2021届甘肃省高三第一次高考诊断数学（文）试卷及答案解析

绝密★启用前

2021届甘肃省高三第一次高考诊断数学(文)

试题

学校：姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合4=卜卜1<%<3},B={-1,1,2},则Ap5=()

A.{1,2}B.{-1,1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3)

答案：A

根据集合交集的概念及运算，即可求解.

解：由题意,集合A={止l<x<3},B={-1,1,2},

根据集合交集的概念及运算，可得4n3={1，2}.

故选：A.

2.若复数z满足2i-z=1+则2=()

22

111.n1.

A.-B.--C.--1D.-I

2222

答案：c

首先得到!+gi=l,然后可算出答案.

22

解：因为1+中，=1,所以万・z=l,所以z=1=一,i

222z2

故选：C

3.下列函数中，在(F,0)单调递增且图象关于坐标原点对称的是()

A.=x+JB./(x)=2v+l

C./(x)=log2国D./(x)=x3

答案：D

根据基本初等函数的性质，结合选项，逐项判定，即可求解.

解：对于A中，函数_/(x)=x+g,可得在(-8,-1)上递增，在(-1,0)上递减，不符

合题意；

对于B中，根据指数函数的图象与性质，可得/(力=2⑹为非奇非偶函数，图象不关

于原点对称，不符合题意；

对于C中,函数/(X)=log2W,满足〃一%)=1082卜^=1°82国=/(力，所以函数

的图象关于)'轴对称，不符合题意；

对于D中，函数/(x)=V,根据基函数的性质，可得函数/(x)在区间(一8,0)单调递

增，且满足/(—X)=(—x)3=—d=—/(x),所以图象关于原点对称，符合题意.

故选：D.

4.2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检

测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G发热门诊智慧解决方

案”完成.该方案基于5G网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品

与标本配送的无人化和智能化.5G技术中数学原理之一就是香农公式：

C=W10g2(l+^).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度。(单位：

bit/s)取决于信道带宽W(单位：HZ)、信道内信号的平均功率S(单位：dB)、

S

信道内部的高斯噪声功率N(单位：dB)的大小，其中一叫做信噪比.按照香农公式,

N

若不改变带宽W,而将信噪比一从1000提升至2000,则C大约是原来的()

N

A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

答案：B

C,Wlog,20011,,111|

由题可得U右7°彳1g2+1，根据上=lgl()4<lg2<lgl03=上可求出.

GWlog21001343

解：•.•C=Wlog.+'),

当士=1000时，C,=lVlog2(1+1000)=Wlog21001,

当士=2000时，C2=Wlog2(1+2000)=Wlog22001,

G=爪22001一1幅20001幅2+1幅10001

3

人GWlog21001log,1000log21000log21030

11*11c.,

又]=lgl()4<]g2<lgl()3=§,则§lg2a0.1,即m=Ll

故选：B.

c1

点评：关键点评:：本题考查对数函数的应用，解题的关键是得出mP]lg2+1,再利

I111

用Z=lgl()4<lg2<lgl()3=§求出.

5.若向量£,B满足|4=2,问=1,且则(。一帅)=()

57r万〃■兀

A.—B.-C.-D.一

6236

答案：B

利用向量的数量积的运算公式，求得②一母石=0,即可求得向量2-瓦与区的夹角.

解：由题意，向量£,坂满足,|=2同=2,呵=1,且

rrrrrr2万

可得(a-b)-b=a-b-b=2xlxcos-j-l2=0,

TT

所以向量与否的夹角为耳.

故选：B.

6.已知机，〃表示两条不同直线，a,4表示两个不同平面.设有四个命题：PI：

若tnlla,/〃_!_〃，则“_La；生：若mNa,〃_La,则mJ,〃；必：若mila,aL/3,

则加〃£；P4：若mlla,mll/3,则all/3.则下列复合命题中为真命题的是()

A-POP2B.Ri八P4C.P2Vp3D.P3Vp4

答案：C

根据线面、面面平行，垂直的判定与性质可判断命题的真假，再由或、且命题的真假求

解.

