2021届高考数学复习五年高考真题分类汇编三角函数 （含答案解析）

2021届高考数学-五年真题汇编：三角函数

一、选择题

L2020年高考真题（北京卷）数学试题

2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（"Day）.历史上，求圆周率"的方法有多种，

与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计

算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周

长，将它们的算术平均数作为2乃的近似值.按照阿尔•卡西的方法，万的近似值的表达式是

（）.

/

30°(30030°)

3nsin+tan——30「6nsin----Ftan——

〃J

nB.nn

/

60°60°、60°60°)

3nsin+tan---6nsin-----Ftan---

n)

n)D.nn

2.2020年高考真题（北京卷）数学试题

已知。，尸eR,则“存在左GZ使得。="%+（-1）"〃”是“sina=sin/7,,的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.2020年高考真题（新高考全国卷I适用地区：山东）数学试题

（多选题）下图是函数y二sin（3x+e）的部分图像，则sin（3x+0）=（）

C.cos（2x+"D.cos（~~2%）

4.2020年高考真题（天津卷）数学试题

f（x）=sin|x+—j

已知函数I3J.

给出下列结论:

①f（x）的最小正周期为2%；

佃

②12,是f（x）的最大值；

71

③把函数'=sinx的图象上所有点向左平移§个单位长度，可得到函数丁=/（》）的图象.

其中所有正确结论的序号是

A.①B.①③C.②③D.①②③

5.2020年高考真题（浙江卷）数学试题

函数y二xcosx+sinx在区间［-冗，+冗］的图象大致为（）

6.2020年高考真题（全国卷III）数学（理）试题

已知2tan0-tan（。+—）=7,贝Utan0=（）

4

A.-2B.-1C.1D.2

7.2020年高考真题（全国卷IH）数学（理）试题

在△ABC中，cosC=^,AC=4,BC=3,贝ijcosB=（）

A.-B.-C.-D.-

9323

8.2020年高考真题（全国卷m）数学（文）试题

已知函数f（x）=sinx+」一，则（）

A.f（x）的最小值为2B.f（x）的图像关于y轴对称

C.f（X）的图像关于直线％=7T对称D.f（x）的图像关于直线久=］对称

9.2020年高考真题（全国卷m）数学（文）试题

在△ABC中，cosOj,AC=4,BC=3,则tanB=()

A.V5B.2V5C.4A/5D.8A/5

10.2020年高考真题(全国卷UI)数学(文)试题

己知+(+?)=/,则(+1)=()

A.1B.渔C.2D.迈

2332

11.2020年高考真题（全国卷H）数学（理）试题

若«为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

12.2020年高考真题一一数学（全国卷I）数学（文）试题

TI

/（X）=COS（69X+—）]

设函数6在L兀，兀」的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（）

13.2020年高考真题一一数学（全国卷I）数学（理）试题

已知a@（O,兀），且3cos2a-8cose=5,则sine=（）

752

A.3B.3

C.3D.9

14.2020年高考真题一一数学（全国卷1）数学（理）试题

兀

f（x）=COS（d9X+-）r]

设函数6在1一兀，兀」的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（)

10717兀

A.9B.6

4兀3兀

C.3D.2

15.2019年高考真题一一文科数学（天津卷）

已知函数（）=（+）（>0,>0,\|<）是奇函数，且f（x）的最小正

周期为“，将丫=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象

A.-2B.-y[2C.V2D.2

16.2018年高考真题一一数学理（全国卷川）

2―2

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若的面积为一

4ABC―,4—，则c=

A.-B.-C.-[).-

2346

17.2017年高考真题一一数学（文）（山东卷）

函数y二，%in2x+cos2x最小正周期为

A.-B.-C.nD.2n

23

18.2016年高考真题一一理科数学（天津卷）

在AABC中，若（），BC=3,,则AC=()

A.1B.2

C.3D.4

19.2019年局考真题---文科数学（北京卷）

如图，A,B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，N是锐角，大小为。.图

中阴影区域的面积的最大值为

A

B

A.4P+4cos3B.40HsinPC.28+2cosBD.2B+2sinB

20.2019年高考真题一一理科数学（天津卷）

己知函数/（X）=ASin（5+夕）（A〉0,口>0,101<%）是奇函数将y=/（X）的图像上所有

点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g（x）.若g（x）的最小正

g仔|=.d

周期为2n,且MJ，则,8J

A.-2B.一夜C.④D.2

二'填空题

21.2020年高考真题(新高考全国卷I适用地区：山东)数学试题

某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.0为圆孔及轮廓圆弧AB所在

圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩

形，BC1DG,垂足为C,tanZ0DC=^,||,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的

5

距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为_______cm2.

