专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理（解析版）（人教版）

专题09二次函数中的定值与定点压轴题全梳理类型一、定值问题例．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是第二象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，作直线交于点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；(3)如图2，连接，过点作直线，交轴于点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式即可；（2）设直线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为：；，则，根据两点间的距离公式可得，，结合题意可得，建立方程求解可得，即可求解；（3）设直线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为：；设直线的解析式为：，将点代入求得直线的解析式为：，得到，根据两点间的距离公式可得，，结合题意列方程求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，将，，代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：．（2）解：设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：；设，则，∴，又∵，∴，∵是以为底边的等腰三角形，∴，∴，即，整理得：，解得：（舍去），，当时，故．（3）解：设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，∴直线的解析式为：；∵直线平行于直线，故设直线的解析式为：，将代入得：，∴直线的解析式为：，将代入，得：，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴；当时，整理得：，解得（舍去），；当时，，故；当时，整理得：，解得：（舍去），；当时，，故；综上，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，求一次函数解析式，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，列方程求解是解题的关键．【变式训练1】已知抛物线的顶点为，与轴交于．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过顶点作轴于点，交直线于，点、分别在抛物线和轴上，若为，且以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求的值；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线，直线与轴交于点，与抛物线交于、两个不同点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，当的值在取值范围内发生变化时，式子的值是否发生变化？若不变，请求其值．（解此题时不用相似知识）【答案】(1)(2)，或(3)【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入求解a即可；（2）分两种情况讨论：①当为边时，②当为对角线时，再结合平行四边形的性质建立方程求解即可；（3）如图，先求解，由抛物线向右平移一个单位得到抛物线的解析式为：，联立方程组：，可得，，可得，，从而可得答案．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入得，，故抛物线的解析式为：；（2）当为边时，如图，∵四边形为平行四边形，∴，，

∵点，∴点，∴，，令，∴，解得：，或，点，设直线为，∴，解得：，∴直线的解析式为：，当时，，点，，由平行四边形性质可得：，∴，解得：，或；当为对角线时，记的中点为，如图，∵，，∴，

设，而，∴，∴，∴，∴方程无解，则原方程组无解．综上：，或；（3）如图，∵，∴当时，，∴，

抛物线向右平移一个单位得到抛物线的解析式为：，联立方程组：，解得：，，∴，，∵轴，轴，，．∴，，．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，本题难度较大，属于压轴题．【变式训练2】如图1，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．（1）求直线BD的解析式；（2）P为抛物线上一点，当点Р到直线BD的距离为时，求点P的坐标；（3）如图2，直线交抛物线与M，N两点，C为抛物线上一点，当时，请探究点C到MN的距离是否为定值．【答案】（1）；（2）或；（3）C到MN的距离为定值【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可；（2）如图，连接延长至使可得证明可得到的距离为：过作的平行线，交抛物线于求解为：联立解方程组可得答案；（3）如图，过作于证明可得联立：可得设则可得又可得解方程并检验可得结论．【详解】解：（1）令则令设为解得：直线为：（2）如图，连接延长至使由同理：到的距离为：过作的平行线，交抛物线于由中点坐标公式可得：设为为：解得：或（3）如图，过作于联立：解得：设则检验：不合题意舍去，取为定值．所以点C到MN的距离为定值．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点坐标问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．【变式训练3】如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；②如图2，直线分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)①4；②是，定值为8，理由见解析．【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得，，从而得解；（2）①把代入抛物线解析式可得点坐标，再将代入抛物线解析式可得点坐标，从而得知线段轴，利用配方法可知点坐标，从而利用求面积；②设，，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．【详解】（1）当时，，，是的两根，，，，解得：，抛物线的表达式为：；（2）①把代入得：，．又当，，，线段轴．，，；②设，，直线，，因此可得：或，解得：或，直线，．令得，，，，．【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．类型二、定点问题例．如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点C，．