解：口：若mlla,mLn,则〃_La是假命题，例如“〃a也可能，故一匹是真命题；

〃2：若加〃a，nla,则/〃，〃，根据线面垂直的性质定理即线面平行的性质定理

知是真命题；

〃3：若加〃a，a，尸，则相〃尸是假命题，例如可以加，/?；

P4：若血/a,机〃£,则。〃力是假命题，名，也可能相交.

所以PlA，2，->Pi八Pa，P3Vp4是假命题，p2VP3是真命题,

故选：C

7.已知。是第四象限角，Jisina=--,则tan2a=（）

5

1414

A.--B.--C.2—D.-

2323

答案：B

利用三角函数的基本关系式，求得tane=-1,结合正切的倍角公式，即可求解.

解：由题意，角。是第四象限角，且sina=—95,可得cosa=Jl—sin2a=拽,

所以tanct------=—,可得tan2a=-----；—=-----——=—.

cosa21—tan_a]_（_工）23

故选：B.

8.圆f+y2=4上任意一点M到直线3x+4.y-15=0的距离大于2的概率为（）

1125

A.-B.-C.-D.一

6336

答案：c

试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据

4乃

题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是7,根据几何概型概率公式得到结果.

取CD=1,过。做AB//1交圆于AB,可知满足条件的点在劣弧AB上（不包括A,B）,

在放△ACD中，AC=2,CD=l,

所以cos/ACO=-,ZACD=-,即NACB=」，

因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为，

4万

由几何概型可知0y2,

r==—

2万3

故选：C

9.甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示.则

甲、乙两人中靶环数的方差分别为()

A.7,7B.7,1.2C.1.1,2.3D.1.2,5.4

答案：D

求出平均数，利用方差公式即可求解.

解：实线的数字为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,

虚线的数字为：9,5,7,8,7,6,8,67,7,

一1

所以电=历(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)=7,

一1

漏=m(9+5+7+8+7+6+8+6+7+7)=7,

I

,+.••+(7-7)21.2

10

1

…+(10-7)2=5.4.

To

故选：D

10.在口中，A=120。，BC=6,则□A5c的面积的最大值为()

A.!B.1C.迪D.36

22

答案：D

由余弦定理得到〃+。2=36-be,应用不等式求〃。范围，即可求出面积的最值.

解：由余弦定理，cos120。="十1一6,

2bc

即〃+°2=36—历之加c，当且仅当。二c•时，等号成立，

所以=12，

所以=—^csinA=—x—x12-3A/3>

max222

故选：D

点评：关键点点评:：由余弦定理得到。2+/=36-。c，应用重要不等式求出be的最

大值是解题的关键，属于中档题.

11.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六

器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器.《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方,

以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文.如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，

圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，筒高6.0cm,方高4.0cm，则其体积约为（单位：cm3）

A.23.04—3.92万B.34.56—3.92万C.34.56-3.12万D.23.04—3.12万

答案：D

由所给几何体为圆柱与长方体的组合体，利用体积公式计算即可.

解：由图可知，组合体由圆柱、长方体构成，

24

组合体的体积为V=2x〃x（^）2xl+4x2.4x2.4一万乂6=23.04-3.12万,

2

故选：D

12.设耳，鸟是双曲线三一着=l（a>0）的左、右焦点，一条渐近线方程为y=^x,

P为双曲线上一点，且伊耳|=3归段，则△?£鸟的面积等于（）

A.6B.12C.6710D.3710

答案：A

根据渐近线方程可求得。，由双曲线定义可求得归用,仍周，由勾股定理知P耳_LPK，

由此可求得所求面积.