22.2020年高考真题(江苏卷)数学试题

将函数y=3(2的图象向右平移彳个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对

称轴的方程是―.

23.2020年高考真题(浙江卷)数学试题

己知—2,则2=_______；(--)—_____.

24.2020年高考真题(全国卷III)数学(理)试题

关于函数f(x)=+――有如下四个命题：

①f(x)的图像关于y轴对称.

②f(x)的图像关于原点对称.

③f(x)的图像关于直线x.对称.

@f(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

25.2019年高考真题——数学(浙江卷)

在△ABC中，2=90°,=4,=3,点D在线段AC上，若2=45°,

贝I]BD=___；/=.

三、解答题

26.2020年高考真题(北京卷)数学试题

在aABC中，a+b=nt再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

(I)a的值：

(II)sinC和△ABC的面积.

c=7,cosA=--

条件①：7；

cosA=—,cosB=—

条件②：816.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

27.2020年高考真题（新高考全国卷I适用地区：山东）数学试题

在①=>[3,②=3,③=这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=

V5,=—,________?

b

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

28.2020年高考真题（江苏卷）数学试题

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=3,=y[2,=45°.

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D,使得/=-（求N的值•

29.2019年高考真题——数学（浙江卷）

设函数（）=sin,eR.

（I）已知e[0,2），函数（+）是偶函数，求的值；

（U）求函数=[（+//+[（+夕产的值域.

30.2018年高考真题一一文科数学（北京卷）

（本小题13分）

已知函数（）=幺+6

（I）求（）的最小正周期；

（H）若（）在区间[一]，]上的最大值为»求m的最小值.

试卷答案

1.A

【解析】

计算出单位圆内接正6”边形和外切正6〃边形的周长，利用它们的算术平均数作为2万的近似

值可得出结果.

360060°30°

2sin----

单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为〃x6n,每条边长为n

30°

12nsin—

所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为n

c30°30°

2tan----12〃tan----

单位圆的外切正6〃边形的每条边长为n,其周长为n

30°30°

⑵sin——+12〃tan

f,30°30°

2乃=-------------------n=6nsin----+tan-----

2n

”3〃sin亚+tan30°

n

则In

故选：A.

本题考查圆周率万的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6〃边形和外切正6〃边形的

周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

【解析】

根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.

⑴当存在展Z使得a=.+(T)%时，

若去为偶数,则sina=sin(hr+0=sin/

若左为奇数，则sina=sin(br-m=sin[("l)"+"—"]=sin("—〃)=sin4

⑵当sina=sin/7时，a=/7+2m%或。+/?=乃+2/加r,weZ,即

a=女〃+队k=2m)或a=A%+(—1?夕(&=2m+l)

亦即存在&GZ使得a=左力+(-1)”?.

所以，"存在keZ使得&=攵乃+(-1)"’”是"sina=sin£”的充要条件.

故选：C.

本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应

用，属于基础题.

3.BC

【解析】

首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正

确结果.

由函数图像可知：7=f-7=p则=—=—=^,所以不选A,

2

当=T=为时，5+=彳+2（e）,

解得：=2+：（€）,

即函数的解析式为：

=（2+：+2）=（2+彳+万）=（2+彳）=（7-

2）•

而9+下）=一（"一2）

故选：BC.

已知f（x）=Asin（3x+6）（A>0,3>0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困

难的是求待定系数3和小，常用如下两种方法：

（1）由3=乙即可求出3;确定小时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零

点”横坐标x0,则令3x0+6=0（或3x0+小=”）,即可求出力.

（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形

解出3和小，若对A,3的符号或对小的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

4.B

【解析】

对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.

77*27r

f（x）=sin（xH——）T=——=2%

因为3,所以周期3,故①正确；

./兀、./7C7C、.57c11

/（―）=sin（--1--）=sin——=—w1

22362故②不正确；

—y=sin（x+工）

将函数N=smx的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到3的图象，

故③正确.

