反数，故它们关于轴对称．故选：B3．若光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，则经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由光的反射性质确定反射光线的倾斜角，进而求斜率，应用点斜式写出解析式即可.【详解】光线沿倾斜角为120°的直线射向轴上的点，经轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率，且反射光线过点，故反射光线所在的直线方程为．故选：A4．已知三条直线交于一点，则实数=（

）A． B．1C． D．【答案】C【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.【详解】由，即两直线交点坐标为，代入得：.故选：C5．已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.【详解】因为，且是R上的增函数，故，又，故．故选：D6．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因为向量以为基底时的坐标为，所以可以得到，又因为以为基底，所以可以将设为，通过空间向量基本定理可以得到关于的方程，从而得到以为基底时的坐标.【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以．设，由空间向量基本定理可得，解得因此，以为基底时的坐标为故选：A7．已知，则的最大值为（

）A． B．1C． D．【答案】C【分析】对题中代数式进行变形，利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，于是有当且仅当，即时等号成立，所以原式的最大值为．故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是进行如下变形：.8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，若直线与平面交于点，则线段的长度为（

）A． B．2C． D．【答案】B【分析】根据向量共线可得，进而根据空间中点点距离即可求解.【详解】如图，连接，因为直线与都在平面内，所以直线与的交点即与平面的交点，由于且，故由三角形相似，可得，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，所以，从而，所以的坐标为，所以,故选:B二、多选题9．已知向量，则（

）A．B．与同向的单位向量为C．D．【答案】ABD【分析】由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误.【详解】由题设，与同向的单位向量为，A、B正确；由数量积的坐标运算得，C错误；由，则，D正确．故选：ABD10．已知中，点和，则下列说法正确的是（

）A．B．边所在直线的方程为C．边上的高所在直线的倾斜角为钝角D．若，则的面积为3【答案】AD【分析】A由两点距离公式判断；B将已知点代入验证即可；C两点式求的斜率，进而确定对应高的斜率，结合倾斜角与斜率关系判断；D点斜式写出的方程，求点到直线的距离、，应用三角形面积公式求面积.【详解】由，故A正确；将代入，则，故B错误；，故边上的高所在直线的斜率为2，故C错误；由C分析，边所在直线的方程为，点到直线的距离为，又，所以的面积为3，故D正确．故选：AD11．已知，直线，与交于点，则下列说法正确的是（

）A．当时，直线在轴上的截距为1B．不论为何值，直线一定过点C．点在一个定圆上运动D．直线与直线关于直线对称【答案】BC【分析】A由解析式确定x轴上的截距判断；由方程确定与相互垂直及所过定点坐标判断B、C；根据对称轴为，互换其中一条直线的判断是否与另一直线方程相同判断D.【详解】当时，直线在x轴上的截距为，故A错误；直线，当时恒成立，所以恒过定点，故B正确；因为不论取何值，直线与都互相垂直，且恒过定点，恒过定点，所以点在以和为直径的端点的圆上运动，故C正确；将方程中的互换得到，与直线的方程不一致，故D错误.故选：BC12．在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（

）A．四点共面B．C．过点的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形D．过作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为【答案】BCD【分析】对于A，画出图形，假设四点共面，由面面平行的性质推出矛盾即可验证；对于B，画出图形，由先证线面垂直，即证明平面，由此即可验证；对于C，画出图形，通过观察并简单推理即可验证；对于D，画出图形，若要所得截面的面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，通过数形结合计算即可验证.【详解】对于A，如图所示：四点共面，且由题意有面面，根据面面平行的性质，可知，又，所以，显然不成立，故假设不成立，故A错误；对于B，如图所示：∵平面，平面，∴，∵，，且平面，平面，∴⊥平面，又平面，从而，故B正确；对于C，如图所示：取的中点，易得，所以四点共面，易知，所以四边形为等腰梯形，故C正确；对于D，如图所示：正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，连接，则，，所以，此时截面圆的半径，所以可得截面面积的最小值为，故D正确．故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意作出图形，通过数形结合进行推理以及计算，从而顺利求解.三、填空题13．已知倾斜角为的直线经过点，且，则直线的方程为.【答案】【分析】根据题意，求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，则，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即．故答案为：14．已知函数的图象关于直线对称，则当时，函数的值域为.【答案】【分析】根据题意，结合三角函数的性质，求得，再由，结合求得函数的值域.【详解】因为的图象关于直线对称，所以，可得，又因为，所以，即，当时，，所以.15．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示，已知直线的方程为，则点到直线的距离为.【答案】【分析】根据题意，得到的方向向量为，结合向量的距离公式，即可求解.【详解】根据题意，直线的方程可写为，则的方向向量为，且过点，可得，，则，所以在上投影向量的模为，故点到直线的距离为故答案为：.16．已知向量的夹角为（为定值），，当时，的最小值是，则的大小为.【答案】【分析】将平方，再结合数量积的运算律，以及的最小值是结合二次函数的性质计算分析即可得解.【详解】，当时，，，因为，所以，因为，所以，所以或，因为，所以．故答案为：.【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；（3）一些常见的等式应熟记：如，等.四、解答题17．已知函数的图象与轴交于点，且点在直线上(1)求的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求点坐标，代入可得；（2）由化简整理得，所以，故.【详解】（1）因为点在轴上，且在上所以点的坐标为，所以，得（2）因为，所以，由，得，即，整理得，即，所以，即，因函数在上单调递增，所以，故不等式的解集为18．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．（2）解：由，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.

19．已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为．(1)求直线的方程；(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；（2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值.【详解】（1）解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，即.（2）解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为，点在直线上，所以，得，即，又点在直线上，所以，解得．20．在中，记角所对的边分别为，已知．(1)求角；(2)若，为边的中点，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得；（2）由正弦定理可得，设，再由，即，即可得到，由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，所以，即，又，所以，所以.（2）因为，所以由正弦定理得，设，则，因为为边上的中线，所以，即，即，即，显然，所以，即.21．已知直线的方程为．(1)若与直线垂直，求实数的值；(2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参；（2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可.【详解】（1）由已知得的斜率为，因为与直线垂直，所以，解得．（2）令，得，令，得，由且，解得．所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积令，则，所以，所以当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小此时的方程为，即．22．如图，在三棱锥中，，，为棱的中点(1)证明：平面⊥平面；(2)若点在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到和长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到和，从而得到平面，从而得到平面⊥平面；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知与平面所成角的正弦值为，同时点在棱上，所以设点的坐标，从而分别