解：由双曲线方程知其渐近线方程为：y=±显x，又一条渐近线方程为y=^x,

a2

Q=2,

由双曲线定义知：归耳|一归引=|3归玛|一归国=2归国=2。=4,

解得：|尸周=2,.•.|竺|=6,又闺用=2j/+6=2标,

.•.附『+吃］2=国司2,...尸耳，巡,

・•・sp尸的=；归短忖玛=gx6x2=6.

故选：A.

二、填空题

13.曲线y=e*+x在点（0,1）处的切线方程为.

答案：y=2x+l

解：试题分析：•.3="+X,"+1,.••切线斜率为Z=y'1.1=0°+1=2,

切线方程为yT=2（x-0）,即y=2x+l.

故答案为y=2x+l.

【解析】利用导数求切线方程.

14.设a=log202i匹，方=2021/，。=1082。22号厂则。，6，c的大小关系是

.（按照从大到小的顺序排列）

答案：b>a>c

根据指数函数、对数函数的单调性，以0与1为中间量比较大小即可.

v，2022

解：・・・a=log202I=^log202I2022,

11

2

而匕=2021赤>2021°=I'C=1O§2022女历'<log20221=°，

所以人〉4>C,

故答案为：b>a>c

22

15.抛物线y2=_2px(p>0)的准线经过椭圆方+?=1的右焦点，则°=.

答案：4

求得椭圆右焦点为(2,0),即可得出5=2,求出入

解：由椭圆方程可得其右焦点为(2,0),

♦.•抛物线的准线经过椭圆的右焦点，

.q=2,解得〃=4.

故答案为：4.

16.函数/(幻=cos2x-J5sin2x，xeR,有下列命题：

①y=/(x)的表达式可改写为y=2cos(2x+?；

IT

②直线尤=一是函数〃x)图象的一条对称轴；

12

③函数/(x)的图象可以由函数y=2sin2x的图象向右平移三个单位长度得到；

6

43兀

X

④满足f(x)<y/3的X的取值范围是,x—石+女万<工~^+卜兀,kGZ>.

其中正确的命题序号是.(注：把你认为正确的命题序号都填上)

答案：①④

根据辅助角公式化简函数可判断①；根据余弦函数的性质可判断②；由图象的平移变换

判断③；根据余弦函数的图象解三角不等式判断④.

ft?：,/f(x)=cos2x-A/3sin2x=2cos(2x+y),故①正确；

TT77-77"

当x=在时，y=/(五)=2cos7=0,故②错误；

因为函数y=2sin2x的图象向右平移？个单位长度得到

6

冗7U

j=2sin2(x-^)=2sin(2x--^),

TTTT

而2sin(2x—1)#2cos(2x+-),故③错误；

由/(x)4G可得2cos(2x+g)«J5,解得cosQx+工)4且，

332

TTTT1177TT37r

所以——\-2k7T<2x+—<----+24肛AwZ,解得-----\-k7j：<x<----\-k7T,k&Z,故

636124

④正确.

故答案为：①④

点评：关键点点评:：根据三角函数的图象与性质可研究函数的对称轴，解三角不等式,

利用三角恒等变换可化简函数解析式，属于中档题.

三、解答题

17.已知数列｛4｝的前〃项和为5“，且S“，a“,3成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

1112

(2)证明：对一切的正整数〃，W—+—+•••+—<-.

a24a2n9

答案：(1)勺=32i；(2)证明见解析.

(1)根据题意，得到2q=S”+3,当〃22时，得出2a,I=5,,.,+3,两式相减得到

­=2,结合等比数列的通项公式，即可求解；

%

(2)由(1)得一L=2/_L],利用等比数列的求和公式，即可求解.

解：(1)因为5.，a,,,3成等差数列，所以2%=S“+3,①

当〃=1时，2al=S1+3,得4=3；

当“22时，2%_]=S,i+3,(2)

①一②可得2a“-2az=即an=2«,(_1,即-2,

an-\

所以｛4｝是以3为首项，2为公比的等比数列,所以%=3・2"T.

