专题01第一章 勾股定理（中等类型10大类型）（原卷版）VIP

专题01第一章勾股定理【专题过关】类型一、用勾股定理解三角形【解惑】如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，则的长为（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【融会贯通】1．（2023春·河北保定·八年级统考期中）直角三角形两直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．52．（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，直线，正方形的三个顶点A、B、C分别在直线上，点A到直线的距离是3，点C到直线的距离是6，则正方形的面积为．

4．（2023春·黑龙江黑河·八年级校考期中）如图，四边形中，，，，，点E是上一点，且，求的长．

5．（2023春·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）如图，已知四边形中，，，连接，，过C作，垂足为E．

(1)求证：；(2)若，，求的面积．类型二、勾股树（数）问题【解惑】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【融会贯通】1．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为．3．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是．4．（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为．5．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．

类型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【融会贯通】1.（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则(

)A．21 B．3 C．9 D．2.（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则另一个的面积为的正方形的边长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·河北石家庄·八年级统考开学考试）如图，分别以的三边长，，为边长向外作正方形，正方形中标注的数字代表所在正方形的面积，则x所在的正方形的面积为．5．（2023春·新疆伊犁·八年级校考期中）如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的总面积为，直角三角形①的斜边为，则直角三角形①的面积为．类型四、勾股定理与折叠问题【解惑】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿折叠，使它落在斜边上，则等于（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．2．（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考开学考试）如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年级校考期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为．

4．（2022秋·甘肃白银·八年级校考期中）如图，四边形是长方形，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，求的长．

5．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）把一长方形纸片按图所示折叠，使顶点B与点D重合，折痕为，若，，重叠部分的面积为多少？

类型五、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【融会贯通】1．（2023春·山西大同·八年级统考期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为．

2．（2023秋·全国·八年级专题练习）在中，斜边，则．3．（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）在中，斜边长，的值为4．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于．6．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接．

(1)求证：(2)若，，，直接写出线段的长．类型六、赵爽弦图【解惑】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边（），表示斜边，则下列说法中错误的是（

）

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（

）A．7 B．24 C．17 D．252．（2023春·北京·八年级统考期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图是我国古代数学家赵爽创制的一副“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形无缝拼成的大正方形．若，，则的长是．

4．（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就如图，小颖同学把图中长和宽分别和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，则图中小正方形的面积为．5．（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一，如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为和，则中间小正方形的对角线长为．

类型七、勾股定理构造图形【解惑】为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（

）A．米 B．米 C．米 D．米【融会贯通】1．（2023秋·广东揭阳·八年级统考期末）如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去间一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为寸．

3．（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一道有趣的题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何?”其大意如下：已知甲、乙两人同时从一地出发，甲的速度为7步/秒（步为古代长度计量单位，与现在的米类似），乙的速度为3步/秒．乙一直向东行走，甲向南行走10步后，偏离原方向，朝北偏东的方向直行一段后与乙相遇，问甲、乙各行走了多少步?设乙经过秒后两人相遇，则根据题意，可列方程为．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8，又往北走2，遇到障碍后又往西走3，再折向北走6处往东一拐，仅1就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？

5．（2022秋·七年级单元测试）如图，小丽荡秋千，秋千架高2.4米，秋千座位离地0.4米，小红荡起最高时，坐位离地0.8米．此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）

类型八、小鸟飞行问题【解惑】如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(

)

A． B． C． D．【融会贯通】1．（2023春·重庆云阳·八年级校考阶段练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米3．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？类型九、勾股定理的证明方法【解惑】意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（

）第一步：由图①可得；第二步：由图③可得第三步：由，可验证

A．★表示B．●表示C．◆表示= D．▲表示【融会贯通】1．（2023春·河南周口·八年级校考期中）数学兴趣小组的同学用火柴盒研究证明勾股定理的新方法．如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，，，．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)请利用直角梯形的面积证明勾股定理：．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，对任意符合条件的直角三角形，绕其锐角顶点逆时针旋转得，所以，且四边形是一个正方形，它的面积和四边形面积相等，而四边形面积等于和的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．3．（2023春·北京密云·八年级校考期末）解答(1)请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．

(2)以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以，为底，以为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．

4．（2023春·安徽芜湖·八年级统考期中）观察，思考与验证

(1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式____________；(2)如图2所示，，且，，在同一直线上，试说明，；(3)伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用