故选：B.

本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，

是一道容易题.

5.A

【解析】

首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

因为（）=+，则（一）=——=—（），

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD错误；

且=时，=+=-<0,据此可知选项B错误.

故选：A.

函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值

域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，

判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选

项.

6.D

【解析】

利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.

I-（+7）=7,二2--一-=7，

令=，。乙则2—=7,整理得~—4+4=0,解得=2,即

1—

=2.

故选：D.

本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.

7.A

【解析】

根据已知条件结合余弦定理求得，再根据即可求得答案.

viSAABC中，=y=4,=3

根据余弦定理：2=?+2-2.

2

2=，+/一2x4x3x-

o

可得AB?=9,g|jAB=3

=?+J

2•2K3K39

\.i1

故r=?

故选：A.

本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

8.D

【解析】

根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.

可以为负，所以A错;

•••*。：.h(e(-)=-———=-().••()关

于原点对称；

(2—)=------------*(),(-)=+—--=()，故

B错；

・•.()关于直线=7对称，故C错，D对

故选：D

本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.

9.C

【解析】

先根据余弦定理求，再根据余弦定理求cos3,最后根据同角三角函数关系求.

设=,=,=

2

2=2+2-2=9+16—2乂3乂4义工=9：・=3

2+2-21解

=一--------十=卜(3=丁

故选：C

本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

10.B

【解析】

将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.

由题意可得：+(+y=/,

则*+y=/，曰+j::

从而有：—+-=

boJ

即(+7)=?

故选：B.

本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

11.D

【解析】

由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

cos2cr=cos>0

当=一工时，I,选项B错误；

当=一三时，2=(一，)<0,选项A错误;

由在第四象限可得：<0,>0,则2=2<

0,选项C错误，选项D正确；

故选：D.

本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.

12.C

【解析】

4万乃、八

cos----co-\—=0

由图可得：函数图象过点,即可得到96),结合是

44兀3

------(D-\----=——co=—

函数/（X）

图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到962,即可求得2

再利用三角函数周期公式即可得解.

,0

由图可得：函数图象过点

(59+—=0

将它代入函数可得:6

是函数/（X）图象与X轴负半轴的第一个交点,

又

4兀71713

①T=co=—

所以9-------6------2,解得：2

丁242乃4乃

1=—==—

①33

所以函数,（X）的最小正周期为2

故选：C

本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

13.A

【解析】

用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosa的一元二次方程，求解得出cosa,再用

同角间的三角函数关系，即可得出结论.

3cos2a—8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,

2

coscc—__

即3cos2a-4cosa-4=0,解得3或coscz=2（舍去），

ae（0,乃）,:.sina=Vl-cos2a=-

又3.

故选：A.

本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解

能力，属于基础题.

14.C

【解析】

（4万）（4万乃）八（4乃）

------,0cos-------啰+—=0------,0

9

由图可得：函数图象过点IA即可得到196J；结合I9J是

4兀冗兀3

£/\---------CD-\-----=-------（D=-

函数JIV图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到962,即可求得2,

再利用三角函数周期公式即可得解.

由图可得：函数图象过点

将它代入函数/（“）可得:

/(x)图象与*轴负半轴的第一个交点,

4乃71式3

---------a)-\—=——a)=-

所以962,解得：2

T2乃244万

1——=—=—

033

所以函数/（*）的最小正周期为2

故选：C

本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

15.

C

【解析】

只需根据函数性质逐步得出，，值即可。

（）为奇函数，可知（。==0,

由I|v可得=0；

把其图象上各点的横坐标伸长到原来的湍，得（）=B,

由（）的最小正周期为2可得=2,

由（―）=>[2,可得=2,

所以（）=22,七）=2

故选C.

16.

C

1J+b'J

由题可知A，24

所以a2*b*-c22absme

由余弦定理a：-b：-c：2abcosC

所以、inCcos<'

vC€(O.x)

X

・・・C-一

4

故选C.

17.

C

由题意y=2sin(2x+v),其周期T===五

o2

18.

A

试题分析：由余弦定理得:选A.

4

19.