(2)由(1)得

所以

4

18.如图，已知点P为正方形ABC。所在平面外一点，△PAO是边长为2的等边三

角形，点E是线段P。的中点，平面PAO_L平面A8CO.

(1)证明：〃平面AEC；

(2)求三棱锥P-AEC的体积.

答案：(1)证明见解析；(2)昱

3

(1)连接30,设80cAe=0,连接。E,证明OE//PB即可；

(2)首先证明CD±平面PAD,然后利用Vp^AEc=^c-PAE=；xS^PAEXCD计算出

答案即可.

解：(1)证明：连接80,设8OcAC=O,连接0E.

•.•底面A6C。是正方形，...O为8。的中点.

又；E是线段尸。的中点，

OE是的中位线，

，OEHPB,

,/PB<z平面AEC,OEu平面AEC,

：.PBII平面AEC.

(2)解：在正方形A8CO中，CDLAO,

又♦.•平面PA£>n平面ABC£>=A。，且平面PA。_L平面ABC。,

...CDL平面PAD.

V△PAO是等边三角形，且E是线段尸。的中点，

•c_1c_11V3_V3

—XXoXo

**S△0AE_3SAPAD~^22X-^--，

''^P-AEC=Z-/ME=qXS^pAEXCD~~XX2=-

19.2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时

代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育

心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、

掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分学校为掌握九年级学生一

分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在［165,215］间，并得到如图所

示频率分布直方图，计分规则如下表：

一分钟跳绳个

[165,175)[175,185)[185,195)[195,205)[205,215]

数

得分1617181920

0.050

0.030---------------------------f--------------

a(x»l-------------

'七十一hh一

0165175185195205215—分曾财个数

(1)若每分钟跳绳成绩为16分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进行测试的100

名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少？

(2)学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华

是该团队的成员，现学校要从该团队中派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少

有一人被选派的概率.

3

答案：(1)5人；(2)y.

(1)由频率分布直方图的性质，求得［165,175)对应的概率0.05,进而求得跳绳成绩

不合格的人数；

(2)由频率分布直方图求得跳绳测试得分最高的学生一分钟跳绳个数的人数，利用列

举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算

公式，即可求解.

解：(1)由频率分布直方图，可得［165,175)对应的概率为：

1-(0.009+0.050+0.030+0.006)*10=0.05,

其中一分钟跳绳成绩为16分，可得一分钟跳绳个数在［165,175),

所以100名学生中跳绳成绩不合格的人数为：100x0.05=5(人)；

(2)跳绳测试得分最高的学生一分钟跳绳个数在［205,215］,

根据频率分布直方图，其人数为100x0.006x10=6(人)，

记这小明为相，小华为〃，其余四人为。，b,c,d,

则在这六人中选两人参加比赛的所有情况如下：在),(a,c),(a,d),(a,ni),(a,〃)，

(b,c),(b,d),(b,ni),(c,d),(c,A),(d,〃z),(d,h),

共计15种，

其中小明和小华至少有一人被选派的情况有：(a,h),(b,rri),(b,h),

共计9种,

93

则小明和小华至少有一人被选派的概率P=—=1.

22

20.己知椭圆C：斗+斗=1.>6〉0)的左、右焦点分别是耳，F2,上、下顶点

分别是耳，B2,离心率e=J,短轴长为2石.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)过K的直线/与椭圆。交于不同的两点M,N,若MNLBF?，试求

内切圆的面积.

22

答案：(1)—+-^—=1；(2)——.

43169

c_1

(1)由题意得5，解出即可；

2b=26

(2)首先算出直线/的方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出△耳MN的面积和周

长，然后得到△耳MN内切圆的半径即可.

c_1

解：(1)由题意得5,又a2=〃+c2,解得/=4，8=3,

2b=26

所以椭圆。的方程为三+汇=1.