(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点M，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标；(3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，Q、N是抛物线对称轴上两点，．求证：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点P．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由题意可得点C的坐标为，即，进而得到，最后把．A两点的坐标代入抛物线求出c的值即可；（2）如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M．则，再求出M点的坐标；直线PC的解析式为．再与联立即可解答；（3）设，再求得直线解析式为，则，如图：过点P作于点M，则．设，然后再运用勾股定理即可解答．【详解】（1）解：当时，，，．，，．，解得，．∴．（2）解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M．则．

∵直线是，，，，．，．解得：．．设直线的解析式为，，在直线上，直线PC的解析式为．联立，得，，解得：，．当时，．．（3）解：设，设直线解析式为：，联立，．唯一交点，．，，，，直线PQ解析式为：．．过点P作于点M，则．

设，，，，，．令，则．，，．存在点，当时，PQ与抛物线有唯一交点P．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、等腰三角形的性质、交点标特征等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键．【变式训练1】如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上．

(1)直接写出点的坐标；(2)如图（1），若点的横坐标是，点在第二象限，平行四边形的面积是13，①求直线的解析式；②求点的坐标；(3)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点．【答案】(1)(2)①；②(3)见解析【分析】（1）令，求出点，两点坐标，根据是的中点，即可求解；（2）①先求出点，即可求得直线的解析式，②过点作轴交直线于点，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于的方程，求出点的坐标，即可求解；（3）设直线的解析式为，联立，可得，从而得到，再由平行四边形的性质，可得，，再由点在抛物线上，可得，从而得到直线的解析式为，即可求解．【详解】（1）解：当时，则，解得：，，，，是的中点，；（2）解：①点在抛物线上，，点，设直线的解析式为，把，代入得：，解得，直线的解析式为，②如图（1），过点作轴交直线于点，连接，

设点，则点，，平行四边形的面积是13，，，，解得：或（舍去），点，点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点，点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点；（3）解：设直线的解析式为，联立得：，整理得：，，四边形为平行四边形，，，，，点在抛物线上，，解得：，直线的解析式为，直线过定点．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．【变式训练2】已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值；(3)如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）把代入函数解析式即可得到答案；（2）先求出，可得，结合，可得方程，结合，即可求解；（3）设，，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，由可得，联立方程组，可得，，进而即可求解.【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）如图1，已知直线AB的解析式为，令，则，∴直线AB过定点，∵，∴轴，，∴，∴，令，整理得，∴，，∴，整理得，解得或；（3）设，，如图2，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析式为，∵，，∴，∴，即，∴，∴①，联立方程组，∴，∴，②，将②代入①，得化简，得，∴直线AB的解析式为，即，∴直线AB经过定点．

【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键.【变式训练3】已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，且的面积为6，

(1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)如图1，若，为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值；(3)如图2，过定点的直线交抛物线于，两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．【答案】(1)，(2)或或或(3)直线必过定点，证明见解析【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，利用对称性和三角形的面积公式求得点C坐标，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）设，，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式分别求解即可；（3）设，，则直线的解析式为，由直线经过定点则，再由直线经过点，与抛物线交于点可得直线的解析式为，进而可求得，再利用待定系数法求得直线解析式为，进而可知当时，，即直线必过定点．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，，∴，则，∵的面积为6，∴，则，∴，将和代入中，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：由题意，设，，有三种情况：当为对角线时，则，∴，将F坐标代入抛物线解析中，得，解得；当为对角线时，则，∴，将F坐标代入抛物线解析中，得，解得；当为对角线时，则，∴，将F坐标代入抛物线解析中，得，解得，；综上，满足条件得m值为或或或；（3）解：设，，设直线的解析式为，由得，∴，，则，，∴直线的解析式为，∵直线经过定点，∴，则，∵直线经过点，与抛物线交于点，∴，则，∴直线的解析式为，由得，，∴，设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，即，当时，，∴直线必过定点．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，平行四边形的性质、中点坐标公式、抛物线与一次函数的交点问题，直线恒过定点问题、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用待定系数法、数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．课后训练1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线交x轴于点D，且平分，求点P的坐标；(3)如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．【答案】(1)(2)(3)线段的长度不会改变，线段的长度为12【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值；（2）设交x轴于点D，过点D作于点E，利用角平分线的性质可得，证明是等腰直角三角形，可得，然后求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线解析式，然后把直线解析式和抛物线解析式联立方程组即可求出点P的坐标；（3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度．【详解】（1）解：由图象，可知，将代入中，得，点，，令，即，解得，，点A在点B的左侧，点，，，又，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：设交x轴于点D，过点D作于点E，