B

【解析】

阴影部分的面积S=SAPAB+SI-SAOAB.其中SI、SAOAB的值为定值.当且仅当SAPAB取最

大值时阴影部分的面积S取最大值.

观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时ZBOP=NAOP=n-B,面积S最大值为0r2+SAPOB+SAPOAMP+^|0P|OB|sin(n-

B)+3OP||OA|Sin(n-P)=4B+2Sin6+2Sin6=4B+4Sin3,故选B.

20.

c

因为（）为奇函数，，（0）==0,==0,=。；

又（）=B=卜=2.

2

=2,=2,又（？）=yj~2

二（）=22，一）3

故选C.

21.4+匕

【解析】

利用/=绿出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的

5

面积，求出直角4的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面

积求得.

设==,由题意———7,—12,所以—5,

因为=5,所以/=45,

因为〃，所以N=45,

因为与圆弧相切于点，所以1,

即^为等腰直角三角形；

在直角△中，=5-f,=,

因为N=—=|所以2/—等=25—弩,

解得=2位;

等腰直角4的面积为】=/或乂26=4、

扇形的面积2=Mx彳x=3,

所以阴影部分的面积为/+2-3=4+号.

故答案为：4+，.

本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背

景，体现了五育并举的育人方针.

22=——

*24

【解析】

先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

=3-7）+彳］=3（2

7

2-----=—F（e）・•・=——+----（e）

122I）242\）

当=一/时=一号

故答案为：=―

本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.

23•-"

【解析】

利用二倍角余弦公式以及弦化切得2,根据两角差正切公式得（-7）

2-2_/_2___3

2=2-2

2+2/+2~/+/5’

,、-12-1

（_N_7+_~2_7

故答案为：-g；

本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

24.②③

【解析】

利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性

的定义可判断命题③的正误；取-<<。可判断命题④的正误.综合可得出结论.

对于命题①，（彳）=>2=巳，（-》=-；-2=则（―总片（7）-

所以，函数（）的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数（）的定义域为{|4,e}.定义域关于原点对称，

（一）=（-）+-------=-（+—-）=

-（），

所以，函数（）的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，：（7-）=（7-）+一3=-

（7+）=（7+）+—则（1一）=

（7+）,

所以，函数（）的图象关于直线=7对称，命题③正确；

对于命题④，当一<〈时，sin尤<0,则（）=+_―<。<2,

命题④错误.

故答案为：②③.

本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

25.

12>[2742

5~10

【解析】

本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过

引入=，在、中应用正弦定理，建立方程，进而得解..

在中，正弦定理有：----------=----------,而=4/=J

4

=V-=5,/=—=/=一=（，所以

12/2

7©

―/------

410

解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.

smC=——/T

26.选择条件①（I）8（II）2,3=6,3；

.「布<15近

sinC=—S=-----

选择条件②（I）6（n）4,4.

【解析】

选择条件①（I）根据余弦定理直接求解，（II）先根据三角函数同角关系求得sinA,再根据

正弦定理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果；

选择条件②（1）先根据三角函数同角关系求得sinA，sinB,再根据正弦定理求结果，

（II）根据两角和正弦公式求sinC,再根据三角形面积公式求结果.

C=79COSA

选择条件①(I)7'。+〃=11

-.-cr=b2+c2-2反cosAz.片=(11_。)2+72_2(11—a).7•(—g)

...a=8

cosA=--,AG(0,7r)/.sinA=Vl-cos2A=

(II)77

ac87."6

sinAsinC4\/3sinC2

由正弦定理得：7

S=；〃asinC=；(U—8)x8x曰=6百

19

vcosA=-,cosB=—，A,Be(0,7t)

选择条件②(I)816

r.sinA=A/1-cos2A=sinB=A/1-COS2B=-

816

aba\\-a/

--..~l..a=6

sinAsin33475,7

由正弦定理得：816

・厂・，.n、•4RD人3币9551不

sinC=sin(A+3)=smAcosB+smBcosA=-----x——+------x—=——

(H)8161684

c1A.「八，近15币

S=—basinC=­(1l-6)x6x——=------

2244

本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

27.详见解析

【解析】

解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关

系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角，，的值，然

后根据选择的条件进行分析判断和求解.

解法一：

由=V5可得：一=

不妨设=,=(＞。，

则：2=2+