43

(2)由用倒,出)，6(1,0),知4鸟的斜率为—JL因W4g，故MN的斜

率为迫，

3

则直线/的方程为y=与(x—1),即x=6y+l，

"22

二+匕=1

联立J43'可得：13y2+6，§y-9=0，

x=>/3y+1,

69

设N(a，丫2)，则>]+%=-----'y^2=—,

1313

则/\F\MN的面积s=cjy-%|=J(y+%)2-4必%=77，

由△KMN的周长L=4a=8,及S=］LR,得内切圆/?=一丁=为，

所以△KMN的内切圆面积为HR?=^7t.

21.已知函数一(a+l)x+alnx.

(1)当a>0时，求函数/(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)=e*—(a+2)x+2alnx-l-2.f(x),若g(x)在［1,2］内有且仅有

一个零点，求实数。的取值范围.

-5-e2c-

答案：(1)答案见解析；(2)—^—,2-e.

(1)求出函数的导数，分0<a<l,a=l和。>1三种情况判断导数正负可得出单调区

间；

(2)由题可得a=~二■在［L2］上有且仅有一个实数根，构造函数

X

Y2—4-1

A(x)=-~上士，利用导数求出函数的单调性，即可求出.

解：解：⑴函数/(X)的定义域为(0,+8),

2

m\ax~(a+l］x+a(%-l)(x-a)

所以/'(x)=x-(a+l)+-=-----------L------=--------------

(i)当0<a<l时，由/'(x)<0,得a<x<l,则的减区间为(a』)；

由/'(x)>0,得x<a,或x>l,则/(x)的增区间为(0,a)和

(ii)当”=1时，/'(力》0,则〃x)的增区间为(0,+8).

(iii)当a>l时,由/'(x)<0,得l<x<a,则/(x)的减区间为(1,a)；

由/'(x)>0,得，x<\,或x>a,则/(x)的增区间为(0,1)和(a,”).

(2)g(x)=e*-(a+2)x+2<zlnx-l-2/(x)=e*—f+⑪-i,g(x)在［1,2］内有

v

/_P1

且仅有一个零点，即关于％方程。=在［L2］上有且仅有一个实数根.

x

人\J—e"+l「1ci\(x-D(x+1-e)

令M光)=---------,^e［l,2］,则=l-------------------L,

XX

令p(x)=x+l-炉,xe[l,2].则〃'(x)=l-e*<0,故p(x)在[1,2]上单调递减.

所以〃(x)<〃(l)=2-e<0,

即当尤e［l,2］时,〃'(％)«(),所以力⑺在［1,2］上单调递减.

22

又〃(/1)、=2-e,"(2)5=-^e-,则5-e—

5-e2"

所以。的取值范围是——,2-e.

2

点评：方法点评:：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系

中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

22.在平面直角坐标系xQy中，已知点P的坐标为(0,2),直线G的方程为：

x=tcosa

\.(其中/为参数).以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐

y=2+rsina

标系，曲线G的极坐标方程为：pcos20+4V3cos^-p=O.

(1)将直线6的方程化为普通方程，曲线G的方程化为直角坐标方程；

(2)若直线G过点1)且交曲线G于A,8两点，设线段A3的中点为

求

答案：(1)xsina-ycos«+2costz=0,y2=473%；(2).

(1)根据参数方程，消去参数，即可求解；将曲线G的极坐标方程两边同时乘以。，

x=0cos。

根据(y=psine即可求解.

卜+y2=p-

2

(2)将点代入可得a=§万，将直线的参数方程代入。2的直角坐标方程，设A，B,

M对应的参数分别为右，与，“，得出f0="改=-手，利用参数的几何意义即

可求解.

x=tcosa

解：解：(1)由直线G的参数方<..a为参数),

y=2+Zsincr

消去参数，可得其普通方程为：xsina-ycosa+2cos<z=0.

2

曲线C2的极坐标方程pcos0+45/3cos0—q=0，即为

p2cos20+4V3pcos。一夕2=0，

化为直角坐标方程为：V=