江苏省兴化市2022-2023学年高二下学期期中数学试题（含答案解析）

2022－2023学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试用时：120分钟总分：150分）注意：所有试题的答案均需填写在答题卡上，答案写在试卷上的无效．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.可以表示为()．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒【详解】＝，故选：C﹒2.从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为（）．A.84 B.42 C.30 D.21【答案】D【解析】【分析】利用组合数求解即可.【详解】从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为故选：D3.已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有，，所以平面，交线的方向向量可以是故选：B4.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有（）种方案．A.3 B.6 C.30 D.60【答案】B【解析】【分析】先考虑天和核心舱，然后再考虑剩下的两个舱即可.【详解】先除甲、乙外的3名航天员种挑1人到天和核心舱有种情况，然后剩下的2名航天员一组，甲乙一组分配到剩下的两个舱有种情况，所以共有.故选：B.5.若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量共面定理可知BCD选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设A中向量共面，可知不存在满足条件的实数，由此知假设错误，则A中向量可以作为基底.【详解】对于A，假设共面，则可设，方程组无解，不共面，可以作为空间一组基底，A正确；对于B，，∴共面，不能作为空间一组基底，B错误；对于C，，∴共面，不能作为空间一组基底，C错误；对于D，，共面，不能作为空间一组基底，D错误.故选：A6.某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，此时不同的排法种数为种；若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，此时不同的排法种数为.综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种.故选：B.7.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线CQ与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的方法求线面角即可.【详解】如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.故选：B.8.已知，的展开式中含x的项的系数为12，则的展开式中含的项的系数的最小值是（）A.18 B.25 C.27 D.30【答案】C【解析】【分析】由条件可得，然后写出含的项的系数，然后消元，利用二次函数的知识可得最值.【详解】因为的展开式中含x的项的系数为12，所以，所以的展开式中含的项的系数为，因为对应的二次函数的对称轴为，所以当时取得最小值，故选：C二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.在正方体中，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意画出几何体，再由平面向量的加法运算逐一分析四个选项得答案.【详解】如图，对于A,,故A正确;对于B，，易知，则为等边三角形,，即，故B正确;对于C,，故C错误;对于D，，故D正确.故选:ABD.10.从1，2，3，4，6中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有（）A.若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为125B.若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为375C.若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为70D.若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为72【答案】ABD【解析】【分析】AB选项利用分步乘法原理计算即可，CD选项利用排列组合和特殊优先的原则计算即可.【详解】A选项：若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为，故A正确；B选项：若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为，故B正确；C选项：若数字不能重复，则可组成三位数的个数为，故C错；D选项：若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为，故D正确.故选：ABD.11.已知，下列结论正确有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由赋值法判断BC；令，由二项式定理结合赋值法判断AD.【详解】因为，令，则，令，则，所以，故B错误；令，则，故C错误：令，则，所以，通项为，所以，故A正确；令，则，令，得，故D正确.故选：AD12.数列，中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（）A. B.当时，被4除所得余数为3C.当时，被5除所得余数为3 D.【答案】ACD【解析】【分析】AD选项根据阶乘的含义计算即可，BC选项将被4除所得的余数、被5除所得余数分别转化为被4除所得的余数、被5除所得余数，然后计算即可.【详解】A选项：，故A正确；B选项：，，，都能被4整除，所以当时，被4除所得的余数和被4除所得的余数相同，，被4除的余数为1，故B错；C选项：同理可得，当时，被5除所得余数和被5除所得余数相同，，被5除所得余数为3，故C正确；D选项：，故D正确故选：ACD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若，则正整数______．【答案】11【解析】【分析】根据组合数的性质计算即可.【详解】由题意得.故答案为：11.14.在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则__________.【答案】1【解析】【分析】利用平面向量基本定理，列出关系式，利用向量的坐标运算得出关系式，即可求解【详解】∵，∴，，，又∵四点共面，∴由平面向量基本定理可知存在实数使成立,∴,∴，解得，故答案为：115.的展开式中的系数为______．（用数字作答）．【答案】70【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式计算即可.【详解】展开式中的项为，所以展开式中的系数为70.故答案为：70.16.近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．【答案】348【解析】【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种，第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种，由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，故答案为：.四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.计算（写出计算过程，结果用数字作答）：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据排列数公式计算即可；（2）根据组合数公式和性质计算即可.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式=.18.从6名男生和5名女生中选出4人去参加某项大赛．（1）如果要求4人中男生和女生都要有，那么有多少种选法（用数字作答）？（2）如果男生甲和女生乙最多只能选1人，那么有多少种选法（用数字作答）？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）从对立面入手，让总的情况减去只选男生和只选女生的情况即可；（2）分选了男生甲没选女生乙、选了女生乙没选男生甲和男生甲和女生乙都没选三种情况考虑即可.【小问1详解】若只选男生，则有种选法；若只选女生，则有种选法．故如果要求4人中男生和女生都要有，那么有种选法．【小问2详解】若选了男生甲没选女生乙，则有种选法，若选了女生乙没选男生甲，则有种选法，若男生甲和女生乙都没选，则有种选法，故男生甲和女生乙最多只能选1人共有种选法.19.已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，．（1）分别用，，来表示向量，；（2）若，，两两垂直，求直线PM与BN所成角的余弦值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的加法和数乘计算即可；（2）利用空间向量数量积的公式计算即可.【小问1详解】，小问2详解】因为，，两两垂直，所以，又因为，同理，所以，记直线PM与BN所成角为，则有，所以直线PM与BN所成角的余弦值为.20.已知在的展开式中，第9项为常数项，求：（1）n的值；（2）展开式中的系数；（3）含x的整数次幂的项的个数.【答案】（1）10（2）（3）6项【解析】【分析】（1）写出通项公式，根据时，的指数为0，可求出；（2）在通项公式中，令的指数为5，可求出，从而可得展开式中的系数；（3）在通项公式中，由指数为整数以及，k∈N，可求出的个数.【小问1详解】由已知得二项展开式的通项为.因为第9项为常数项，所以当时，，即，解得.【小问2详解】由（1）知，令，得，所以的系数为.【小问3详解】要使为整数，只需k为偶数，由于，k∈N，因此含x的整数次幂的项共有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.21.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，点是的中点，为线段上一点且.（1）若，求的长；（2）若平面与平面所成的二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，利用求解即可；(2)根据平面与平面所成的二面角为，利用向量法列方程求出再利用夹角公式可得结果.【小问1详解】因为侧棱底面是长方形，所以以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则.因为点是的中点，所以，因为为上一点且，所以.，于是，解得，所以.【小问2详解】由平面，所以是平面的一个法向量.设是平面的法向量.令，得，所以是平面的一个法向量.若平面与平面所成的二面角为，则，解得.所以，所以直线与平面所成角的正弦值是.22.已知数列的首项为1，设，．（1）若为常数列，求的值；（2）若为公比为2的等比数列，求的解析式；（3）数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由