，平分，，，又，，，，，又，，解得，，设直线解析式为，则，解得，∴，联立方程组，解得（舍去），，∴点P的坐标为；（3）解：设，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，当时，，同理得：直线的解析式为，∵，设的解析式为，，，解得，的解析式为，当是，，，线段的长度为，线段的长度不会改变，线段的长度为12．【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、角平分线的性质、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点．

(1)二次函数图像的对称轴为直线．①求二次函数的表达式；②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是________；③在②的条件下，连接，在上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q，求线段的最大值；(2)过点M作的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出的值．【答案】(1)①；②；③(2)m+n的值为定值3【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式；②根据二次函数的对称性求解即可；③设，求出直线的解析式，从而求出，即可求出的长与t的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可；（2）将代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，根据一次函数的性质设出直线的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论．【详解】（1）①由题意，解得，∴二次函数的解析式为．②∵对称轴为直线，∴；③如图，

∵，∴的表达式为设，∵轴∴点P的纵坐标为∴将代入得，∴∴∴的最大值为；（2）结论：的值为定值3．理由：如图，

将代入二次函数解析式中，得解得：∴二次函数解析式为∴，设直线的解析式为，把代入得到：，∴直线的解析式为，∵，∴可以假设直线的解析式为，由，消去y得到：，∴，∵点M、N的横坐标为m、n，∴．∴为定值，．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．3．如图，直线：交轴于点，交轴于点，点在轴上，，经过点，的抛物线：交直线于另一点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标；(3)抛物线与轴的另一个交点为，过点的任意直线（不与轴平行）与抛物线交于点、，直线、分别交轴于点、，是否存在的值使得与的积为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）在中，可得，，，即知，用待定系数法得抛物线的解析式为；（2）设，则，，可得，，由，得，即可解得；（3）由得，设，，直线的解析式为，可得，，同理得，可得，从而，设直线的解析式为，有，根据韦达定理得，，可求得，故当时，．【详解】（1）解：在中，令得，令得，，，，，，，，抛物线经过，，，解得，抛物线的解析式为；（2）设，则，，，，，，解得或（与重合，舍去），；（3）存在的值使得与的积为定值，理由如下：

在中，令得，解得或，，设，，设直线的解析式为，将点代入，得，直线的解析式为，令，则，，，设直线的解析式为，点代入，得，直线的解析式为，令，则，，，，设直线的解析式为，联立方程组，，，，，当时，为定值2，当时，．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数相关性质，熟练应用二次函数与一元二次方程的关系解决问题．4．如图，抛物线交轴于，两点（在的左边）与轴交于点．

(1)如图1，已知，且点的坐标为①求抛物线的解析式；②P为第四象限抛物线上一点，交轴于点，求面积的最大值及此时点的坐标．(2)如图，为轴正半轴上一点，过点作交抛物线于，两点（在的左边），直线，分别交轴于，两点，求的值．【答案】(1)①；②；(2)【分析】（1）①根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解；②设，又，求得直线的解析式为，直线的解析式为，根据一次函数的平移的性质，得出，进而根据三角形的面积公式表示出，根据二次函数的性质即可求解；（2）设的横坐标分别为，直线的解析式为，消去，得出，根据一元二次方程根与系数的关系求得，则直线的解析式为，同理求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而求得的坐标，即可求解．【详解】（1）解：①由，当，解得：，∴，∵，∴，将，代入∴解得：，∴；②设，又设直线的解析式为，即，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